第41屆決賽理論試題深度拆解

距離第41屆全國中學物理競賽決(jue) 賽已經過了一段時間。這段時間裏我們(men) 也看到很多老師和競賽大佬對本屆試題進行點評和分析。

不過現有分析更多地是“就題論題”，分析思路、考點或模型，鮮有針對題目深度溯源，分析題目背景和命題思路的內(nei) 容；尤其是針對多數人的易錯點和未來的學習(xi) 建議更是少之又少。

因此，我們(men) 特針對本次決(jue) 賽理論試題進行深度拆解，對每道題目追根溯源，從(cong) 命題的角度來分析同學們(men) 的“得”與(yu) “失”，並給予同學們(men) 最良心的學習(xi) 建議。

話不多說，一起來看！

第一題

第一題圍繞原子核的β衰變現象展開，這是一個(ge) 經典的核物理現象。題目通過的β衰變展開，要求學生從(cong) 不同角度分析該過程中的能量分布、動量守恒和角動量等基本物理過程，以及推斷出由此產(chan) 生的其他粒子的特征。

問題背景

β衰變的發現可以追溯到20世紀早期，科學家們(men) 通過實驗發現某些原子核會(hui) 自發地釋放出電子，這些電子的動能分布呈連續狀，而非預期的離散能級。這個(ge) 現象在當時引發了廣泛的爭(zheng) 論，直到1930年泡利假設中微子存在。

泡利預言，原子核在β衰變過程中，在放出了β粒子的同時，還放出一個(ge) 自旋為(wei) 1/2，不帶電荷、靜止質量幾乎為(wei) 零的粒子。不久，費米將這種粒子命名為(wei) 中微子。中微子假說成功解釋了β衰變過程中的能量守恒和角動量守恒問題。

問題溯源

該題目源於(yu) 大學核物理教材中的經典問題，同時結合了β衰變過程中粒子產(chan) 生和能量分布的實驗數據。在現代核物理或者粒子物理學導論等相關(guan) 書(shu) 籍中有較為(wei) 詳細的討論，例如陳伯顯的《核輻射物理及探測學》一書(shu) 。

機構刷題營中也曾考查過β衰變的能量特性，討論了β穩定核，即不會(hui) 自發發生β衰變的原子核的特征。

該書(shu) 是機構教研團隊命題常用參考書(shu) 籍

機構刷題營試題題目簡評題目涵蓋β衰變的多個(ge) 方麵，包括能量分布、動量守恒及角動量守恒。每個(ge) 小問由淺入深，最後導向對未觀測粒子的性質推測，考驗學生的推理能力。核反應問題在CPhO中考試中並不是第一次出現，傳(chuan) 統題目更傾(qing) 向於(yu) 考查能量、動量以及電荷守恒層麵，而類似（4）中對於(yu) 反應前後角動量守恒的考查是首次被搬上曆史舞台。

從(cong) 得分情況來看，這道題得分率並不高，大部分學生得分在23~26分區間，為(wei) 什麽(me) 看似簡單的一道題，大家很難拿到30+？其原因是第一問不少同學把原子的靜止質量Mp當作了原子核質量，同時（1）中題幹的描述和引導做到不夠精準，導致學生出現了非物理或者數學層麵的錯誤。

當然，你可以吐槽出題人不了解競賽或者大聲高呼“史史史史史……”這並不能作為(wei) 對未來命題風格和趨勢預判的參考。那麽(me) 這個(ge) 問題給予我們(men) 怎樣的啟示呢？

首先我們(men) 一定要跳出刷題帶來的慣性思維，翻閱近幾年市麵上模擬題，確實存在部分題目把原子質量作為(wei) 原子核質量來處理的，如果保留了這樣的慣性，在麵對新題時是不利的，因為(wei) 命題人可能直接以專(zhuan) 業(ye) 書(shu) 籍或者論文作為(wei) 依據和參考；其二，除了大量刷題外，養(yang) 成閱讀專(zhuan) 業(ye) 物理書(shu) 籍的習(xi) 慣也是必要的。

第二題

第二題主要研究一維耦合彈簧振子係統，這是物理學中研究波和振動的一個(ge) 經典模型。在德拜的特殊模型中，振動模具有波的形式，實際上，振動模具有波的形式是晶格振動的普遍性質，這種振動模被稱為(wei) 格波。雙原子鏈的格波模型的解較為(wei) 簡單，同時能全麵地表現格波的基本特點。

