2022年高考數學壓軸題難不難？

高考數學壓軸題：難 vs. 不難

今年的高考數學考試結束以後，很快引發了一波關(guan) 注。對於(yu) 這份“新高考數學I卷”，各方麵的聲音幾乎是眾(zhong) 口一詞地定性為(wei) “非常難”。

我原本不想趟這個(ge) “渾水”，一方麵是我對高考不感興(xing) 趣，另一方麵，我不是中學老師，對當前中學的數學教學狀況沒有深入的了解，因此不適合隨便插嘴——畢竟，一道題難不難，學生應該具備怎樣的能力，都不是以我的判斷為(wei) 準。

出於(yu) 好奇，我還是瞄了一眼這份試卷，對最後一道題產(chan) 生了一點興(xing) 趣。放在最後的題目，通常被稱為(wei) “壓軸題”，難度往往是比較大的。但我之所以關(guan) 注它，是因為(wei) 這道題與(yu) 大學的數學學習(xi) 內(nei) 容關(guan) 聯性很大。

我讀高中的時期有一個(ge) 特殊性。在這個(ge) 時期以前，高中數學是有微積分的基礎內(nei) 容的，而我在高中完全沒有接觸過微積分的內(nei) 容。在我畢業(ye) 以後不久，微積分的內(nei) 容又逐步回歸了高中數學課本。

不過，這個(ge) “空白期”具體(ti) 有多少年，我難以查證。

在大學裏，大多數專(zhuan) 業(ye) 都要求學生修讀“高等數學”這門課——通常簡稱為(wei) “高數”。根據我的觀察，“高數”的學習(xi) 情況非常不理想，所以看到作為(wei) “高數”的主要學習(xi) 內(nei) 容的微積分題目出現在高考試卷中且作為(wei) 壓軸題，我的好奇心就被勾了起來。

高考數學壓軸題：難 vs. 不難

這道“壓軸題”難嗎？不難嗎？還是難嗎？

快速地把題目掃完一遍，我的第一判斷是：不難。理由如下：

第一小題是求a的值。題目條件是兩(liang) 個(ge) 函數的最小值相等，而根據費馬定理，函數的極值可以用a表示出來。所以求a的值應該就是解一個(ge) 方程。

第二小題中的y=b是一條水平直線。由於(yu) 不難判斷兩(liang) 個(ge) 函數都有唯一的最小值且沒有最大值（不妨想象成開口向上的拋物線），所以當水平直線與(yu) 兩(liang) 條曲線（即兩(liang) 個(ge) 函數的圖像）總共交於(yu) 三個(ge) 點時，必然有一個(ge) 交點是兩(liang) 條曲線的公共點。

上麵的分析中涉及的兩(liang) 個(ge) 知識點：極值點的特性，函數圖像的特征，都應該是高中數學的重點學習(xi) 內(nei) 容。也就是說，這道題在知識點的考察上並沒有什麽(me) 刁鑽之處。

不過，壓軸題畢竟是壓軸題。雖然在大的思路上沒有設置明顯的障礙，但細節上不乏“荊棘”。下麵我們(men) 具體(ti) 看一下有哪些荊棘。

首先來看第一小題。顯然兩(liang) 個(ge) 函數在整個(ge) 定義(yi) 域上都是可導的，所以最小值點一定是駐點，即導數值為(wei) 0的點。易知

f'(x)=e^x-a, g'(x)=a-1/x.

由f'(x)=0得駐點x=lna，由g'(x)=0得駐點x=1/a。

由於(yu) 題目已經告訴我們(men) 兩(liang) 個(ge) 函數有最小值，而它們(men) 的駐點都是唯一的，所以我們(men) 立即可以推出上麵兩(liang) 個(ge) 駐點一定就是極小值點。

不過作為(wei) 驗證方式，我們(men) 還可以通過二階導數來判定一下。

f''(x)=e^x, g''(x)=1/x².

