AP統計：遇到和你同一天生日的人的可能性有多大？

想要知道答案嗎？先讓我們(men) 耐心學習(xi) probability的基礎知識，再來告訴大家如何解答這個(ge) 問題~

本文目錄

#Basic Terminologies of Probability

#Three Approaches of Probability

#Basic Probability Rules

#Conditional Probability

#Important Tips

Independent Events & Disjoint/Mutually Exclusive Events

Calculation of Union and Intersection

01Basic Terminologies of Probability

在正式進入probability的世界前，先讓我們(men) 通過了解幾個(ge) 基本概念熱熱身吧~

Concept 1 --- Chance Experiment

Chance Experiment指的是任何能夠導致兩(liang) 種或兩(liang) 種以上可能的結果，而不確定到底哪一種結果會(hui) 發生的活動。最簡單的例子就是拋硬幣，拋硬幣有可能得到硬幣正麵朝上或者反麵朝上兩(liang) 種結果，然而在硬幣落地之前我們(men) 並不能未卜先知哪麵朝上，那麽(me) 拋硬幣就是一種chance experiment。

Concept 2 --- Sample Space

假如我們(men) 現在要拋一個(ge) 六麵的骰子，落地後朝上的數字有幾種可能性呢？既然是六麵骰子，很明顯就有六種可能性嘛。我們(men) 可以這樣表示六種不同的可能結果：

S = {1， 2， 3， 4， 5， 6}

這裏的S指代的就是sample space —— 一個(ge) chance experiment的所有可能結果的集合。因為(wei) sample space包含了所有可能的結果，所以一個(ge) sample space中所有結果的概率之和肯定是等於(yu) 1的！

Concept 3 --- Event

假如我們(men) 現在又要拋一次六麵骰子，我想知道雙數朝上的可能性是多少。那我首先得先列出雙數朝上的可能結果有哪些：

E = {2， 4， 6}

這裏的E代表的是event，它指的是任何sample space的子集。比如在我們(men) 拋骰子的例子中，雙數朝上的可能結果的集合（E）就是所有可能結果的集合（S）的其中一個(ge) 子集。

不過這裏event是可以由我們(men) 自行定義(yi) 的，這取決(jue) 於(yu) 我們(men) 關(guan) 心的問題是什麽(me) 。比如剛才我想知道雙數朝上的可能性，那我定義(yi) 的event就是雙數朝上的可能結果的集合。但如果我想知道數字<=4的可能性，那我可以根據這個(ge) 新問題可以定義(yi) event為(wei) 數字<=4的可能結果的集合：

E = {1， 2， 3， 4}

Concept 4 --- Complement

Complement有補充的意思，在概率中指的是補集。它的含義(yi) 就包含在名稱中：所有不在event中的可能結果。所以complement和event是互相補充的關(guan) 係，兩(liang) 個(ge) 集合中的結果出現的概率之和等於(yu) 1。

再回到前麵的例子，如果我關(guan) 心雙數朝上的結果，那麽(me) 我定義(yi) 的E就是{2， 4， 6}。那補充這個(ge) event的complement是什麽(me) 呢？既然所有可能的情況是S = {1， 2， 3， 4， 5， 6}，在event裏的結果包括{2， 4， 6}，能剩下的不在event裏的結果就是：

E^C = {1， 3， 5}

E^C就是我們(men) 的complement。

Concept 5 --- Venn Diagram

Venn Diagram是一種可以展示sample space、event、completement之間的關(guan) 係的圖（見圖1）：

【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大？

圖1

整個(ge) 大長方形代表sample space，中間的橙色橢圓表示event（E），而剩下的部分就是completement（E_C）啦~（看起來莫名有點像荷包蛋是怎麽(me) 回事…）

雖然它看起來挺簡單的，但用來分析兩(liang) 個(ge) 或兩(liang) 個(ge) 以上不同的events之間的關(guan) 係，很有用！（詳見下文例題）

Concept 6 --- Union

請讓我們(men) 繼續扔六麵骰子。現在我又對新事件產(chan) 生好奇了——我想知道朝上的數字是奇數（odd number）或是素數（prime number）的概率是多少。我們(men) 會(hui) 發現六個(ge) 數字屬於(yu) 單數或是屬於(yu) 素數其實是兩(liang) 個(ge) 不同的集合，也就是兩(liang) 個(ge) 不同的events，而且還是兩(liang) 個(ge) 有交集的集合。如果我們(men) 用O表示骰子朝上的數字屬於(yu) 奇數這一事件，P來表示數字屬於(yu) 素數這一事件，可以得到：

O = {1， 3， 5}

P = {2， 3， 5}

一個(ge) 描述O或P發生的event應該是什麽(me) 樣的呢？“或”意味著某個(ge) 數字隻要存在於(yu) O或P其中一個(ge) event，這個(ge) 數字就應該被包含在這個(ge) 描述O或P發生的event裏，那麽(me) ：