可以看到存在兩(liang) 種不同的色散關(guan) 係，即同相振動的低頻支和反相振動的高頻支，這兩(liang) 種振動模式就是所謂聲學聲子和光學聲子，或許這是命題人選擇該模型的原因。另外，固體(ti) 物理中常選擇的波函數周期性邊條件，在本題中也采用了環狀排列的模型做簡單處理，而不涉及其量子力學本質，這一點的處理和複賽第七題是一致的。

問題溯源

《固體(ti) 物理學 重排本 黃昆》書(shu) 中P90-93討論了雙原子鏈的振動。同時再推薦兩(liang) 本書(shu) 籍《固體(ti) 物理學基礎 閻守勝》以及《固體(ti) 物理學導論 基泰爾》。

題目簡評

題目分為(wei) 多個(ge) 小問，從(cong) 振動方程的建立到本征模式和頻率的求解，再到振幅、動能及頻率的關(guan) 係，逐步深入。

每一步都要求學生在前一問的基礎上做進一步推導，考查了學生的邏輯思維和逐步求解複雜問題的能力。該題幫助學生理解了在複雜係統中不同振動模式的形成原因及其物理意義(yi) ，這種設計可以引導學生將微觀分析和宏觀係統的特性結合。

通過變換條件（如鎖定珠子、改變質量等），學生能更深入地理解振動係統的普遍規律和邊界效應的影響。這種多層次的設問不僅(jin) 是力學知識的考查，也是對學生物理模型建構和簡化能力的訓練。

值得一提的是，機構從(cong) 21年刷題營至今，關(guan) 於(yu) 耦合彈簧振子係統的考查一直沒有停過。

機構刷題營模擬題

2024複賽刷題營板書(shu)

2024決(jue) 賽刷題營試題：行星環動力學問題

第三題

第三題聚焦於(yu) 光學幹涉儀(yi) 的矩陣表示和幹涉原理，涉及馬赫-曾德爾幹涉儀(yi) （Mach-Zehnder Interferometer）、偏振態、以及複雜光學係統的相位差分析等內(nei) 容。這類問題考查了學生對光學係統中光波行為(wei) 的理解和矩陣描述的掌握，兼顧了理論和應用。問題背景光學幹涉是經典光學中的核心內(nei) 容，馬赫-曾德爾幹涉儀(yi) 特別適用於(yu) 分析光的相幹性和相位差。

這類儀(yi) 器在測量折射率變化、精密幹涉測量等領域應用廣泛。基於(yu) 馬赫-曾德爾幹涉儀(yi) 設計的題目可以讓學生體(ti) 會(hui) 光波相幹疊加和相位控製的原理。

第（6）（7）問題將馬赫-曾德爾幹涉儀(yi) 與(yu) 四象限幹涉儀(yi) 結合，考查了學生對光學儀(yi) 器功能的理解。矩陣光學提供了簡便的方法來描述光學器件對光的影響。在此題中，分束器、全反鏡、偏振片、波片等元件都可以用矩陣表示，這種處理方法廣泛用於(yu) 光學和量子信息科學的研究中，當前物理競賽環境基本已經把矩陣光學作為(wei) 教學內(nei) 容之一，例如機構秋季熱光近代專(zhuan) 題課講義(yi) （光學進階1、光學進階4講義(yi) ）。

偏振的矩陣表示我們(men) 了解到的得分數據顯示，本題得分的方差較大，這意味著本題有較大的區分度，這也是曆屆決(jue) 賽光學題目的一個(ge) 特點，在考場上看到光學大長題不敢動筆，這一幕同樣出現在39決(jue) 題目5的雙折射問題中。

這類題目也尤其適合作為(wei) 決(jue) 賽題目以區分不同層次的學生。從(cong) 教學實踐的層麵看，學生對於(yu) 光學普物內(nei) 容掌握普遍停留在基礎層麵，一方麵光學進階的內(nei) 容相比於(yu) 其它模塊學習(xi) 成本更高，而僅(jin) 針對複賽，學習(xi) 的收益性價(jia) 比有限，同時市麵上光學相關(guan) 的優(you) 質模擬題目也相對稀缺，機構教研團隊接下來將聚焦於(yu) 這個(ge) 問題，一方麵繼續提升光學進階課程的講義(yi) 和選題質量，另一方麵也更加側(ce) 重光學優(you) 質試題的研發。

第四題

第四題是一個(ge) 兩(liang) 輪平衡車模型的力學分析問題，涉及經典力學中的多項知識，包括轉動、穩定性分析、剛體(ti) 動力學、小振動等。值得注意的是，本題滿分為(wei) 70分，是本試卷分值最高的題目。

