國際學校數學課程體係及常見問題解答

美國數學家哈爾莫斯曾說：數學是一種別具匠心的藝術。對於(yu) 正在學習(xi) 國際課程數學的孩子來說，這一“藝術”的修習(xi) 之路漫長有趣，但同時也充滿挑戰。

另外，小編此次整理了一些以往機構就家長關(guan) 心的國際學校的數學相關(guan) 問題的解答，共計十六問十六答，以饗讀者。

第一問、您在教學過程中，感覺國際學校的同學們在數學學習中普遍存在什麽問題？

首先是計算能力的問題。在國際課程的很多考試是分為(wei) 兩(liang) 部分，有一些是可以使用計算器，而有一些是不可以使用計算器。在可以使用計算器的時候，我們(men) 發現國際學校學生還是非常有優(you) 勢的，但是在不可以使用計算器的時候，很多學生會(hui) 出現一些很低級的錯誤，比如相加相減都會(hui) 出現錯誤。

SAT的數學考試就是分為(wei) calculator還有non-calculator兩(liang) 部分，很多同學說如果是可以使用計算器，感覺壓力不是很大，如果不可以使用計算器的話，一不小心就會(hui) 做錯。因為(wei) 計算能力導致的錯誤非常不應該的，因為(wei) 數學最基本的能力就是運算。

另一個(ge) 問題是定理和公式方麵，很多同學隻是表麵上理解。國際學校的老師上課過程比較重視形象化，上課的時候可能會(hui) 帶大家做一些比較有趣的實驗，比如小學的時候，就會(hui) 拿一個(ge) 披薩，拿它分成五份，平均分成五份，每份就代表的是五分之一，那麽(me) 三份代表五分之三。

老師會(hui) 通過這種形象帶大家去理解，但是如果是遇到一些比較難的定理或者公式，老師可能如果推導上沒有講的特別形象或者深入，同學們(men) 隻是把這個(ge) 公式背下來，在應用過程當中就會(hui) 卡殼。

第二問、錯題怎麽解決？

我要求學生要有自己的錯題本，把自己做過的錯題總結起來。把試卷釘起來也行，因為(wei) 錯題能夠體(ti) 現學生最原本的一些錯誤，從(cong) 這些錯誤裏麵可以回歸到最原始的知識點，進行提升。學生自己考試考慮自己為(wei) 什麽(me) 做錯了，有這種想法的時候，就很容易進行提升了。

第三問、有沒有通用的學習方法？

每個(ge) 孩子都有自己的學習(xi) 方法，隻要是適合的就是好的。比較基本的一個(ge) 思路是上課前預習(xi) ，聽課過程做相應的筆記，然後課後總結複習(xi) 。在複習(xi) 過程當中需要做一些練習(xi) 進行鞏固。有一些孩子課後自己沒有進行係統的整理，學習(xi) 方法還不是很係統。

學習(xi) 方法不夠係統可能會(hui) 導致最後整體(ti) 的知識體(ti) 係也不夠係統。數學的知識體(ti) 係可以分成不同的模塊，每一個(ge) 模塊再細分為(wei) 小模塊。我經常跟同學說，你們(men) 要有自己的學習(xi) 方法，如果你覺得自己學習(xi) 方法還不夠很好，就需要自己想一下，我們(men) 怎麽(me) 樣學習(xi) 才讓自己掌握的更好一點。

每次學習(xi) 之後，不管是在學校在家裏，都要思考一下這個(ge) 模塊學了什麽(me) ，對應的知識點是什麽(me) ，有沒有相應的一些題型或者說有一些有難度的東(dong) 西去做一做。當孩子們(men) 開始思考這些問題的時候，他們(men) 就會(hui) 逐漸養(yang) 成自己的學習(xi) 習(xi) 慣。

在學習(xi) 過程當中，我經常要求同學們(men) 要自己做相應的總結，每個(ge) 章節需要有相應的mindmap（思維導圖）。同學們(men) 做總結、做知識框架的過程當中，就是重新梳理了知識點進行總結；而總結完一個(ge) 框架後，在接下來的學習(xi) 過程當中，就能夠對應這個(ge) 框架看看有哪些題目是比較難的，再進行加深。

