AP物理知識點：為什麽密度小的物體會浮在密度大的液體上？

本文目錄

1、Fluid and Fluid Systems

2、Density

3、Pressure and Forces

3.1 Intro to Pressure

3.2 Pressure in a Fluid3.3 Pascal’s Principle

3.4 Gauge and Absolute Pressure

4、Buoyancy

5、Conservation in Fluid Flow

5.1 Conservation of Mass Flow Rate

5.2 Conservation of Energy

NO.1、Fluid and Fluid Systems

我們(men) 知道，世界上各種各樣的物體(ti) 各自以不同的形態存在著，但大致可以被分為(wei) 三種形態：固體(ti) (solid)，液體(ti) (liquid)，氣體(ti) (gas)。這三種形態看起來就有很大的不同：

三種形態對比
	Solid	Liquid	Gas
確定的形狀	√	× 形狀會隨著容納它們的容器而變化	×
特定的體積	√	√	× 分子會擴散去填滿容納它們的容器

為(wei) 什麽(me) 三種形態會(hui) 呈現出如此不同的特征呢？這其實與(yu) 構成物體(ti) 的原子（atoms）之間的互動方式有關(guan) 。 固體(ti) 中的原子們(men) 關(guan) 係非常好，喜歡緊緊與(yu) 彼此貼在一起，它們(men) 之間的力允許原子產(chan) 生一些振動，但很難改變原子之間的相對位置。

如果我突然給屏幕前的你來一拳，你也不會(hui) 瞬間瓦解、失去人形，因為(wei) 組成你身體(ti) 的原子不能自由自在地移動（被錘得鼻青臉腫、五官稍微有點變形的那種變形不算！）

和固體(ti) 不一樣，液體(ti) 在受到外力時很容易變形，因為(wei) 液體(ti) 裏的原子可以自由地四處移動並改變相鄰原子的位置——俗稱“流動”。不過液體(ti) 還保持著比較固定的體(ti) 積，因為(wei) 原子構成的分子會(hui) 通過相互吸引聚集在一起。 氣體(ti) 裏的原子大概是最幸福的了，因為(wei) 它們(men) 可以受極少束縛、隨心所欲地到處移動，像液體(ti) 那樣流動自然是不在話下。

因為(wei) 液體(ti) 和氣體(ti) 都可以流動，所以它倆(lia) 被一起稱作流體(ti) (fluid)。但因為(wei) 氣體(ti) 裏的原子之間的距離間隔非常大，它們(men) 之間的作用力很微弱，所以連體(ti) 積也不怎麽(me) 固定。 在這裏，我們(men) 要引入“係統(system)”的概念。

一個(ge) 係統是由更小的結構組成的，而係統的性質是由組成它的原子和分子結構的（1）性質和（2）這些粒子之間的相互作用決(jue) 定的。在AP物理中，當組成部分的屬性對宏觀係統的行為(wei) 建模不重要時，係統本身可以被看作一個(ge) 對象。 

也就是說，當我們(men) 在討論一杯水的時候，不用把它拆成一個(ge) 個(ge) 水分子或者氫原子氧原子，而把這一杯水當成一個(ge) 整體(ti) （也就是一個(ge) 對象）來分析就好了。 

NO.2、Density

一斤的鐵和一斤的棉花，哪個(ge) 更重呢？

這個(ge) 古老的謎題向我們(men) 展示了質量(mass)和密度(density)之間的區別。一斤當然就是一斤；但是因為(wei) 鐵的密度比棉花大得多，所以我們(men) 從(cong) 直覺上傾(qing) 向於(yu) 認為(wei) 鐵更重。 密度是物質的重要特征之一。

比如，我們(men) 可以通過物體(ti) 的密度來確定它是在流體(ti) 中下沉還是浮起來（比如你會(hui) 不會(hui) 在自己的淚水池裏淹死）。密度指的是物體(ti) 單位體(ti) 積的質量，國際單位是kg/m³，表示為(wei) ：  記住最常見的流體(ti) 之一——水的密度（在4℃的環境下）為(wei) 1000 kg/m³。 

