IB數學HL複數知識點分析

複數是IB數學HL中一個(ge) 非常重要的考點，也是連接數、向量和平麵的一個(ge) 非常重要的橋梁，後麵承接著複分析。在如此廣袤的領域麵前，如牛頓所言，“我們(men) 都隻是在在海邊玩耍的小孩”，在這裏我嚐試以IB數學的考綱為(wei) 基準，從(cong) 曆史的角度出發，去拾取些許前人的“貝殼”，講述複數的概念和由來。

“Nine Zulu Queen Ruled China“，這樣一句話看似毫無意義(yi) ，但是首字母可以幫助我們(men) 記住五個(ge) 數集N、Z、Q、R、C（在數學中會(hui) 用鏤空字母表示）。

這五個(ge) 數集就像是層層嵌套的俄羅斯套娃，最裏層是自然數N（natural number），是我們(men) 通常用來計數的數，但是自然數對減法是不封閉的（也就是說兩(liang) 個(ge) 自然數相減我們(men) 不一定會(hui) 得到另一個(ge) 自然數，比如7減10）。

於(yu) 是就有了零和負數，得到了我們(men) 的第二個(ge) “套娃”整數Z(來自德語“數”的單詞“Zahl”)，同樣的道理，整數在除法中不封閉。

為(wei) 了得到除法中封閉的數係，我們(men) 得到了有理數Q(來自英語單詞“商”的單詞“quotient”)，有理數可以簡單理解成是那些可以表示為(wei) 兩(liang) 個(ge) 整數的商的數，也就是所有的整數和分數。

畢達哥拉斯一度認為(wei) ，“世界上隻存在整數和分數"。但是他的學生希帕索斯卻發現邊長為(wei) ”1“的正方形，它的對角線之長不能表示成兩(liang) 個(ge) 整數之商，無理數的概念就此誕生。我們(men) 就需要另外一個(ge) ”套娃“把無理數和有理數都包含到一起，也就是實數係R（Real number）。

在有理數中，加減乘除都是封閉的，但是開方卻不是，實數解決(jue) 了這個(ge) 問題，但是卻僅(jin) 限於(yu) 非負數，也就是說負數是沒有平方根的。為(wei) 了打破這個(ge) 限製，就需要加入最後一個(ge) ”套娃“，也就是複數係C（Complex number）。

要理解複數，先得理解虛數。我們(men) 把-1的平方根記作i，那麽(me) 所有的負實數的平方根就構成了所有的純虛數，比如。複數就是形如a+bi的數，它由兩(liang) 個(ge) 部分組成，純實數部分a和純虛數部分bi，我們(men) 把a叫做實部，b叫做虛部。

所以我們(men) 在做運算的時候，也需要實部和虛部分開考慮，運算的過程更類似於(yu) 一次二項式的加減乘除，隻是需要注意。我們(men) 可以得到複數的四則運算規則如下：

在除法運算中，需要借助共軛複數(complex conjugate)。我們(men) 把兩(liang) 個(ge) 虛部符號相反的複數叫做共軛複數，如c+di和c-di。共軛複數在複數的運算中十分重要，通過共軛複數我們(men) 可以把複數的運算轉為(wei) 實數。這是因為(wei) 兩(liang) 個(ge) 共軛複數做加法會(hui) 得到一個(ge) 純實數2c，做乘法(c+di)(c-di)也會(hui) 得到一個(ge) 純實數。

我們(men) 知道，所有的實數都可以用數軸上的表示。複數是個(ge) 二元數，所以所有的複數都可以用平麵上的點來表示。在下一篇中我會(hui) 詳細介紹複平麵和複數的另外兩(liang) 種形式。

到此為(wei) 止，我們(men) 就構建出了”數“的整個(ge) 大廈。但是複數並不是我們(men) 對”數“探究的終點，在這之後還有“超複數”——哈密頓在19世紀發明了四元數的概念，把數的概念從(cong) 二維又拓展到了四維。

從(cong) 整數到實數，再到複數、四元數，數的概念從(cong) 具體(ti) 生活中慢慢脫離出來，進入抽象與(yu) 思維的疆域。這無疑象征著人們(men) 對未知世界的開拓與(yu) 向往，我想這也就是我們(men) 學習(xi) 數學的意義(yi) 所在。