第四問、國際學校的各個數學學習體係的特點？

國際課程主要有三大體(ti) 係，各有特點，從(cong) 知識點上來講，這些體(ti) 係之間的內(nei) 容基本上是一樣的。如果把基本的內(nei) 容進行分類，可以理解為(wei) ：小學部分學習(xi) 一些非常簡單的數學基礎，初中和高中的部分開始對數學進行加深延伸到比較難的內(nei) 容。首先是學習(xi) 一些不包含微積分的，在學完這些之後會(hui) 有相應的一些微積分的學習(xi) 。不管是哪個(ge) 體(ti) 係，都有微積分。

美國體(ti) 係首先是學習(xi) Pre-algebra，然後學習(xi) 代數一二，還有幾何，然後是pre-calculus，也就是預備微積分。這些內(nei) 容都沒有包含微積分。學完這些內(nei) 容就開始進入AP的一些課程的學習(xi) ，比如說AP微積分、AP統計。

英國體(ti) 係先是KS階段，然後是IGCSE階段，接著進入A-Level。特別要注意，A-Level階段會(hui) 有一些物理的力學的內(nei) 容。如果同學們(men) 就沒有選到mechanics的話，是不需要學習(xi) 力學的。不過在中國或者在國外，好多同學隻要是有物理這方麵的專(zhuan) 業(ye) 的要求，可能都需要學習(xi) 力學。

在A-Level階段，有些同學會(hui) 選擇進階數學，這是一些大學要選理工科的要求。進階數學其實就是平時同學們(men) 口中所說的高數。因為(wei) 如果我們(men) 申請劍橋，我們(men) 需要考STEP；牛津的話，需要考MAT。如果有進階數學的基礎再去考這兩(liang) 個(ge) ，把握就會(hui) 大一點。

IB體(ti) 係主要是分為(wei) PYP、MYP、IBDP三個(ge) 階段。在IBDP階段同學們(men) 可以考慮選擇的是HL還SASL。HL是high level，比較難，如果選擇high level的同學，更需要做一些長期的計劃，把自己的數學基礎打好。

第五問、SAT數學跟這些課程有什麽對應關係？

申請美國大學一般都需要考SAT。

SAT的數學可以理解為(wei) 是美國體(ti) 係中的algebra one&two和geometry，就是代數和幾何這兩(liang) 部分合起來，基本上能夠滿足SAT數學的要求。如果是英國體(ti) 係的話，隻是IGCSE階段的數學。IB體(ti) 係的話，MYP階段數學基本上就能夠滿足SAT數學的內(nei) 容。

考SAT的數學，最好進行比較專(zhuan) 項的練習(xi) ，因為(wei) 不同體(ti) 係還是有一定的區別。

第六問、怎麽做學習規劃？

每個(ge) 同學都應該做相應的長期規劃和短期規劃。

短期規劃，就是很多同學近期遇到一些學校課堂上的問題，我們(men) 一定要盡快的解決(jue) ，比如說這個(ge) 單元是公式還是一些原理性的東(dong) 西，在短時間內(nei) 快速把它學好。如果說有一個(ge) 考試，那麽(me) 針對這個(ge) 考試需要做哪些準備？

長期計劃來講，從(cong) 小學到初中高中整個(ge) 學習(xi) 過程中，在不同的階段可能會(hui) 遇到不同的困難，那怎麽(me) 樣提前規劃會(hui) 讓他避開一些挫折，學習(xi) 數學的比別人更有競爭(zheng) 力。

我們(men) 需要了解，在一個(ge) 體(ti) 係中數學的整體(ti) 分布是什麽(me) 樣子的。不同的體(ti) 係有相應的考綱，就是syllabus，每個(ge) 同學都可以了解自己可能經曆一個(ge) 什麽(me) 樣的學習(xi) 階段，在每個(ge) 階段對應的目標是什麽(me) 。比如IB體(ti) 係的同學一開始隻是小學時候學一些pre-algebra的內(nei) 容，然後到了初中就學algebra one&two或者geometry相關(guan) 的一些簡單的知識點。