但從(cong) 我們(men) 拿到的得分數據來看，本題得分的情況並不理想，有多位理論160~190的學生，該題僅(jin) 拿到<18的分數，甚至有數十位同學拿到個(ge) 位數分數！！

平時練習(xi) 被我們(men) 嫌棄的剛體(ti) 問題（太無聊、沒有趣味等），在考場上卻搖身一變，成為(wei) 了一道區分金牌還是集訓隊的題目。

題目簡評

（1）問是基礎性問題，要求計算平衡車在傾(qing) 斜角度下勻速圓周運動的軌跡半徑以及地麵正壓力的大小。此小問主要考查學生對離心力、正壓力和角動量守恒的理解，是基礎力學分析能力的直接考查。值得注意的是：該小問對於(yu) 離心力矩不作用在質心，機構在近年的力學聯考、刷題營、金牌聯盟試卷三、力學拔高班等均對學生進行了反複的強調。

（2）問涉及平衡車直線加速過程中的扭矩和質心加速度。本小問複刻了38複賽第7題的問題，部分同學考前沒有認真翻看官方競委會(hui) 出具的訂正版答案，而沿用了初版錯誤的答案，導致在分析細杆時忽視了反向的扭矩，這樣就幾乎拿不到什麽(me) 分數。正如同41複賽第五題考到了真題，給我們(men) 的啟發是，在備考過程中，真題是非常重要的參考資料，同時務必要拿到訂正版的題目與(yu) 答案。

（3）問分析小振動，這是物理競賽中的經典考點，要求學生計算一個(ge) 動態係統的振動頻率，並探索在不同係統參數下的頻率變化規律。眾(zhong) 所周知，機構刷題營一向重視剛體(ti) 綜合以及微振動問題，我們(men) 也一直認為(wei) 剛體(ti) 是決(jue) 賽題目中看似容易拿分，但實則區分度非常高的一類題目。我們(men) 從(cong) 已有的數據（查分前）隨機的選出來理論總分在140~190之間的10位學生。

看了如上的分數條，不少教練可能會(hui) 有疑惑：為(wei) 什麽(me) 有些同學“精通四大，熟悉固體(ti) 物理、天體(ti) 物理，拳打QED”，但是剛體(ti) 題目隻能拿到個(ge) 位數的分數？有幾點原因：

1，做題順序問題，通過我們(men) 對學生的調研，先是受到第一題表述問題的影響，再接著2和3具有一定的閱讀和計算量，等做到第4題時，看到70分大長題，大部分學生選擇了先行跳過，而等到最後來解決(jue) 這道題目的時候，很多同學都會(hui) 遇到考試時間不夠、自身精力不足的情況；

2，剛體(ti) 題目不太依賴你見過了多少道類似題，而拚的是計算的熟練度與(yu) 準確度，即使閱讀了更多的物理專(zhuan) 業(ye) 的書(shu) 籍，也並不能增加你做出來剛體(ti) 題目的概率。換句話說，博聞強識的天賦型選手也不一定能在剛體(ti) 部分表現得更加出色，反而是踏實沉穩、基本功紮實的同學，更容易拿到高分。

第五題

第五題聚焦於(yu) 球對稱恒星模型的結構和穩定性，這是一個(ge) 典型的天體(ti) 物理和流體(ti) 力學問題，涉及引力、流體(ti) 靜力平衡、引力勢能和熱力學等內(nei) 容。這類問題通過簡化恒星內(nei) 部結構的物理模型，考查學生對複雜係統的理解、建立微分方程求解方法的掌握，以及恒星結構穩定性和能量分布的綜合分析能力。

問題溯源

該題的設置可能參考了《恒星結構與(yu) 演化》（Stellar Structure and Evolution），這種恒星模型分析方法還可以在一些經典天體(ti) 物理學教材如《Introduction to Modern Astrophysics》中找到類似例題，對於(yu) 國內(nei) 的教材，可以參考中科大出版的《天體(ti) 物理概論 向守平》。關(guan) 於(yu) 球對稱恒星的模型在今年機構的複賽、決(jue) 賽營裏均有所涉獵，如圖：

2024機構複賽營

2024機構決(jue) 賽營（1）至（4）考查球對稱情況熱力學建模，討論不解體(ti) 條件，其中光子氣體(ti) 的部分是同學們(men) 非常熟悉的內(nei) 容；（5）至（7）問考慮了輻射效應，這是容易丟(diu) 分的部分。輻射效應對恒星溫度分布的影響涉及光壓、輻射平衡和不透明度等概念，需要一定的物理模型化和抽象分析能力。