NO.3、Pressure and Forces

3.1 Intro to Pressure

你一定聽說過高血壓（尤其是老師或者父母很生氣的時候）、低血壓，也聽說過高氣壓、低氣壓，而這些“壓”實際上指的是流體(ti) （液體(ti) 或者氣體(ti) ）所帶來的壓強(pressure)。 壓強的定義(yi) 是：力除以垂直於(yu) 所施加的力的麵積，表示為(wei) ：

圖1
壓強的國際單位是帕斯卡(pascal/Pa)，並且從(cong) 壓強的計算公式很容易可以得知：1 Pa = 1 N/m²。 取決(jue) 於(yu) 力所施加的平麵的麵積大小，一個(ge) 給定的力可以對一個(ge) 平麵產(chan) 生很不同的影響：同樣重的砝碼會(hui) 對施加平麵產(chan) 生一樣大的壓力，與(yu) 施加平麵的接觸麵積越大，對其產(chan) 生的壓強就越小；接觸麵積越小，對其產(chan) 生的壓強也就越大（如圖2所示）。

圖2 

這個(ge) 產(chan) 生壓強的力有哪些特點呢？

首先它有明確的方向——總是垂直於(yu) 力所施加的表麵。其次，壓力會(hui) 把壓強施加在它所接觸的整個(ge) 表麵上。比如，在池子裏遊泳的人能感受到來自四麵八方的水所施加的壓強。 

3.2 Pressure in a Fluid

如果你曾經在海裏遊過泳，並且有潛在水底下的話，你一定感受到過那種流體(ti) 帶來的壓強。而且位置越深，這種壓強會(hui) 越大。 這種水底下的壓強怎麽(me) 計算呢？比如圖3中容器底部受到的流體(ti) 壓強？

圖3 首先容器底部受到的力來自於(yu) 液體(ti) 的重力w = mg，那麽(me) 它所受到的壓強就是P = F/A = W/A = mg/A 

這樣我們(men) 就得到計算液體(ti) 底部的壓強公式啦！ 什麽(me) ？你說如果想知道液體(ti) 其他位置的壓強怎麽(me) 辦？ 那把h改一改，改成那個(ge) 位置的高度就可以了嘛。因為(wei) 你可以把那個(ge) 位置所在的橫截麵看作新的底部，這個(ge) 橫截麵所受到的壓力等於(yu) 壓在它上麵的液體(ti) 的重力，那麽(me) 公式的推導過程就和上麵寫(xie) 的一模一樣啦！

【真題速遞】

（2016 Q18）

解析：

這其實是在變相地問我們(men) 處在哪個(ge) 深度的水可以產(chan) 生最大的壓強，因為(wei) 對於(yu) 同樣大小的出水孔(A)，壓強(P)越大意味著壓力(F)越大，越大的壓力產(chan) 生越大的加速度(a)，導致水在出管時越大的的初始水平速度和越長的水平運動距離。 

對於(yu) 液體(ti) 來說，深度越大壓強越大，所以P(C) > P(B) > P(A)，根據上述一連串的推導過程，得到dc > db > da，選擇D！

 3.3 Pascal’s Principle

當一個(ge) 壓強被施加在封閉流體(ti) 裏，會(hui) 發生什麽(me) 呢？ 因為(wei) 流體(ti) 中的原子可以自由自在地移動，所以它們(men) 在受到壓強後，會(hui) 將壓強傳(chuan) 遞到流體(ti) 的各個(ge) 部分和容器壁上（畢竟它們(men) 可以相互碰撞）。而且在傳(chuan) 遞的過程中，壓強的大小會(hui) 保持不變。這個(ge) 現象最初被Blaise Pascal這位法國科學家描述，所以被稱為(wei) Pascal’s Principle（帕斯卡原理）：

A change in pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to all portions of the fluid and to the walls of its container.