但是在學完這兩(liang) 個(ge) 之後，很多同學需要考SSAT或者是SAT，那就需要提前把這些計劃做好，在考試之前基本上能夠把所有的內(nei) 容還有考綱上的一些重點都掌握好。進入高中之後，一般在十年級或者最晚在十一年級就是pre-calculus，也就是預備微積分，難度可能一下子會(hui) 增大很多。同學們(men) 能不能自己通過預習(xi) 了解這個(ge) 階段，如果不能的話，可能就需要和老師聊一下需要掌握哪些知識點。

很多同學在十年級甚至是九年級就已經開始學AP微積分，在不同的階段的規劃其實就是分模塊和專(zhuan) 題就把它給完成了。也就是說學生進行規劃的時候，如果這個(ge) 學生基礎是比較好一點的，就可以提前把一些內(nei) 容學完，比別的同學走在更前。英國體(ti) 係還有IB體(ti) 係也是這個(ge) 樣子，同學們(men) 根據自己的情況，做一個(ge) 長期的計劃，就按照這個(ge) 計劃走。現在所有的考綱都非常明確。

第七問、長期規劃一般都會走在別人前麵，會不會不好？

很多學生家長擔心如果提前把東(dong) 西學完，上課時候可能就注意力不集中，但是我遇到很多孩子並沒有發生這種情況。國際學校裏麵上課內(nei) 容真的是太簡單了，即使沒有提前預習(xi) 的同學可能也能很快知道老師在講什麽(me) 。

IB的一些考試，有時候老師在學校裏麵講的特別簡單，但是考試的時候都是拿IB的question bank，也就是題庫，考得很難。老師講的基礎內(nei) 容是可以很快聽明白，接下來的話就是一個(ge) 提升的階段，長期計劃一定是有一個(ge) 提升的環節。

第八問、如何由基礎進階？

美國的數學教育過程中，比較讚成每個(ge) 學生根據自己的情況安排學習(xi) ，孩子可能就是按著考綱一步一步的向前走，但是有些孩子如果能提前的學完很多東(dong) 西，也會(hui) 被鼓勵加深學習(xi) ，就是在現在的基礎上進行相應模塊的提升。這個(ge) 提升的難度還沒有達到競賽的級別，但是又比一般的基礎題難一些。

很多同學接觸從(cong) 基礎到提高的題目，就會(hui) 發現，隻要自己多思考一下這個(ge) 題目，自己也可以解決(jue) 出來，這就會(hui) 讓他對數學產(chan) 生很濃厚的興(xing) 趣。考試有一些附加題，其實也在自己的解決(jue) 範圍之內(nei) 。所以需要在基礎的學習(xi) 上再進行專(zhuan) 題的加深，複習(xi) 不同模塊，能夠做一些雖然達不到競賽難度、但是也需要一定的思考的這種題目。

第九問、如果孩子基礎和提高都不錯，接下來是競賽嗎？

近些年來標化考試成績越來越高分。這個(ge) 時候，世界的頂級名校怎麽(me) 樣選學生呢？當大家的標化成績滿足了他基本的要求之後，就需要另外一塊敲門磚，像MIT或者是美國的一些名校的招生官現場就說數學很重要，通過參加像美國數學競賽還有一些重要的數學夏令營，同學們(men) 可以在數學領域的難度上走得更遠，同時也可以了解更多數學應用方麵的東(dong) 西。

一些學校申請裏麵，特別是美國，專(zhuan) 門就有一欄是問大家有沒有參加過AMC，AMC的分數是多少，進階的分數是多少。現在比較熱門的除了AMC美國數學競賽，還有其他的數學活動比如美國數學大聯盟、加拿大的滑鐵盧數學競賽，還有英國的數學競賽（UKMT），還有一些比較難申請的夏令營像羅斯的或者斯坦福的，同學們(men) 隻要感興(xing) 趣都可以努力嚐試一下。

