學好 AP Precalculus 對AMC有幫助嗎？

美國大學理事會(hui) (College Board) 最近推出了 AP Precalculus 的課程。課程的具體(ti) 內(nei) 容可以在官網提供的介紹鏈接中找到，主要包括了四個(ge) 單元。分別是：多項式和分式函數（Polynomial and Rational Functions），指數和對數函數（Exponential and Logarithmic Functions），三角函數和極坐標（Trigonometric and Polar Functions），參數方程，向量和矩陣（Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices）。

我想從(cong) 準備 AMC 考試，建立中學數學知識體(ti) 係的角度來談談我對這門新課的課程內(nei) 容的一些看法。對於(yu) 準備 AMC 10/12 的同學，往往都會(hui) 超前學習(xi) 高年級的數學知識。然而對於(yu) 學習(xi) 多少知識，學到多深的程度，並沒有一個(ge) 準確的標準。

個(ge) 人認為(wei) 新出的 Precalculus 課程在一定程度上將會(hui) 統一 AP課程體(ti) 係下在微積分之前所要學習(xi) 的內(nei) 容。

同時，其涵蓋的主要部分也適合準備 AMC10/12 的同學參考列入課內(nei) 學習(xi) 計劃。我們(men) 通過對比每個(ge) 章節的核心知識和一些 AMC 曆年真題，來淺析這兩(liang) 者之間的聯係。

2021 年 AMC12 A 的第 22 題是典型的需要運用高階多項式韋達定理的一道題目。一般在 7-9 年級階段，同學們(men) 已經接觸了一元二次方程的求解和韋達定理，但是關(guan) 於(yu) 高階多項式的內(nei) 容需要在 Precalculus 的階段才有詳細介紹。

餘(yu) 式定理（Remainder Theorem）和因式定理（Factor Theorem）這些在 AMC 考試中高頻使用的結論也都是在這一階段的學習(xi) 中給出。

此外上述例題，也出現了三角函數和弧度，這一部分對應了 Precalculus 中三角函數這一章節。相比於(yu) 之前學習(xi) 到的三角知識。Precalculus 中的三角函數通過介紹弧度這一概念，將三角函數的定義(yi) 域拓展到了整個(ge) 圓周。

很多常用的三角恒等式（Trigonometric Identities）也在這部分給出，例如和角公式，倍角公式，正餘(yu) 弦定理等。同時這些知識又成為(wei) 了學習(xi) 競賽數學知識的基礎儲(chu) 備，比如在這些基礎上介紹的三角和差化積公式，三倍角公式等。例如下麵這道 2021 AMC 12A 中的第 19 題，就需要同學們(men) 完全掌握三角函數的概念，才能求解這個(ge) 三角方程。

又比如指數和對數的知識也是 AMC 考試中較常被考察的部分。尤其是對數的內(nei) 容，是 AMC 12 中高難度題目的常客。經常遇到同學答疑覺得這一部分特別難，主要原因還是沒有係統地學習(xi) 這一部分內(nei) 容，很多基本概念不清晰。

例如下麵這道 2021 AMC 12A 的第 14 題，其實就是考察了對數運算的一些基本法則。對於(yu) 這些知識的學習(xi) ，Precalculus 也劃出了一個(ge) 比較清晰的範圍。

相比於(yu) 前三個(ge) 章節，Precalculus 的最後一個(ge) 章節的內(nei) 容在 AMC 考試中的對應部分相對較少。不過圓錐曲線的一些基本概念還是在和解析幾何相關(guan) 的題目中頻繁出現。一些較難的解析結合題目，總會(hui) 伴隨圓的解析方程。例如下麵這道 2018 AMC 10A 的第 21 題，

總體(ti) 來看，新的 AP Precalculus 課綱是一個(ge) 很好的 AMC 10/12 課內(nei) 知識參照物。雖然完成所有內(nei) 容的學習(xi) 並無意味著就能完全掌握 AMC 10/12，但是為(wei) 更進一步拓展進階的競賽知識打好了基礎。對於(yu) 當下處在 5-8 年級的同學來說， 適當的時間開始 Precalculus 這個(ge) 課程確實可以作為(wei) AMC 10/12 學習(xi) 的前哨戰。