​ AP統計幹貨:遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

想要知道標題裏的問題的答案?不知道上一期你有沒有認真學習(xi) 關(guan) 於(yu) probability的基礎知識呢?這一期我們(men) 將更深入地學習(xi) 有關(guan) probability的規則和概念,然後再來解決(jue) 標題裏的問題~

本文目錄

#Basic Terminologies of Probability

#Three Approaches of Probability

#Basic Probability Rules

#Conditional Probability

#Important Tips

Independent Events & Disjoint/Mutually Exclusive Events

Calculation of Union and Intersection

Part 3Basic Probability Rules

在概率中有一些非常基本的規則,這些規則有時能幫助我們(men) 完成很多概率上的計算。而且這些規則大部分都非常直觀!

Rule 1 --- 關(guan) 於(yu) 合理範圍內(nei) 的概率值

對於(yu) 任何事件E而言,0 <= p(E) <= 1

如果一件事完全不可能發生,p(E) = 0;如果一件事一定發生,p(E) = 1;剩下的可能性就是介於(yu) 這兩(liang) 者之間,值越大某件事發生的可能性越大。 但你一定沒有聽說過有啥事情發生的概率是-80%或者120%的!

Rule 2 --- 關(guan) 於(yu) sample space

p(S) = 1

簡單來說,就是sample space裏所有事件發生的可能性之和為(wei) 1。(還記得上期的“荷包蛋”吧?整個(ge) 黃框就已經框進了所有可能性。

Rule 3 --- 關(guan) 於(yu) completement

p(E) + p(EC)=1

還記得completement(補集)嗎?EC就是所有除了E以外的結果的集合,那E和EC合起來就組成了所有可能結果的集合,它倆(lia) 分別發生的概率之和肯定就等於(yu) 1啦。

Rule 4 --- 關(guan) 於(yu) 概率加法的基本法則

對於(yu) 兩(liang) 個(ge) 事件E和F來說,p(EF) = p(E) + p(F) - p(E∩F)

為(wei) 什麽(me) 呢?給你個(ge) 小提示:把E和F的Venn Diagram畫出來。 畫出來是這樣的(見圖5):

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

圖5

是不是秒懂了?E與(yu) F的union(=E∪F=E or F)包含E、F以及它們(men) 相交的部分。然而p(E)+p(F)的時候中間重疊的麵積被加了兩(liang) 次,所以要減掉一個(ge) p(E∩F)才能得到p(E∪F)。

Rule 5 --- 關(guan) 於(yu) disjoint events的加法法則

好的,一段時間沒碰骰子我又想開始扔它了。(骰子辛苦了!)想想這兩(liang) 個(ge) 事件,A = {2}和B = {4}。當我一次扔一個(ge) 骰子的時候,這兩(liang) 個(ge) 事件有可能同時出現的嗎? 當然不可以!我扔一次骰子,最後朝上的肯定隻能是一個(ge) 數字,不管是2還是4還是別的什麽(me) ,但絕不可能是既2又4!

像這樣的兩(liang) 個(ge) 不可能同時發生的事件就被稱為(wei) disjoint events或者mutually exclusive events)。 請你想想,對於(yu) 兩(liang) 個(ge) disjoint event A和B來說,p(A∪B)等於(yu) 什麽(me) 呢? 遇事不決(jue) 就畫Venn Diagram(見圖6)。

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

圖6

啊哈!這個(ge) 圖跟前麵的都不太一樣呢,代表兩(liang) 個(ge) 事件的圓圈居然沒有相交!當然啦,因為(wei) A={2}和B={4}不可能同時發生,也就意味著p(A∩B) = 0! 那帶入Rule 4裏的概率加法法則,p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = p(A) + p(B) – 0 = p(A) + p(B)。所以:

對於(yu) 兩(liang) 個(ge) disjoint events A和B來說,p(AB) = p(A) + p(B)

