AP微積分課程備考重點整理！充5分難度不大

AP微積分，是一門美國大學預修課程，其成績不僅(jin) 可以抵扣成功申請美國大學的同學們(men) 入學後相應課程的學分，還被作為(wei) 美國各大學錄取學生的重要依據，所以考到一個(ge) 好的分數，成為(wei) 了很多同學的願景。好消息是AP微積分的難度整體(ti) 不大，好好備考，拿到5分的可能性還是很大的~

備考重點

基礎不牢，地動山搖

雖然在平時我們(men) 鼓勵大家適當拓展一些有用的技巧和知識點，但是大考當前還是基礎最為(wei) 重要。AP麵向的是全球的美高體(ti) 係學生，雖然中國學生卷到不行，但是也不會(hui) 針對此而猛提難度，不過近幾年也略有提高的趨勢，所以大家還是不要掉以輕心。基礎知識掌握到位，理解通透，才能靈活應對考題，畢竟所有的題目歸根到底都是萬(wan) 變不離其宗的。

真題不看，等於(yu) 白幹

任何的考試真題要是被辜負了，出題老師都會(hui) 很傷(shang) 心的OK？（開個(ge) 玩笑） 考試真題是非常珍貴的備考資料，因為(wei) 它充分體(ti) 現了命題組對於(yu) 大綱的把握和對於(yu) 課程目標的理解，做真題能幫助你理解命題組出題的角度和考察的內(nei) 容，因此大家一定要認真對待真題，將錯題整理好，學會(hui) 舉(ju) 一反三，有空多回顧一下。

計算不好，高分不保

AP微積分考試分為(wei) 四個(ge) 部分，其中非計算器部分的分值占比遠高於(yu) 計算器部分，足以見得計算的重要性，若你在平時寫(xie) 題或者上課的習(xi) 慣就是隻看不寫(xie) ，那麽(me) 你真的需要改正。隻有動筆計算了，你才能發現原本以為(wei) 沒問題，實際上根本不會(hui) 寫(xie) 的地方，才能暴露出你的知識漏洞。切記，考前發現問題不是一件壞事，相反正因為(wei) 意識到了，你才有機會(hui) 改正，才有機會(hui) 更上一層樓，避免來年二戰。

知識點梳理

1、極限部分

考點：（1）判斷極限存在與(yu) 否，存在時如何求出該極限

（2）漸近線（asymptote）與(yu) 連續性（continuous）的考察。

1.1 極限存在的判定標準

左極限與(yu) 右極限均存在且相等

note：極限不存在的可能情況——左右極限不相等、無窮大、震蕩

1.2 求極限的方法

1.2.1 分母因式分解

1.2.2 洛必達法則（0/0及∞/∞時）

1.2.3 等價(jia) 無窮小的替換

常見等價(jia) 無窮小有：x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~ln(1+x) ~e^x -1

(1+x)^a -1 ~ x^2/2

1.2.4 靈活運用冪指函數

1.2.5 0*有界函數可視為(wei) 0（無加減時）

1.3 極限的應用

1.3.1 連續性：若函數在某一點的極限值等於(yu) 該點函數值，則稱函數在該點連續，即左極限=函數值=右極限

1.3.2 間斷點類型：

1.3.3 連續性三定理：

1.3.4 漸近線

水平漸近線：x趨於(yu) 無窮時（正無窮或負無窮），函數極限為(wei) 常數值

垂直漸近線：x趨於(yu) a時（左極限或右極限），函數趨於(yu) 無窮

2、導數與(yu) 微分

核心考點：如何求導及導數的應用

2.1 導數與(yu) 微分的定義(yi)

簡單來說，導數是切線的斜率（slope），微分是切線的改變量。

2.2 求函數不同表示形式的導數

2.3 高階導數

先求低階導，再對其求導

2.4 可導與(yu) 連續

可導必連續，但連續未必可導（e.g.y=|x|在x=0處連續但不可導）

2.5中值定理

從(cong) 幾何圖形上來看，當函數在閉區間上連續、開區間內(nei) 可導時，必然存在一點c使得過c點切線的斜率等於(yu) 端點連線的斜率。

3、導數與(yu) 微分的應用

3.1 函數圖像與(yu) 導數的關(guan) 係

3.2 極值與(yu) 最值

極值（local/relative maximum and minimum）：領域內(nei) 最大或最小

求極值步驟：求出一階導數等於(yu) 0和不存在的點→利用一階導數是否改變符號和二階導數的正負來判定。

最值（global/absolute maximum and minimum）：整個(ge) 區間內(nei) 最大或最小

求最值步驟：求出一階導數等於(yu) 0和不存在的點→求出所有的函數值和端點值，最大的即為(wei) global max，最小的即為(wei) global min。