以上兩(liang) 個(ge) 二階導數的值都恒為(wei) 正，所以兩(liang) 個(ge) 函數都必然隻有唯一的最小值點。

下麵來求兩(liang) 個(ge) 函數的最小值的表達式。

f(lna)=a(1-lna), g(1/a)=1+lna.

由於(yu) 最小值相等，所以a(1-lna)=1+lna。

第一個(ge) 難點來了！上麵的等式是關(guan) 於(yu) a的超越方程，而超越方程的求解並沒有係統性的方法，隻能靠技巧。

把上麵的等式重新整理成lna=(a-1)/(a+1)。

之所以整理成這種形式，是為(wei) 了把方程的“超越”部分放到左邊，而右邊是相對基礎的有理函數。

通過分別畫出等號兩(liang) 邊的函數的草圖和觀察，可以發現a=1是方程的一個(ge) 解。

可以猜測這是方程的唯一解。如果要嚴(yan) 格證明唯一性，則需定義(yi) 函數F(a)=lna-(a-1)/(a+1)，然後證明函數F隻有唯一的零點。

這一步也可以算作第二個(ge) 難點。不過我不太了解高中教學對這種方法的介紹和訓練是怎樣的情況，所以不好判斷對考生來說這個(ge) 難點有多大。

下麵來看第二小題。根據第一小題中的分析，函數f和g的圖像都是有唯一的最低點、兩(liang) 端向上無限延伸的曲線，且最低點都在y=1。所以

當b<1時，水平線y=b與(yu) 兩(liang) 條曲線都沒有交點；

當b=1時，y=b與(yu) 兩(liang) 條曲線各有一個(ge) 交點；

當b>1時，y=b與(yu) 兩(liang) 條曲線各有兩(liang) 個(ge) 交點。

因此，要使y=b與(yu) 兩(liang) 條曲線總共有三個(ge) 交點，必須剛好穿過這兩(liang) 條曲線的（唯一）交點。

要求兩(liang) 條曲線的交點，隻需令e^x-x=x-lnx。

第三個(ge) 難點來了！這又是一個(ge) 超越方程，而且比前一個(ge) 看起來更麻煩——前一個(ge) 隻出現了對數函數，這一個(ge) 同時出現對數函數和指數函數。

根據兩(liang) 條曲線的圖形特征，它們(men) 的交點肯定是唯一的，而且交點的橫坐標必在0和1之間（即兩(liang) 條曲線的最低點的橫坐標之間）。所以上麵的超越方程的解肯定存在唯一。

嚴(yan) 格的論證可定義(yi) 函數G(x)=e^x-2x+lnx。根據G'(x)在x>0時恒大於(yu) 0知G是遞增函數，所以G的零點若存在必唯一。又根據G在0附近的值小於(yu) 0及G(1)=e-2>0知唯一解在0和1之間。

要具體(ti) 求出超越方程e^x-x=x-lnx的解似乎不太可能，但要找到y=b與(yu) 兩(liang) 條曲線的三個(ge) 交點之間的關(guan) 係，還是有技巧性的處理方式的。

我們(men) 把這三個(ge) 交點從(cong) 小到大分別記為(wei) p,q,r。則

f(p)=f(q)=g(q)=g(r)=b.

函數f和g的表達式之間有一個(ge) 巧妙的聯係，即在g的表達式中把x替換成e^x，就得到f的表達式。換句話說，f(x)=g(e^x)。

請注意，這個(ge) 等式對任意的x>0都成立。而f(p)=f(q)=b，所以必然有g(e^p)=g(e^q)=b。也就是說，根據f的圖像曲線與(yu) y=b的兩(liang) 個(ge) 交點橫坐標，就可以完全確定g的圖像曲線與(yu) y=b的交點橫坐標。而f與(yu) y=b的右交點就是g與(yu) y=b的左交點，所以q=e^p。