是的,就是這麽(me) 簡單直接! P

art 4Conditional Probability

在之前拋骰子的例子裏,當我們(men) 好奇某個(ge) 數字朝上的概率時,我們(men) 列出來的sample space都包含了所有6種可能的結果,比如數字“4”朝上的概率就是1/6。 但是假如我瞟了一眼結果後偷偷告訴你,這次朝上的數字是個(ge) 偶數,這時這個(ge) 數字是“4”的概率還是1/6嗎?(提示:考慮一下sample space有沒有變化

不是了!因為(wei) 如果我們(men) 預先知道朝上的數字是個(ge) 偶數,那麽(me) sample space就會(hui) 發生改變,因為(wei) 隻有2、4、6是可能出現的結果,那麽(me) 這個(ge) 數字是“4”的概率就是1/3。

我們(men) 用A|B的方式來表示預先知道某些條件的結果,表示“當我們(men) 知道B發生的時候A發生了”,或者 “A given B”。 這就給大家舉(ju) 個(ge) 例子 假如我們(men) 在一群學生中做調查,統計關(guan) 於(yu) 他們(men) 是否有在EP學習(xi) 的經曆以及AP統計是否五分的人數,收集到這些結果:

AP統計5分:) AP統計沒有5分嗚嗚嗚 Totals
有在EP學習過! 100 5 105
沒有在EP學習過:( 30 60 90
Totals 130 65 195

根據表格裏的數據,請問在調研對象中隨機抽取一位學生AP統計5分的概率是多少? AP統計5分一共有130位同學,總共調研了195位同學,p(5分) = 130/195 = 66.7%。

下一個(ge) 問題!如果隨機抽取的一位學生AP統計5分,那麽(me) ta在EP學習(xi) 過的概率是多少呢? 首先AP統計5分是一個(ge) 限定的條件。

然後我們(men) 來看,有多少位同學AP統計5分呢?130位。那既AP統計5分又在EP學習(xi) 過的同學有多少位呢?100位。所以題目問的其實是在AP統計5分的條件下,AP統計五分和在EP學習(xi) 過兩(liang) 種情況都滿足的同學所占的比例:p(在EP學習(xi) 過|5分) = 100/130 = 76.9%。

Conditional probability指的就是在條件B的限製下事件A發生的概率,即p(A|B)。它要怎麽(me) 計算呢?很簡單,p(A|B) = p(A∩B)/p(B),也就是A和B同時發生的概率/條件B發生的概率。

那麽(me) :p(在EP學習(xi) 過|5分) = p(在EP學習(xi) 過∩5分)/p(5分)=(100/195)/(130/195)=100/130=76.9%,和我們(men) 之前分析計算出來的結果是一樣的√ 給同學們(men) 留個(ge) 思考題:對於(yu) disjoint events A和B來說,p(A|B)等於(yu) 什麽(me) 呢?(答案請見文末思維導圖

【真題速遞】(2017 Q7)

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

首先我們(men) 用Venn Diagram把題目中的已知情況表示出來(見圖7):

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

圖7

目想讓我們(men) 求的量是什麽(me) 呢?風暴同時滿足“originate in the Pacific Ocean” AND “be classified as major”這兩(liang) 個(ge) 條件的概率。轉化成統計語言,也就是計算p(PO∩M)。 觀察Venn Diagram我們(men) 可以發現,因為(wei) PO有兩(liang) 種(Western & Eastern),所以p(PO∩M)其實就是p(WPO∩M)+p(EPO∩M),Venn Diagram這兩(liang) 部分之和(見圖8):

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

圖8

因為(wei) conditional probability可以通過p(A|B) = p(A∩B)/p(B)計算,把公式轉化一下,就可以得到p(A∩B) = p(A|B) * p(B)。那麽(me) :p(WPO∩M)+p(EPO∩M)= p(WPO|M) * p(M) + p(EPO|M) * p(M)= 25% * 50% + 15% * 30%= 0.17所以答案應該選C!

【解題思路】

遇到概率題,我們(men) 可以做兩(liang) 件事:1)畫Venn Diagram幫助分析(表示出已知情況+找到我們(men) 要求的量);2)把所有已知的概率條件列出來,看看我們(men) 能得到哪些信息。

Part 5Important Tips

5.1 Independent Events V.S. Disjoint/Mutually Exclusive Events

Independent Events(IE) 和Mutually Exclusive Events(ME)是比較容易混淆的一組概念。前麵我們(men) 已經介紹了ME的概念,那麽(me) IE是什麽(me) 呢?