第十問、AMC怎麽規劃呢？

我們(men) 可以分不同的年級，三到五年級是AMC的預備階段，主要是針對小學一些內(nei) 容進行提升，如果開始接觸一些競賽的內(nei) 容或者說幾乎接近競賽難度的這種題目的話，對學校的學習(xi) 或者說作為(wei) 額外的一些補充都非常有利。

接下來就是AMC8的考試，針對的是八年級以下，很多五年級的學生都會(hui) 參加，需要有意識提前學習(xi) 一些內(nei) 容，強化競賽的基礎知識，再進行AMC8的真題分類訓練。

AMC10、12的學習(xi) 是在AMC8之後，針對十年級以下的學生。這個(ge) 體(ti) 係的學習(xi) 和比賽對標化考試非常有利，像SAT的數學、SAT2的數學考試，基本上學完AMC10、12的基礎以後，這些考試就會(hui) 變得非常簡單。

這些基礎完成了其實就已經達到美國的課程體(ti) 係之中的預備微積分，就是pre-calculus，就可以進行一定的提高以及衝(chong) 刺，針對AMC10/12的專(zhuan) 題，進行專(zhuan) 項的訓練，每個(ge) 學生有望逐漸達到AIME基礎的水平。

AMC10、12所考的內(nei) 容幾乎差不多，但12多了兩(liang) 部分，涉及到一些log對數，還有複數complex number。每年的考試中10和12會(hui) 有十至十五道題是一模一樣的，並且不管是10還是12的同學，如果晉級下一步的AIME考試之後，都是參加同樣的試卷。

也就是說，10的同學晉級之後和12的同學晉級之後所做的試卷是相同的，競爭(zheng) 對手都是一樣，所以他們(men) 的學習(xi) 應該在一開始的時候都放在相同的一個(ge) 高度。AMC10晉級AIME的話需要選拔前2.5%的學生，12晉級AIME需要選拔前5%的學生，這個(ge) 是我做的相關(guan) 的分數線的統計。

考完AMC10或者12之後，同學們(men) 可以計算自己的相關(guan) 分數，如果能夠達到晉級AIME的水平，接下來就要進行AIME的衝(chong) 刺，因為(wei) 從(cong) 知道成績到AIME的考試就剩下不到兩(liang) 周了。所以希望大家提前能夠預算自己的一個(ge) 分數線。

AIME的衝(chong) 刺過程中，主要是針對真題進行分類講解，進行知識點強化提升。

AIME的考試都是需要寫(xie) 出相應的過程，所以難度上會(hui) 大很多。在考試的方式上和國內(nei) 體(ti) 係的數學考試有很大的區別。比如說鼎石的MYP階段的學生在數學的考試過程中除了一般考試，平時的話還需要做一些統計或者一些論文的寫(xie) 作，這個(ge) 是很多由國內(nei) 體(ti) 係轉到國際體(ti) 係的同學不大適應的部分。

國際上對IB體(ti) 係的評價(jia) 非常高，因為(wei) IB體(ti) 係除了一般的考試，還有相關(guan) 的一些論文的研究，這個(ge) 對培養(yang) 每個(ge) 同學的寫(xie) 作能力和研究能力都很關(guan) 鍵。

第十一問、有沒有通用的學習方法？

IB的同學在申請的時候要提交相關(guan) 的預估分。這個(ge) 預估分是怎麽(me) 來的呢？平時的考試中，IB的同學要特別注意老師有沒有說這個(ge) 考試會(hui) 進入最終的總分。學校的一些大考的成績也是占有一定的百分比。所以除了平時需要保持一個(ge) 比較優(you) 秀的成績，期中期末考試的時候也需要保持一個(ge) 優(you) 秀成績，這樣就很有希望在預估分的時候拿到滿分的七分。

這些高的預估分對申請大學有什麽(me) 用呢？申請美國的時候，有些學校給的offer是unconditional，就是無條件錄取，比較高的預估分申請好的學校就更加容易一點。如果申請的是英國的學校，對IB的同學是有要求的，就是預估分一定要達到多少分才可以申請，給的offer都是conditional，也就是有條件的,對大考分數是有要求的。