關(guan) 於(yu) Pascal’s Principle最重要的應用之一是hydraulic system（液壓係統）——這是一個(ge) 用來施加力的封閉流體(ti) 係統。最常見的液壓係統大概是控製汽車刹車的係統。一個(ge) 簡單的液壓係統如圖4所示。

 圖4 我們(men) 可以通過Pascal’s Principle來推導出一個(ge) 簡單液壓係統的力之間的關(guan) 係。首先要注意的是，係統中的兩(liang) 個(ge) 活塞高度相同，因此不會(hui) 因為(wei) 深度不同而產(chan) 生壓力差異。 因為(wei) 壓強可以由P = F * A算出來，所以 F1作用於(yu) 區域A1上的壓強P1=F1*A1。

根據Pascal’s Principle，這個(ge) 壓強可以在液體(ti) 中被完美傳(chuan) 遞到各處，包括另一個(ge) 活塞那裏。因此，另一個(ge) 活塞受到的壓強P2等於(yu) P1。又因為(wei) P2=F2 * A2，所以我們(men) 可以得到關(guan) 係式：F1 * A1 = F2 * A2。 簡單來說就是：                                 

P1 = P2  //Pascal’s Principle

F1 * A1 = F2 * A2

別忘了，這個(ge) 關(guan) 係成立的前提條件是：

1）活塞處於(yu) 相同的豎直高度；

2）係統中的摩擦力可以忽略不計。

 有了這個(ge) 關(guan) 係式，液壓係統就可以幫助我們(men) 在一個(ge) 地方去增加或減少施加在另一個(ge) 地方上的力啦！比如，如果我們(men) 的控製端在A1，並且已經盡可能施加了最大的力F1，那麽(me) 為(wei) 了增加施加在另一端的力F2，就要使另一端的受力麵積A2盡可能的小。

3.4 Gauge and Absolute Pressure

在你坐著父母的車去上學的路上，突然你感到一陣顛簸，緊接著車子便熄火停了下來——糟糕，輪胎漏氣了！壓胎表上顯示的數字逐漸趨近於(yu) 0。 

但輪胎裏真的就沒有一點壓強了嗎？ 不，外界的大氣壓還在給輪胎施加著壓強。那為(wei) 什麽(me) 壓胎表上會(hui) 顯示0呢？因為(wei) 壓胎表就是這麽(me) 設計的：當輪胎氣壓等於(yu) 大氣壓的時候顯示0，當輪胎氣壓大於(yu) 大氣壓的時候讀數為(wei) 正——兩(liang) 者的差值。 

類似壓胎表這樣的壓強測量工具（比如血壓表）常常會(hui) 忽略大氣壓強，因為(wei) 它幾乎無處不在，所以當輪胎隻受大氣壓強作用的時候壓胎表會(hui) 顯示0。我們(men) 把壓胎表所顯示的相對於(yu) 大氣壓強的壓強稱為(wei) gauge pressure（表壓）：當實際壓強>大氣壓強，表壓為(wei) 正；當實際壓強＜大氣壓強，表壓為(wei) 負; 當實際壓強=大氣壓強，表壓為(wei) 0。 

這個(ge) 實際壓強也就是總壓強，被稱作absolute pressure（絕對壓強）。絕對壓強、表壓、和大氣壓強之間的關(guan) 係是：absolute pressure = gauge pressure + atmospheric pressure

NO.4、Buoyancy

回到文章標題所提出的問題——我們(men) 在淚流成河（字麵意義(yi) ）裏大概率不會(hui) 淹死，是因為(wei) 我們(men) 在水裏可以受到一個(ge) 水向我們(men) 施加的向上的浮力。 

浮力到底是何方神聖？ 

浮力現象的產(chan) 生基於(yu) 這樣一個(ge) 事實——流體(ti) 中的壓強隨深度的增加而增加。這意味著：流體(ti) 中物體(ti) 底部受到的向上的力大於(yu) 物體(ti) 頂部受到的向下的力，這個(ge) 壓力差（F2-F1）也就是物體(ti) 所受到的浮力（見圖5）。  