實際上該小問考查的背景是愛丁頓極限（Eddington Limit），又叫愛丁頓光度極限，是指恒星、黑洞或其他天體(ti) 的輻射壓力與(yu) 其引力的平衡點。概念最早由英國天文學家阿瑟·愛丁頓於(yu) 1926年提出，用於(yu) 描述恒星的最大光度。

當一個(ge) 天體(ti) 的輻射能量流密度（光度）達到某一極限時，輻射壓力將與(yu) 引力產(chan) 生平衡，這時天體(ti) 不再能進一步增加亮度，否則其輻射將導致物質被“吹散”，無法保持結構。如果先前對這塊內(nei) 容已經有所了解，則可能拿到較高的分數，從(cong) 第四題展示的分數條我們(men) 可以看出，大部分學生這道題可以拿到40+的分數。

第六題

第六題涉及量子力學中的不確定性原理和真空電磁相互作用力，這是一個(ge) 結合了量子力學和電磁學的綜合問題，題目不僅(jin) 考查了學生對量子力學基礎知識（如不確定性關(guan) 係和基態能量）和電磁相互作用力的理解，還要求學生能夠將這些概念應用到理想導體(ti) 之間的電磁力計算中。

題目來源

這道題關(guan) 於(yu) 零點能量和卡西米爾效應的討論參考了量子電動力學（QED）和量子場論中的經典問題，而本題目的圖片和部分推導則是直接搬運自《QUANTUM FIELD THERORY and the STANDARD MODEL》Matthew D. Schwartz。

參考書(shu) 籍多種正規化方式

不依賴函數選取的正規化

題目點評

不確定性原理是量子力學的核心概念之一，在複賽中的第四題和第七題都有相關(guan) 內(nei) 容的考查。在這道題目中，基於(yu) 不確定性原理提出的“基態能量不可能為(wei) 零”這一概念，啟發學生理解量子場理論中的能量起源問題，特別是電磁場中的真空能量。真空不僅(jin) 為(wei) 空間中的空白區域，還包含著能量和場波動，這些波動即使在絕對零度下也存在。題目探討了真空中的電磁場和導體(ti) 之間的相互作用力，尤其是電磁零點能量如何影響物體(ti) 之間的相互作用。

即所謂的卡西米爾效應（Casimir effect），對應的卡西米爾力源於(yu) 虛粒子的湧現和在有限空間內(nei) 的量子場波動。

（1）至（3），甚至第（4）小問題目中給的引導是足夠的，即使先前沒有學過QED，沒有刷到過相關(guan) 的題目，前四問也能拿下（前四問一共28分，從(cong) 學生得分也能證明這個(ge) 結論），而第（5）問將問題進一步複雜化，引入高頻電磁波模式的貢獻和導體(ti) 表麵電磁力的計算，要求學生處理更複雜的物理情境，考慮多種影響因素。這部分內(nei) 容涉及量子場論中的高階效應和數學技巧，如歐拉-麥克勞林公式和積分技巧，對數學的要求較高。

重整化是高能物理和凝聚態理論中非常重要的物理思想。在QED中，計算散射振幅的微擾展開時涉及到的圈圖積分會(hui) 出現發散現象，也就是積分無法收斂。

通過引入和本題類似的動量截斷，再通過質量和電荷重整化將這一截斷吸收進拉格朗日量的裸質量和裸電荷，這樣的重整化操作即可以消除QED中所有圈圖的發散；在凝聚態理論中，重整化群通過研究係統耦合參數隨長度尺度的變化，發現各種臨(lin) 界現象存在普適性，通過重整化群的不動點思想可以計算出係統臨(lin) 界點附近的臨(lin) 界指數等等。本題討論了重整化思想中的正規化操作，即通過引入截斷或核來處理無窮發散問題。

本題（4）使用的正規化方式為(wei) heat kernel，而（5）則是不依賴函數具體(ti) 形式的正規化，實際上正是[Casimir, 1948]所采用的方式，時隔76年出現到了CPhO試卷上，如果先前沒有任何經驗的學生，想在考場上嚴(yan) 格的證明出（5）是非常有挑戰的，實際上從(cong) 我們(men) 拿到的數據來看，幾乎沒有學生拿到35+的分數，這與(yu) 複賽第7題的後麵幾問情況相同。

猜測出題人是一位高能領域的老師，他出此題是希望在高等數學可以處理的框架下，幫助學生對高能物理和凝聚態理論中常見的重整化思想有更深刻的理解。