AP統計學置信水平和置信區間究竟是什麽？

置信水平和置信區間是AP考試中每年必定會(hui) 考查的考點，也是經常讓同學們(men) 很頭疼的問題。做題的時候，經常會(hui) 碰到題目中給出95% confidence interval這樣的表述，這裏的confidence level 95%究竟是什麽(me) 含義(yi) 呢？比如下麵的題目：

題目的答案是E，大家可以把自己的思考過程記下來，後麵會(hui) 給出解析。

我們(men) 先一起回顧“統計推斷”的定義(yi) ：統計推斷是根據樣本數據對總體(ti) 進行推斷的過程，回答類似“在職人士中有本科及以上學曆的占多少百分比？”，“全國一年級小學生的平均身高是多少？”等問題。

這類問題的共同點是尋找用來描述總體(ti) 的一個(ge) 數字化測量（numerical measure），通常是總體(ti) 比例或者總體(ti) 均值，稱為(wei) 參數（parameter）。參數是總體(ti) 中所有個(ge) 體(ti) 的一個(ge) 聯合測量值，在尋找參數的過程中，我們(men) 會(hui) 麵臨(lin) 以下兩(liang) 種情形。

第一種情形：如果我們(men) 能夠找到總體(ti) 中每一個(ge) 測量值，就可以準確計算出參數的大小，無需采用估計的方法獲得參數的取值範圍。以下麵的題目為(wei) 例：

大家要特別關(guan) 注題幹中陳述的which included all of the American Presidents and all of the British Prime Ministers，這句話代表可以拿到總體(ti) 中每個(ge) 個(ge) 體(ti) 的取值，直接計算參數即可完成比較，不再需要搜集樣本並用樣本統計量估計參數的過程，答案選B。

第二種情形：現實中我們(men) 遇到的大多數問題，很難找到總體(ti) 中每一個(ge) 個(ge) 體(ti) 的取值，隻能通過搜集樣本的方式計算出樣本統計量，進而用統計量的值去估計總體(ti) 參數值。這裏大家要有一個(ge) 最基礎的認識，雖然此類情形下總體(ti) 參數值未知，但它仍是一個(ge) 固定值（fixed value），隻是因為(wei) 我們(men) 無法找到總體(ti) 中每個(ge) 個(ge) 體(ti) 的取值，所以我們(men) 無法得知其具體(ti) 大小。

參數估計是概率統計學中的核心問題，我們(men) 可以用點估計（point estimator）估計總體(ti) 參數的樣本統計量，但不能期望點估計量能給出總體(ti) 參數的精確值，因此需要在點估計基礎上加減邊際誤差（margin of error）來計算區間估計。

大家熟悉的參數置信區間（confidence interval）的形式是：點估計值（point estimator）±邊際誤差（margin of error），置信水平（confidence level）是不斷重複抽樣時，構建的多個(ge) 區間中能捕捉到總體(ti) 參數的概率（這裏要重點理解95%置信水平是指“構建多個(ge) 區間中，包含總體(ti) 參數值的區間個(ge) 數占比為(wei) 95%”）。

接下來，為(wei) 大家梳理一下做置信水平和置信區間問題的判別標準。

第一，參數的置信區間為(wei) ：點估計值（point estimate）±邊際誤差（margin of error）。所以我們(men) 可以理解邊際誤差（margin of error）為(wei) 估算的點估計值與(yu) 總體(ti) 參數值之間的大致差異。

第二，置信水平和置信區間的最本質的含義(yi) 就是：從(cong) 同一個(ge) 總體(ti) 重複抽樣（樣本量一致），會(hui) 根據所抽到的樣本得到不一樣的95%置信區間，但是這些區間中，會(hui) 有95%的區間抓到（包含）真正的總體(ti) 參數值。

第三，置信區間是估計總體(ti) 參數值的，不是估計總體(ti) 中某一個(ge) 個(ge) 體(ti) 或者某些個(ge) 體(ti) 的取值範圍，所以碰到這種關(guan) 於(yu) 個(ge) 體(ti) 類（比如取值範圍、個(ge) 數）的說法一定是錯誤的。

第四，根據一個(ge) 隨機樣本計算出來的特定區間，無法將該區間推廣到別的樣本上，也就是任何一個(ge) 樣本要想計算置信區間，隻能根據抽取到的樣本數據進行計算，沒有捷徑可走。