如果一個(ge) 事件的發生對另一個(ge) 事件的發生沒有影響,那麽(me) 兩(liang) 個(ge) 事件就是獨立的,是一組independent events 比如說你拋了一次硬幣結果正麵朝上(記為(wei) 事件A),你又拋了一次硬幣,這次正麵朝上的概率(記為(wei) 事件B)會(hui) 被前一次的結果影響嗎?

當然不會(hui) ,不管你拋幾次硬幣得到什麽(me) 樣的結果,你下次拋硬幣得到正麵或者反麵朝上的結果依然是50%,不存在什麽(me) 硬幣正麵罷工了就再也不想正麵朝上的情況。那麽(me) 這裏事件A和事件B就是一組IE,因為(wei) 前者對後者發生的概率沒有影響。

一組IE事件A和B有兩(liang) 個(ge) 性質:

性質1:p(A|B) = p(A) 且p(B|A) = p(B)

因為(wei) A和B互相不會(hui) 產(chan) 生任何影響,所以加上|B或者|A這樣的條件對彼此起不到限製作用,對另一個(ge) 事件出現的概率也便沒有絲(si) 毫影響。

性質2:p(A∩B) = p(A) × p(B)

這是一條可以用來驗證兩(liang) 組事件是否是IE的重要性質!它為(wei) 什麽(me) 成立呢?想想如果A和B是兩(liang) 組正常的事件,那麽(me) 上文有講過p(A|B) = p(A∩B)/p(B) à p(A∩B) = p(A|B) × p(B)。如果A和B是IE,性質1提到了p (A|B) = p(A),帶入上式不就變成了p(A∩B) = p(A) × p(B)嘛,正是性質2!

一組ME一定不是一組IE,因為(wei) ME意味著有你就沒有我,有我就沒有你,意味著一組ME 是會(hui) 互相影響的,一個(ge) 事件的發生情況取決(jue) 於(yu) 另一個(ge) 事件的情況。那麽(me) 反過來,一組IE也一定不是一組ME。 但是一組事件如果不是IE就一定是ME嗎?不一定。因為(wei) ME隻是兩(liang) 個(ge) 事件互相影響的其中一種方式!

5.2 Calculation of Union and Intersection

關(guan) 於(yu) union和intersection的計算,IE、ME和普通的兩(liang) 組事件所對應的公式看起來千奇百怪,但其實本質都是從(cong) 普通的兩(liang) 組事件的計算方式推導出來的!相信下麵這張總結圖(見圖9)可以很好地幫你解決(jue) 如何應用計算公式的問題~

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

圖9 【真題速遞】 (2017 Q3)

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

首先我們(men) 把已知條件列出來:D和E是independent events; P(D) = 0.6 ; P(D∩E) = 0.18。選項裏需要我們(men) 計算P(E)和P(D∪E)。 對於(yu) independent events來說,它們(men) 的交集P(D∩E) = P(D) * P(E),所以P(E) = P(D∩E)/P(D) = 0.18/0.6 = 0.3。

接下來我們(men) 就要來求P(D∪E)。因為(wei) D和E是independent events,所以它們(men) 一定不是disjoint events,需要用通用公式計算並集,也就是P(D∪E) = P(D) + P(E) - P(D∩E) = 0.6 + 0.3 – 0.18 = 0.72。選擇D!

所以5.2中的總結圖還是很有用的,要記住噢!

結  語關(guan) 於(yu) probability的講解到這裏就結束了~ 別忘了收下這份關(guan) 於(yu) probability的思維導圖總結~

 【AP統計幹貨】遇到和你同一天生日的人的可能性有多大?(下)

噢對,還沒結束。還有標題的問題沒有解決(jue) 呢。如果好奇的話請戳下麵的鏈接~

有了這兩(liang) 期關(guan) 於(yu) probability的講解作為(wei) 鋪墊,相信你一定能夠弄明白的!

https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_13497257

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