圖5

流體(ti) 中的物體(ti) 受到兩(liang) 個(ge) 力：向上的浮力和向下的重力。當浮力大於(yu) 物體(ti) 重力時，物體(ti) 會(hui) 上升直到浮在水麵上；如果浮力小於(yu) 重力，物體(ti) 會(hui) 下沉；如果湊巧兩(liang) 個(ge) 力相等，物體(ti) 就會(hui) 懸浮在流體(ti) 中靜止不動。 浮力要怎麽(me) 計算呢？讓我們(men) 先來想想看當一個(ge) 浸沒在流體(ti) 裏的物體(ti) 被取出的時候發生了什麽(me) 。 

圖6

從(cong) 圖6中我們(men) 可以看到，這個(ge) 物體(ti) 原本所占的空間會(hui) 被重量為(wei) W_fl的流體(ti) 所填充。因為(wei) 這“塊”流體(ti) （被虛線框起來的）需要被底下的流體(ti) 支撐，以靜止在原處，因此這塊流體(ti) 所受到的浮力F_B應該等於(yu) W_fl，也就是被物體(ti) 排開的這塊流體(ti) 的重量。 

這一關(guan) 係最早是由Archimedes（阿基米德）提出的，因此它被稱作Archimedes’ principle（阿基米德定律）：物體(ti) 所受的浮力等於(yu) 它所排開的流體(ti) 的重量，即F_B = W_fl 再拓展一下公式，我們(men) 可以得到
其中指的是流體(ti) 密度，V指的是物體(ti) 浸沒在流體(ti) 中的體(ti) 積 = 物體(ti) 所排開的流體(ti) 體(ti) 積。 密度在Archimedes’ principle中起著至關(guan) 重要的作用——一個(ge) 物體(ti) 的平均密度最終決(jue) 定了它是漂浮還是下沉。如果它的平均密度小於(yu) 周圍流體(ti) 的密度，它就會(hui) 漂浮。為(wei) 什麽(me) 呢？ 

這是因為(wei) 如果流體(ti) 具有更高的密度，也就意味著被物體(ti) 所排開的流體(ti) 具有更多的質量（別忘了物體(ti) 浸沒在流體(ti) 中的體(ti) 積 = 物體(ti) 所排開的流體(ti) 體(ti) 積）和更大的重力。而根據Archimedes’ principle，浮力F_B等於(yu) 排開的流體(ti) 的重量W_fl。W_fl大於(yu) 物體(ti) 的重力，也就意味著浮力F_B大於(yu) 物體(ti) 的重力，物體(ti) 自然也就上浮啦！ 那麽(me) 同理，我們(men) 也可以推斷出：比流體(ti) 密度大的物體(ti) 會(hui) 下沉。 

【真題速遞】

（2016 FRQ Q2） 

 剛開始小球就浮在水麵上，說明小球的密度比水小，無論池子裏裝了多少水都無法改變這個(ge) 事實，因此小球會(hui) 一直浮在水麵上。因為(wei) 浮力，水的密度ρ不變，小球沒在水麵以下的體(ti) 積V不變，說明小球受到的浮力也不會(hui) 變。 參考回答：The buoyant force on the ball depends only on the amount of water displaced by the ball which does not change as long as the ball is floating.

NO.5Conservation in Fluid Flow

到目前為(wei) 止，我們(men) 探討的流體(ti) 都是處於(yu) 靜止狀態的。但我們(men) 知道，流體(ti) 既然叫“流”體(ti) ，就說明它們(men) 是可以流動的。接下來我們(men) 就將一起學習(xi) 處於(yu) 動態中的流體(ti) 具有哪些性質和特點。 

5.1 Conservation of Mass Flow Rate

流體(ti) 的flow rate（流速）Q指的是一段時間內(nei) 流經某一區域某一位置的流體(ti) 體(ti) 積（見圖7），表示為(wei) ：Q = V / t 因為(wei) 體(ti) 積（V）可以被表示為(wei) 底麵積（A）*高度（d），所以我們(men) 把公式變一變，又可以得到：Q = Ad / t d/t，一段長度除以時間是什麽(me) 呢，那不就是速度嘛！所以：Q = Av 把體(ti) 積V和速度v看清楚啦，別弄混了！