O or P = {1， 2， 3， 5}

O or P就是O與(yu) P這兩(liang) 個(ge) 事件的union（並集）——非常顯而易見的，兩(liang) 個(ge) 事件裏的元素被“並”在一起，形成了O or P這個(ge) union，在O中或在P中或在兩(liang) 者中的元素都被包含在O和P的union裏。

並集有它的專(zhuan) 屬符號：∪（正好對應Union）。A∪B = A or B = {elements in A，elements in B, elements in both A and B}。如果用Venn Diagram來展示O∪P（= O or P）就應該是這樣的（見圖2）：

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圖2

綠色圓圈是event O，包含所有的奇數；紅色圈圈是event P，包含所有的素數；整個(ge) 籃框框是sample space，包含所有可能的結果{1，2，3，4，5，6}。那麽(me) O or P的意思就是在綠圓圈或在紅圓圈裏的所有元素，也就是塗黃的兩(liang) 個(ge) 圓圈並在一起的區域。4和6孤零零地呆在外麵，是因為(wei) 它倆(lia) 很可憐的既不是奇數也不是素數。

Concept 7 --- Intersection

現在，讓我們(men) 換個(ge) 跟上一個(ge) 問題很像的新問題：朝上的數字既是奇數（odd number）又是素數（prime number）的概率是多少？換句話說，就是問這兩(liang) 個(ge) events（O和P）同時發生的可能性是什麽(me) 。“和”與(yu) “同時發生”意味著隻有既存在於(yu) event O又存在於(yu) event P的元素才被包含在描述O和P一起發生的event裏，那麽(me) ：

O and P = {3， 5}

O and P就是O與(yu) P這兩(liang) 個(ge) 事件的intersection（交集）——同樣顯而易見，兩(liang) 個(ge) 事件裏的元素相交的部分被提取出來，形成了O and P這個(ge) intersection，隻有同時在兩(liang) 者中出現的元素會(hui) 被包含在O和P的intersection裏。

交集也有它的專(zhuan) 屬符號：∩（正好和並集的符號上下顛倒了，別弄混了喔）。A∩B = A and B = { elements in both A and B}。用來表示O∩P（= O and P）的Venn Diagram應該怎麽(me) 畫呢？你可以試一試嘛？（見圖3）

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圖3

O ∩ P 也就是代表兩(liang) 個(ge) events的兩(liang) 個(ge) 圓圈相交的淺黃色麵積，落在相交部分的3和5正好既是奇數又是素數。

02Three Approaches of Probability

獲得某事件發生的概率的方式主要有三種，讓我們(men) 來逐一看看~

（1）Classical Approach

當在一個(ge) sample space中所有結果出現的可能性相等時，如果我們(men) 把其中任意一種結果稱為(wei) 事件E，那麽(me) E發生的概率P(E) = 出現此結果的次數/sample space中所有可能結果的數量。

比如拋硬幣一共有兩(liang) 種結果，而且從(cong) 理論上講兩(liang) 種結果出現的可能性是相等的，出現任意其中一種結果的概率P（E）=50%，這是從(cong) 理論出發的非常理想的情況。

（2）Subjective Approach

概率有時可以被看作對個(ge) 人對某一特定結果將發生的信念強度的衡量。比如AP馬上就要出分了，小明覺得他統計必5分，他認為(wei) 這個(ge) 事件發生的概率是99.99%。而當他媽媽聽到他的狂言後，開始抖落出他考前兩(liang) 天才翻開的巴郎、晝夜苦讀才勉強翻完了三分之二、第三天頂著大大的黑眼圈進考場的事實，並篤定他能有3分就該謝天謝地了，5分就是做夢，發生的概率大概就是0.1%吧。很明顯，這種基於(yu) 主觀信念得到的某事件發生的概率很不牢靠，不同的人可能會(hui) 根據自己的主觀觀點對同一結果分配不同的概率，比如上文某些極端自信的同學。

（3）Empirical Approach

在第三種方式中，概率是由實驗或曆史數據確定的，是一種比較常見的方式。因為(wei) 主觀推斷太不可靠，像拋硬幣、擲骰子這種可能結果非常明確的事件少之又少，大部分概率還是得通過過往數據推測。

此時事件E出現的概率P(E)，被定義(yi) 為(wei) 在很長一串試驗中，E出現的相對頻率。如果試驗的次數很多很多，那麽(me) P(E)≈number of times E occurs/number of trials。這就涉及到了Law of Large Numbers (LLN)。如果隻通過觀察下圖（圖4）和LLN這個(ge) 名字，你是否能推斷出這個(ge) 定律的含義(yi) 呢？

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