4、不定積分和定積分

考點：（1）如何求不定積分 （2）如何求定積分

4.1 不定積分

4.1.1 換元法（substitution）：將被積函數的某一部分用另外的變量代替，從(cong) 而將被積函數化簡，使用積分基本公式得出結果。

4.1.2 分部積分法（integral by parts）：適用於(yu) 求兩(liang) 類不同函數乘積的積分，核心是通過交換來改變被積函數，從(cong) 而將難求的變成容易求的。

4.1.3 有理函數積分：對於(yu) 分母是1次和2次的形式有固定的套路，掌握即可。

4.2 定積分

4.2.1 定積分思想--黎曼和（Riemann sum）

使用近似逼近的方式來求麵積，常用的是左端點、右端點、中點、梯形來做估計，步驟如下

（1）將區間等分成n份（也可不等分）

（2）按照預先設定的規則求出每一部分的麵積

（3）加總

4.2.2 牛頓-萊布尼茨公式

notes：配合使用換元法時，變量取值範圍應隨之變化;靈活使用奇函數與(yu) 偶函數的性質。

4.2.3 積分中值定理

如果函數 f(x) 在積分區間[a, b]上連續，則在 [a, b]上至少存在一個(ge) 點 ξ，使下式成立：

其中(a≤ξ≤b)

4.2.4 變限積分

4.2.5 反常積分（improper integral）

當積分區間不是有限區間（即包含無窮大）或積分區間會(hui) 使被積函數為(wei) 無界的時候，求積分需要用到極限，如果極限存在，則稱積分收斂（converge），不存在則稱為(wei) 發散（diverge）。

5、定積分的應用

5.1 求麵積

求平麵曲線圍成的平麵圖形的麵積，一般來說是給定一條或若幹條曲線，求它與(yu) x軸、y軸或其他直線或曲線圍成圖形的麵積。

對於(yu) 直角坐標係，使用定積分的幾何意義(yi) 來求，但需要注意的是麵積永遠是正數，而積分值有正有負，因此當函數大小關(guan) 係或區間的邊界發生變化時，要注意區別對待。

5.2 求體(ti) 積

求平行截麵麵積已知的立體(ti) 圖形的體(ti) 積和旋轉體(ti) 體(ti) 積，第一種圖形對截麵麵積求積分可得體(ti) 積，第二種圖形有兩(liang) 種求法，第一種也是對截麵麵積求積分，不過要注意旋轉截麵是實心圓還是圓環，第二種是利用shell來求，掌握好展開後的圓柱殼的長寬高即可。

5.3 求弧長

弧長公式用四種，一般來說在考試中如果是不允許使用計算器的部分，隻會(hui) 要求考生列出計算公式，不要求算出數值，而允許使用計算器的部分則可利用計算器來計算弧長的數值

6、微分方程

6.1 求解微分方程

對於(yu) 可分離變量的微分方程，通常將x與(yu) y分離後對等式兩(liang) 邊同時求積分

6.2 slope field

根據微分方程原函數每一點切線斜率計算出來，而後將與(yu) 該點切線斜率相同的線段畫在坐標係中，由此所形成的圖形即為(wei) slope field。斜率場所描繪出的圖形即為(wei) 微分方程的解。

6.3 增長模型

指數型增長（exponentialgrowth）

有限製的增長（restrictedgrowth）

邏輯斯蒂增長（logisticgrowth）

6.4 歐拉估值（Euler's method）

多次使用中值定理進行估值，此時c不再任取，而是固定取每一步的起始值

7、級數

7.1 無窮級數

分為(wei) 正項級數（positive）、交錯級數（alternating）。

這部分的核心是如何判斷一個(ge) 級數是收斂（converge）還是發散（diverge）。

7.1.1正項級數（positive）

判別法有三類五種，分別是積分（integral）、比值與(yu) 根值（ratio and root）、比較及極限（comparison and limit comparison）。

7.1.2 交錯級數（alternating）

萊布尼茨準則（Leibniz）

收斂（converge）分為(wei) 絕對收斂（absolute converge）和條件收斂（conditional converge）。

7.1.3  判定順序

（1）將級數加絕對值取正

（2）對通項求極限，若極限不等於(yu) 0，則可判定為(wei) 發散，若等於(yu) 0，則（2.1）利用積分（integral）、比值與(yu) 根值（ratio and root）、比較及極限（comparison and limit comparison）判定，若收斂，則原級數絕對收斂，若發散，則（2.1.1）若原級數為(wei) 交錯級數，利用萊布尼茨準則判斷，若收斂，則為(wei) 條件收斂，否則為(wei) 發散。

7.2 冪級數

利用比值法求出收斂半徑（radius of convergence）和收斂區間（收斂域）（interval of convergence）。

冪級數的性質：

冪級數在收斂區間內(nei) （1）連續（2）可微（3）可積。

7.3 泰勒級數

（1）將函數展開為(wei) 泰勒級數

（2）求泰勒級數的和函數