AP物理1和AP物理C力學基礎考點分析！

在許多美國高中開設的AP課程裏，學校老師教授的內(nei) 容不一定完全按照考試大綱的要求來，有的可能以某本大學教材為(wei) 主要依據，講一些AP中不考的內(nei) 容；還有的會(hui) 出一些偏發散思維、科目結合的題目，用到的做題方法也是AP物理考試中不會(hui) 出現的，更像是物理奧林匹克競賽的風格。如果時間允許的話，其實這樣的教學對於(yu) 同學們(men) 深度理解知識、提高綜合能力其實是很有好處的。

在課程中，物理教研組的老師從(cong) 同學在學校做的題目裏發現了一類有意思的問題：看似是AP物理C力學的內(nei) 容，既考察了力學知識，但角度更刁鑽，比如拋物線集合的包絡問題；又用到了微積分，然而卻不是常見的微積分在力學中的應用，比如位移求導得速度、變力積分求做功等，而是更深的微積分知識的應用，例如微積分AB/BC大綱裏Unit 8: Applications of Integration裏麵的旋轉體(ti) 體(ti) 積的求法（Determining volume with cross-sections, the disc method, and the washer method）。

這篇文章就拿兩(liang) 道題給大家“賞析”一下力學的題還可以怎麽(me) 出，它們(men) 的共性是：都用到了disc method積分計算拋物線旋轉體(ti) 的體(ti) 積。

先來看第一題：

題目大意是：煙花豎直上拋到最高點爆炸成無數碎片向各個(ge) 方向做初速率相同的斜拋運動，求所有碎片落地前經過區域的體(ti) 積。

讀完題目我們(men) 可以大致分析一下解題思路：

1. 煙花豎直上拋到最高點，由初速度很容易求得最大高度，這是【AP物理1和AP物理C力學】的基礎考點；

2. 爆炸形成的碎片每一個(ge) 都做斜拋運動，要知道它們(men) 經過的位置可以分析軌跡方程，而軌跡方程已經不是AP力學的考點了，但是在【A Level FM】裏會(hui) 有涉及； 

3. 在一個(ge) 豎直平麵內(nei) 各個(ge) 拋物線覆蓋的區域會(hui) 有一個(ge) 包絡線（如圖中紅色虛線所示），可以想辦法求出包絡線的方程，它其實也是一個(ge) 拋物線。軌跡包絡線是【高中物理競賽】的考點之一。例如，在國際物理奧林匹克競賽（IPhO）2012年的第一題第1小問，就考察了如何計算這個(ge) 包絡表達式裏的參數。  

4. 但是在水平麵內(nei) 東(dong) 南西北各個(ge) 方向上都有這樣一個(ge) 包絡線，所有碎片覆蓋的區域體(ti) 積應該拿包絡線繞豎直軸旋轉一周得到，這要用到【AP微積分】的旋轉體(ti) 體(ti) 積求法相關(guan) 知識了。

圖片來自網絡：https://www.zhihu.com/question/54158310/answer/138744996

然後說具體(ti) 的計算過程：

1. 計算爆炸高度。

初速度v₀=20m/s，重力加速度取g=10m/s²，根據上拋運動公式可求得爆炸高度為(wei) ：

2.計算發射角為(wei) θ的拋物線軌跡方程。

建立xy坐標係，假設一個(ge) 碎片的軌跡在第一象限，碎片初速度v₁=15m/s，則水平和豎直位置與(yu) 時間的函數關(guan) 係如下：

通過第一個(ge) 式子將t表示成t=v₁cosθ代入第二個(ge) 式子消掉參數t可得軌跡方程為(wei) ：

3.計算包絡線方程。

可以從(cong) 圖上看出，包絡線是所有拋物線覆蓋區域的上邊緣，但是要特別注意它不是各個(ge) 拋物線最高點的集合；拋物線上任意一點(X,Y)的縱坐標Y，是各個(ge) 拋物線在橫坐標x=X時對應的縱坐標y當中的最大值。也就是我們(men) 要找到一個(ge) 發射角θ，使得x=X時，以下函數取最大值：

因此，令導數為(wei) 0：

得到包絡線方程：

由此方程可以看出，這個(ge) 包絡線也是一個(ge) 拋物線。在國際物理奧林匹克競賽（IPhO）2012年的Problem T1 Part A的第i小問，就考了方程裏兩(liang) 個(ge) 參數的求解，但已知條件和解題方法略有不同。作為(wei) 競賽，這隻是一個(ge) 分值為(wei) 0.8分的小問呢。有興(xing) 趣的同學可以在IPhO官網上查看問題和解析。

https://www.ipho-new.org/documentations#past-ipho-problems-and-solutions

4.計算旋轉體(ti) 的體(ti) 積。

這裏的基本方法是把旋轉體(ti) 看作由無數多個(ge) 薄圓盤的疊加，如下圖所示，函數y=x²構成的旋轉體(ti) 可以切成好多個(ge) 半徑為(wei) 的圓盤，每個(ge) 圓盤的體(ti) 積是πx²dy，再做個(ge) 積分就是這個(ge) 高度為(wei) 4的旋轉體(ti) 的體(ti) 積了。

圖片來自網絡：https://xaktly.com/VolumesDisk.html

那麽(me) 在這道題中，包絡線方程已經求出來了，可以改寫(xie) 成：

且高度範圍是從(cong) 0到最高點，所以最後的體(ti) 積就是：

化簡得：

帶入數據即可得V=6.9×10⁴ m³。

是不是已經感受到了這類題目的樂(le) 趣？那我們(men) 再來看一道和牛頓運動定律、圓周運動結合的題，留給大家思考、練習(xi) 。

題目大意是：杯子裏的水被攪起來後可看作每個(ge) 粒子都在做相同角速度的圓周運動，求證水即將灑出來的時候水麵的方程可以寫(xie) 作一個(ge) 拋物麵，以及對應的最大角速度。

先來看(a)問，為(wei) 什麽(me) 水麵會(hui) 是一個(ge) 拋物麵。給大家提示一下解題思路：先列牛頓第二定律方程如下，求得tanθ。這題的關(guan) 鍵在於(yu) 注意到角度θ是水麵的切線與(yu) 水平麵的夾角，那tanθ就是切線斜率，進而也就是函數z(r)的導數。所以用積分可得函數方程。

再說(b)問，水靜止和水轉起來溢出杯子邊緣這兩(liang) 個(ge) 狀態的聯係是什麽(me) 呢？就是水的體(ti) 積不變，進而水麵和杯子頂部之間的空腔體(ti) 積也不變。

根據題目條件，水靜止時，空腔是一個(ge) 半徑為(wei) 4cm高度為(wei) 2cm的圓柱體(ti) ，而攪拌起來後，空腔變成了(a)問拋物線的旋轉體(ti) ，可以用“疊圓盤”的方式計算體(ti) 積。令兩(liang) 者體(ti) 積相等即可。試試看，你能算出最後的角速度嗎？

通過上麵兩(liang) 道題就可以感受到難題的情景分析和普通AP題目的不同，以及微積分在物理中的應用遠不止AP物理C當中涉及的那些，還有更多有意思的內(nei) 容等待同學們(men) 挖掘。有興(xing) 趣往物理競賽發展的同學可以好好研究一下～