數學建模的一般步驟

建立實際問題的數學模型，尤其是建立抽象程度較高的模型是一種創造性的勞動。現實世界中的實際問題是多種多樣的，所以數學建模的方法也是多種多樣的，我們(men) 不能按照一種固定的模式來建立各種實際問題的數學模型。

但是，建立數學模型的方法和過程還是存在一些共性的東(dong) 西，掌握這些規律將有助於(yu) 數學建模任務的完成。下麵就按照一般采用的建模基本過程給出數學建模的一般步驟。

（1）模型準備

要建立實際問題的數學模型，首先要對需要解決(jue) 問題的實際背景和內(nei) 在機理進行深刻的了解，通過適當的調查和研究明確所解決(jue) 的問題是什麽(me) ？所要達到的主要目的是什麽(me) ？

在此過程中，需要深入實際進行調查和研究，收集和掌握與(yu) 研究問題相關(guan) 的信息、資料，查閱有關(guan) 的文獻資料，與(yu) 熟悉情況的有關(guan) 人員進行討論，弄清實際問題的特征，按解決(jue) 問題的目的更合理地收集數據，初步確定建立模型的類型等。

（2）模型假設

一般來說，現實世界裏的實際問題往往錯綜複雜，涉及麵極廣。這樣的問題，如果不經過抽象和簡化，人們(men) 就無法準確地把握它的本質屬性、就很難將其轉化為(wei) 數學問題；即便可以轉化為(wei) 數學問題，也會(hui) 很難求解。

因此要建立一個(ge) 數學模型，就要對所研究的問題和收集到的相關(guan) 信息進行分析，將那些反映問題本質屬性的形態量及其關(guan) 係抽象出來，而簡化掉那些非本質的因素，使之擺脫實際問題的集體(ti) 複雜形態，形成對建立模型有用的信息資源和前提條件。

作假設時既要運用與(yu) 問題相關(guan) 的物理、化學、生物、經濟等方麵的知識，又要充分發揮想象力、洞察力和判斷力。但是，對實際問題的抽象和簡化也不是無條件的（不合理的假設或過於(yu) 簡單的假設會(hui) 導致模型的失敗），必須按照一定的合理性原則進行。假設的合理性原則有以下幾點。

①目的性原則：根據研究問題的特征抽象出與(yu) 建模目的有關(guan) 的因素，簡化掉那些與(yu) 建立模型無關(guan) 或關(guan) 係不大的因素。

②簡明性原則：所給出的假設條件要簡單、準確，有利於(yu) 構造模型。

③真實性原則：假設條件要符合情理，簡化帶來的誤差應滿足實際問題所能允許的誤差範圍。

④全麵性原則：在對問題作出假設的同時，還要給出實際問題所處的環境條件等。

總之，模型假設就是根據實際對象的特征和建模的目的，在掌握必要資料的基礎上，對問題進行合理的抽象和必要的簡化，並用精確的語言提出一些恰當的假設。應該說這是一個(ge) 比較困難的過程，也是建模過程中十分關(guan) 鍵的一步，往往不能一次完成，而需要經過多次反複才能完成。

（3）模型建立

在模型假設的基礎上，首先區分哪些是常量、哪些是變量、哪些是已知量、哪些是未知量；然後查明各種量所處的地位、作用和它們(men) 之間的關(guan) 係，利用適當的數學工具刻畫各變量之間的關(guan) 係（等式或不等式），建立相應的數學結構（命題、表格、圖形等），從(cong) 而構造出所研究問題的數學模型。

在構造模型時究竟采用什麽(me) 數學工具要根據問題的特征、建模的目的要求以及建模人的數學特長而定。可以這樣講，數學的任一分支在構造模型是都可能用到，而同一實際問題也可采用不同的數學方法構造出不同的數學模型。但在能夠達到預期目的的前提下，盡量采用簡單的數學工具，以便得到的模型能夠具有更廣泛的應用。

另外，在建立模型時究竟采用什麽(me) 方法也要根據問題的性質和模型假設所提供的信息而定。隨著現代技術的不斷發展，建模的方法層出不窮，它們(men) 各有所長、各有所短。在建立模型時，可以同時采用，以取長補短，最終達到建模的目的。

在初步建立數學模型之後，一般還要進行必要的分析和簡化，使其達到便於(yu) 求解的形式，並根據研究問題的目的和要求，對其進行檢查，主要看它是否能代表所研究的實際問題。

（4）模型求解

構造數學模型之後，再根據已知條件和數據、分析模型的特征和結構特點，設計或采用求解模型的數學方法和算法，主要包括解方程、畫圖形、邏輯運算、數值計算等各種傳(chuan) 統的和現代的數學方法，特別是現代計算機技術和數學軟件的使用，可以快速、準確地進行模型的求解。

（5）模型的分析與(yu) 檢驗

根據建模的目的和要求，對模型求解的數值結果進行數學上的分析，主要采用的方法有：進行變量之間依賴關(guan) 係的分析，進行穩定性分析，進行係統參數的靈敏度分析，進行誤差分析等。通過分析，如果不符合要求，就修改或增減模型假設條件，重新建立模型，直至符合要求；如果符合要求，還可以對模型進行評價(jia) 、預測、優(you) 化等。

在模型分析符合要求之後，還必須回到實際問題中對模型進行檢驗，利用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和適用性，即檢驗模型的正確性。如果由模型計算出來的理論數值與(yu) 實際數值比較吻合，則模型是成功的；如果理論數值與(yu) 實際數值差別太大或部分不符，則模型是失敗的。

若能肯定建模和求解過程準確無誤的話，一般來講，問題往往出在模型假設上。此時，應該對實際問題中的主次因素再次進行分析，如果某些因素因被忽略而使模型失敗，則再建立模型時將其重新考慮進去。

修改時可能去掉或增加一些變量，也可能改變一些變量的性質；或者調整參數，或者改換數學方法，通常一個(ge) 模型需要經過反複修改才能成功。因此，模型的檢驗對於(yu) 模型的成敗至關(guan) 重要，必不可少。

（6）模型應用

目前，數學模型的應用已經非常廣泛，越來越滲透到社會(hui) 學科、生命學科、環境學科等各個(ge) 領域。而模型的應用才是數學建模的宗旨，也是對模型的最客觀、最公正的檢驗。因此，一個(ge) 成功的數學模型，必須根據建模的目的，將其用於(yu) 分析、研究和解決(jue) 實際問題，充分發揮數學模型在生產(chan) 和科研中的重要作用和意義(yi) 。

歸納起來，數學建模的過程和主要步驟可用圖1.1所示的流程圖來表示。

數學建模的一般步驟