​2023年AP微積分考試真題及難度分析

一.考試概況

選擇題：總共45道選擇題中，求導的題量（Calculate Derivative和Application of Derivative）占到了三分之一，積分（Integral和Application of Integral）內(nei) 容也基本相當，級數占20%，剩下極限和微分方程均不足5道。

簡答題：FRQ1是經典的表格/黎曼和（Table/Riemann Sum）組成的應用題；FRQ2是意料之內(nei) 的Motion along the curve；FRQ3是一道Slope Field的題目；FRQ4是看起來和2023 AP Practice Session的圖十分相似的圖像題；FRQ5是Area/Volume/Arc Length三位一體(ti) 的幾何題；FRQ6是標準的級數題。

AB的簡答題與(yu) 往常一樣：有三道和BC相同，另外將Motion along the curve改為(wei) 了Motion along the line，新增了包括二階導的微分方程和麵積/體(ti) 積的幾何題。

總而言之，這次的題目非常標準，各個(ge) 題型均有涉及，沒有太偏太怪讓大量學生摸不著頭腦的難題，計算器部分的選擇題反而出奇的簡單，甚至有學生表示：即使沒有計算器也能做對一半多的題目。最大的障礙反而出現在最後四道簡答題的計算量上，有個(ge) 學生寫(xie) 斷了所有帶的的鉛筆！

二.重點複盤

我們(men) 的考生一出考場就反映了幾個(ge) 不同尋常的選擇題：

1.Arctan的反導

▲ 大概長這樣

習(xi) 慣於(yu) 做U-substitution，Integral by part和Partial Fraction的同學可能會(hui) 突然發現三種方法都失靈了，而這其實是arctan(x+2)的導數。

2.Slope Field的靈活應用

很多學生看到微分方程會(hui) 本能地使用分離變量進行積分，用原函數的表達式求出某點的值。可這道題反其道而行之，給了一個(ge) 斜率場，並提示經過已知點的是一條直線，讓學生沿著斜率場延伸從(cong) 而直接找到未知點的函數值。

3.沒有x的麥克勞林級數

麥克勞林級數通常是含有x的展開式，而這次的有一道題隻給了1/eˣ，讓很多學生一時間忘記了這是當x=-1時，eˣ的展開式。

4.沒有x和y的切線斜率

極坐標的導數通常是利用x=r·cosθ和y=r·sinθ求出來的，當題幹直接給出了f′(π)和f(π)的時候，讓不少同學吃了一驚，可是對於(yu) 熟記極坐標導數公式的同學來說，反而省去了麻煩。

FRQ1：

▲ 與(yu) 2021年FRQ1類似

前兩(liang) 問考察的主要是對於(yu) 求導和平均值結合上下文的解釋，以及正確使用左黎曼和與(yu) 積分中值定理。後兩(liang) 問結合了用定積分求某時間點的值以及Optimization的既定套路。相信隻要是牢記定積分求的是上下限之間的累積變化量，求某個(ge) 點的值用積分+初始值就不難做對。

FRQ2：

▲ 與(yu) 2021年FRQ2類似

考察的知識點包括Parametric Equation求Speed，Distance，Equation of tangent line以及Position。值得學生留意的是：Total Distance千萬(wan) 不要與(yu) Displacement搞混（我們(men) 在上課時已經強調了很多遍）。

FRQ3：

▲ 與(yu) 2019年AB的FRQ6類似

除了一如既往地沿著已知點描圖和解微分方程，這次的第二問還結合了切線的高估/低估，學生隻要記住了：f(x)concave up, Linear Approximation is underestimate；f(x)concave down, Linear Approximation is overestimated難度就不大。最大的難點反而是解微分方程的計算量上（數太複雜，太難算了）。

FRQ4：

用學生的話來說：要不是題目中有兩(liang) 條線段的位置不一樣，我還真以為(wei) 自己做到原題了。這樣的評價(jia) 毫無疑問是對我們(men) 微積分團隊的崇高讚美，是我們(men) 第一時間拿到官方發布的題目並迅速做出參考答案，及時在課堂上和朋友圈同學生們(men) 分享，才換來了學生在考場上的安心。

FRQ5：

一道結合了麵積，體(ti) 積和弧長的幾何題。在秋季和寒假班期間我們(men) 曾在講義(yi) 和課後作業(ye) 中見過，題目和做題方法極其顯而易見，最難的部分仍然是計算。

FRQ6：

幾乎是每一年考試都會(hui) 出現的級數大題，考察的知識點卻始終在我們(men) 的掌控之中，Ratio Test的收斂判定，泰勒級數的展開以及Lagrange Error Bound，我們(men) 的學生已經在衝(chong) 刺班身經百戰了。

三.教師總結

隨著學生們(men) 7:30左右一個(ge) 個(ge) 失去了聯係，老師們(men) 的懸著的心與(yu) 學生們(men) 一起焦慮地度過了4個(ge) 多小時。當一條條“5了”“感覺還好”“選擇爆簡單”“非常常規”“大題長得很像我做過的”等等信息開始密集地傳(chuan) 來，我大概知道：“這次學生們(men) 穩了”。回首過去的一年，兩(liang) 條經驗讓學生們(men) 受益匪淺：

1.未雨綢繆，早做準備

在明確了AP考試的重要性並確立好目標之後，就要及早地規劃課程學習(xi) 。大多數學生們(men) 從(cong) 秋季班開始就強化基礎概念，在寒假班夯實了知識點，在春季班係統性地刷題和模考，在頂住了來自外界不利因素的幹擾和內(nei) 心的強大壓力下交出了最好的答卷。

有部分學生起步慢了，後麵的學習(xi) 一步落下，步步落下，導致最後幾天狼狽不堪。也有的學生雖然早早開始了準備，但是因為(wei) 被其他的事情打亂(luan) 了學習(xi) 節奏，沒能按照原本的計劃一步一個(ge) 腳印，最後臨(lin) 時抱佛腳的效果難以令自己滿意。

2.兩(liang) 手都要抓，兩(liang) 手都要硬

微積分學的比較好的同學身上往往有兩(liang) 個(ge) 共性：熟練掌握知識點和大量的練習(xi) 。正所謂“學而不思則罔，思而不學則殆”，如果知識點大綱上的公式和老師講解的做題方法沒有背紮實，做再多的題目也是一遍遍重複著自己的錯誤。

如果僅(jin) 僅(jin) 把知識點背的滾瓜爛熟，卻沒有足夠的練習(xi) 和模考，那隻能算是紙上談兵，一旦遇到實際的題目總覺得和自己以為(wei) 的大相徑庭。實際上是因為(wei) 缺乏真題訓練導致的陌生。秦人不暇自哀，而後人哀之；後人哀之而不鑒之，亦使後人而複哀後人也。雖然成績還有兩(liang) 個(ge) 月左右才會(hui) 出來，但是現在的你們(men) 總算可以從(cong) AP微積分中解放出來了，感謝你們(men) 自己努力了這麽(me) 久！感謝你們(men) 完成了自己幾個(ge) 月前無法想象的壯舉(ju) ！