數學是所有科目裏麵最容易拿到滿分的，做了相應的長期的計劃，然後一步步往前推進，其實拿到七分並不是一件很難的事情。對IB來講，每個(ge) 階段都很重要。

第十二問、什麽情況下需要考劍橋STEP？

STEP考試並不是劍橋大學才有的專(zhuan) 業(ye) 要求。帝國理工大學、倫(lun) 敦國王學院，還有很多比較好的大學都會(hui) 參考STEP成績。STEP考試能夠拿到高分的話，麵試官能夠從(cong) 中看到這個(ge) 學生的數學能力，即使這個(ge) 學生在A-Level階段成績並不是特別的優(you) 秀，STEP可以作為(wei) 加分項。有一些國際學校特別是IB體(ti) 係的學生，在申請英國學校的時候會(hui) 被要求參加STEP的考試，對他這個(ge) 麵試是有一定的參考作用的。

第十三問、每個孩子的基礎都不一樣，怎麽做相應的長期規劃？

我們(men) 一開始都會(hui) 給孩子一個(ge) 測試題，能夠了解到孩子的基礎是什麽(me) 樣的，然後給出相應的建議。低年級階段的孩子一切都有可能。我會(hui) 針對孩子的目標做出相應的規劃，如果打算參加競賽，那需要達到什麽(me) 樣的基礎，在什麽(me) 樣的基礎上才能進行提升；如果沒有計劃參加競賽，那麽(me) 我們(men) 需要的就是保證在學校分數很高，主要是在學校的學習(xi) 體(ti) 係中，幫他把時間先列出來，並且找到相應的一些學習(xi) 內(nei) 容。

第十四問、AMC預備是三到五年級一起學，對低年級孩子會不會跨度太大？學不明白的話可能會影響他的長期興趣。

AMC預備班包含了小學全部的數學內(nei) 容。我們(men) 一般是分為(wei) 14個(ge) 小的專(zhuan) 題。如果三年級就開始有點吃力，那就要求先學習(xi) 普通課程的四五年級的內(nei) 容，然後再進行這一塊的加深。我們(men) 發現四五年級的學生如果在同一個(ge) 班，這些知識點模塊基本都是可以接受的，但是對三年級的學生，跨度還是有點大。

所以，如果三年級想進行提升,我們(men) 可以先針對三年級已經學過的內(nei) 容做相應的加深，讓他們(men) 接觸到加深的難題，但是還沒達到競賽難度，在這種程度上，我們(men) 可以繼續四五年級進行拓展。

第十五問、A-Level的數學應該怎樣學習？

在三大體(ti) 係之中，我們(men) 認為(wei) A-Level特別像中國的高考，因為(wei) A-Level的體(ti) 係分得特別細，非常的係統，A-Level的階段已經有微積分的內(nei) 容，難度還是比較大的。經曆了IGCSE的階段進入A-Level的學習(xi) ，難度會(hui) 減弱很多。

A-Level階段是模塊化學習(xi) ，每個(ge) 模塊就是一本書(shu) ，比如說像CI，我們(men) 以CIE考試局為(wei) 例，首先每個(ge) 同學都會(hui) 學pure mathematics one/two/three，然後參加AS的考試；大家還會(hui) 同時學習(xi) 力學mechanics或者是統計statistics。

第十六問、據說IB的MYP階段知識點編排有點混亂？

確實有不少同學這麽(me) 反應。其實也並不是混亂(luan) ，因為(wei) IB的MYP階段就是強調螺旋式的學習(xi) 。比如學三角函數，MYP階段會(hui) 先學很簡單的三角函數的一些概念，然後再過一個(ge) 學期就會(hui) 學習(xi) 三角函數的其他的定理，比如餘(yu) 弦定理，然後再過一個(ge) 學期，再學其他和三角函數相關(guan) 的一些公式，比如兩(liang) 倍角公式。

MYP的這種學習(xi) 就是螺旋式，所以很多同學會(hui) 覺得為(wei) 什麽(me) 這個(ge) 東(dong) 西好像去年學過了，今年還繼續學，然後明年好像還學。解決(jue) 辦法就是把它變成一個(ge) 模塊總結起來。