第五，因為(wei) “總體(ti) 參數值未知但其是一個(ge) 固定值”的屬性，由一個(ge) 樣本計算出來的置信區間，我們(men) 永遠無法確定該區間是否包含總體(ti) 參數值。如果參數值落在該區間，那麽(me) 該區間包含參數值的概率為(wei) 1，如果參數值未落在該區間，那麽(me) 該區間包含參數值的概率為(wei) 0。所以我們(men) 可以總結出來一個(ge) 結論：根據一個(ge) 樣本計算出來的置信區間，其包含真實總體(ti) 參數值的概率隻可能為(wei) 1或0這兩(liang) 個(ge) 值。

第六，根據置信水平最本質的含義(yi) “從(cong) 同一個(ge) 總體(ti) 重複抽樣（樣本量一致），會(hui) 根據所抽到的樣本得到不一樣的95%置信區間，但是這些區間中，會(hui) 有95%的區間抓到（包含）真正的總體(ti) 參數值。”我們(men) 可以獲知，在重複抽取的多個(ge) 樣本構建的置信區間中，包含參數的區間的占比為(wei) 95%，但到底是哪個(ge) 樣本構建的區間是包含參數我們(men) 永遠無法得知。

根據以上六條判別標準，我們(men) 可以拿下所有的關(guan) 於(yu) 置信水平和置信區間解釋的題目。比如，開篇提到的題目：

其中A、B選項裏列出的measurements指的是個(ge) 體(ti) 的測量值，可以利用第三條判斷其是錯誤選項。

C選項中，區間估計是去估計總體(ti) 參數的，不是去估計樣本統計量的，且12到18是根據一個(ge) 特定抽取出來的樣本計算出來的範圍，無法用其來確定別的樣本對應的區間範圍。

D選項，落於(yu) 12到18的概率隻可能是1或者0，所以這道題選E。我們(men) 來分析E選項，如果總體(ti) 均值是19，那麽(me) 該樣本的區間12到18為(wei) 不包含19的區間，利用第二條得知，重複抽樣構建的多個(ge) 區間中，不包含參數的區間占比僅(jin) 為(wei) 5%，所以是less likely （後者unlikely）to occur。

接下來，我們(men) 再看兩(liang) 道典型的真題。

本題答案選B。

A選項，利用判別標準六條中的第四條“根據一個(ge) 隨機樣本計算出來的特定區間，無法將該區間推廣到別的樣本上，也就是任何一個(ge) 樣本要想計算置信區間，隻能根據抽取到的樣本數據進行計算”。所以我們(men) 無法得知別的樣本計算的區間範圍也是6.73 到7.67。

C和D的典型錯誤就是95% of the students。E的典型錯誤也是a student，都可以利用判別標準中的第三條“置信區間是估計總體(ti) 參數值的，不是估計總體(ti) 中某一個(ge) 個(ge) 體(ti) 或者某些個(ge) 體(ti) 的取值範圍，所以碰到這種關(guan) 於(yu) 個(ge) 體(ti) 類（比如取值範圍、個(ge) 數）的說法一定是錯誤的。”

正確答案B選項，就是置信水平最本質的含義(yi) ，也就是判別標準的第二條。

本題答案為(wei) A。

A選項就是判別標準的第一條，陳述了margin of error的字麵意思。B選項中的majority代表了數據個(ge) 數，利用判別標準第三條可以排除。C選項的典型錯誤，可以利用第四條排除，根據一個(ge) 樣本計算的區間無法推廣到別的樣本計算的區間。D選項可以利用第五條以及第四條進行排除，永遠無法得知根據一個(ge) 樣本計算出來的區間估計是否包含真實的總體(ti) 參數值。E選項也是利用一個(ge) 樣本計算的統計量的值我們(men) 無法得知是否等於(yu) 真實的總體(ti) 參數值。

相信看到這裏，同學們(men) 應該明確了，我們(men) 常用的置信水平95%的含義(yi) 。通過這個(ge) 考點也讓我們(men) 明白了，這種類型的題目並不是通過大量刷題可以掌握的。

同學們(men) 一定要在複習(xi) 備考過程中，先理解掌握相應的概念考點，在此基礎上高效的利用真題，可以達到複習(xi) 事半功倍的效果！