圖7 

從(cong) 公式中我們(men) 可以看出，flow rate（流速）和velocity（速度）的聯係很緊密，但它們(men) 的不同點在於(yu) ：flow rate是單位時間內(nei) 流過某個(ge) 位置的液體(ti) 體(ti) 積，而velocity在這裏指的是線性的速度，也就是單位時間內(nei) 液體(ti) 流過的距離。 

想想一條河流的flow rate：河流的velocity越大，河流的flow rate就越大。但是flow rate也取決(jue) 於(yu) 河流的寬度或者橫截麵——一條小溪流即使很湍急，它單位時間內(nei) 流過的體(ti) 積（即flow rate）還是要比大河少得多。 然而，一條河流不可能處處都一樣寬，這意味著河流在流動的過程中，橫截麵積A將產(chan) 生變化。 

圖8

 圖8中的管道為(wei) 河流寬度的變化提供了一個(ge) 簡單的模擬。我們(men) 可以看到，水在沿著半徑遞減的管道流動。由於(yu) 流體(ti) 是不可壓縮的，在給定的時間內(nei) ，必須有等量的流體(ti) 流過管道中的任何一點，以確保流動的連續性。

也就是說，對於(yu) 沒有被壓縮的流體(ti) 來說，在它流動的過程中的任何時候都有著相等的flow rate——這被稱作the equation of continuity。 在這種情況下，由於(yu) 管道的截麵積A減小，速度v必然增大，因為(wei)

Q1 = Q2A1 * v1 = A2 * v2

A2 < A1v2 > v1

5.2 Conservation of Energy

The equation of continuity告訴我們(men) ，當流體(ti) 流入較窄的通道時，它的速度會(hui) 增加——這意味著它的動能也增加了。但推動動能變化的源頭到底是啥？ 變化的動能其實來自：將流體(ti) 推入通道所做的淨功+重力對流體(ti) 所做的功（如果流體(ti) 的豎直位置有變化）。  

圖9

那麽(me) 在流體(ti) 流動中的任意一點，它的總能量將等於(yu) 三個(ge) 能量之和：一個(ge) 將流體(ti) 推入通道所做的淨功+動能+重力勢能。根據能量守恒定律，在流體(ti) 這個(ge) 係統中，如果忽略阻力並且沒有來自係統以外的外力（表現為(wei) 流體(ti) 沒有被壓縮），流體(ti) 的總能量應該是不變的。這意味著：

 W_net + W_kinetic+W_G = constantFd + (1/2)mv² + mgh = constant(PA)d + (1/2)mv² + mgh = constantP(Ad) + (1/2)mv² + mgh = constantPV + (1/2)mv² + mgh = constant

各項除以體(ti) 積V：PV/V + (1/2)(m/V)v² + (m/V)gh = constant 最後我們(men) 將得到：P + (1/2)v² + gh = constant 這就是由能量守恒推導出來的Bernoulli’s equation，在任何沒有被壓縮以及忽略阻力的流體(ti) 係統中成立。因為(wei) 流體(ti) 的總能量恒等於(yu) 一個(ge) 常數，所以如果我們(men) 任意取兩(liang) 點（見圖9），總可以得到：

P1 + (1/2)v₁² + gh₁ = 

P2 + (1/2)v₂² + gh₂

【真題速遞】

（2017 Q134）

解析：

題目中 “ideal fluid”的表述向我們(men) 暗示了這個(ge) 流體(ti) 係統能量守恒，可以應用Bernoulli’s equation：P + (1/2)v² + gh = constant。我們(men) 需要判斷流體(ti) pressure的變化，就得判斷流體(ti) 速度的變化和重力勢能的變化：根據the equation of continuity，不可壓縮的流體(ti) flow rate會(hui) 保持不變，Q = A* v = constant，因為(wei) 管口變窄，所以速度v會(hui) 增大；因為(wei) 管道高度增加，所以重力勢能也會(hui) 增大。在(1/2)v² 和gh都增大的情況下，P應該變小。 所以選擇A和C！

結  語

關(guan) 於(yu) 流體(ti) 的知識你掌握了嗎？收下這份思維導圖，助你AP55555！