數學建模中常用的模型有哪些？

模型的建立在建模靜思中至關(guan) 重要常用的數學模型有哪些呢？
今天為(wei) 大家分享一下常見的模型。

01優(you) 化模型

1.1、數學規劃模型

線性規劃、整數線性規劃、非線性規劃、多目標規劃、動態規劃。

1.2
微分方程組模型
阻滯增長模型、SARS傳(chuan) 播模型

1.3
圖論與(yu) 網絡優(you) 化問題

最短路徑問題、網絡最大流問題、最小費用最大流問題、最小生成樹問題(MST)、旅行商問題(TSP)、圖的著色問題。

1.4
概率模型
決(jue) 策模型、隨機存儲(chu) 模型、隨機人口模型、報童問題、Markov鏈模型。

1.5
組合優(you) 化經典問題

多維背包問題(MKP)
背包問題：個(ge) 物品，對物品，體(ti) 積為(wei) ，背包容量為(wei) 。如何將盡可能多的物品裝入背包。
多維背包問題：個(ge) 物品，對物品，價(jia) 值為(wei) ，體(ti) 積為(wei) ，背包容量為(wei) 。如何選取物品裝入背包，是背包中物品的總價(jia) 值最大。
多維背包問題在實際中的應用有：資源分配、貨物裝載和存儲(chu) 分配等問題。該問題屬於(yu) 難問題。
工作指派問題：個(ge) 工作可以由個(ge) 工人分別完成。工人完成工作的時間為(wei) 。如何安排使總工作時間最小。
二維指派問題（常以機器布局問題為(wei) 例）：台機器要布置在個(ge) 地方，機器與(yu) 之間的物流量為(wei) ，位置與(yu) 之間的距離為(wei) ，如何布置使費用最小。
二維指派問題在實際中的應用有：校園建築物的布局、醫院科室的安排、成組技術中加工中心的組成問題等。

旅行商問題(TSP)
旅行商問題：有個(ge) 城市，城市與(yu) 之間的距離為(wei) ，找一條經過個(ge) 城市的巡回（每個(ge) 城市經過且隻經過一次，最後回到出發點），使得總路程最小。

車輛路徑問題(VRP)
車輛路徑問題（也稱車輛計劃）：已知個(ge) 客戶的位置坐標和貨物需求，在可供使用車輛數量及運載能力條件的約束下，每輛車都從(cong) 起點出發，完成若幹客戶點的運送任務後再回到起點，要求以最少的車輛數、最小的車輛總行程完成貨物的派送任務。TSP問題是VRP問題的特例。

車間作業(ye) 調度問題(JSP)
車間調度問題：存在個(ge) 工作和台機器，每個(ge) 工作由一係列操作組成，操作的執行次序遵循嚴(yan) 格的串行順序，在特定的時間每個(ge) 操作需要一台特定的機器完成，每台機器在同一時刻不能同時完成不同的工作，同一時刻同一工作的各個(ge) 操作不能並發執行。如何求得從(cong) 第一個(ge) 操作開始到最後一個(ge) 操作結束的最小時間間隔。

02
分類模型

判別分析是在已知研究對象分成若幹類型並已經取得各種類型的一批已知樣本的觀測數據，在此基礎上根據某些準則建立判別式，然後對未知類型的樣品進行判別分析。
聚類分析則是給定的一批樣品，要劃分的類型實現並不知道，正需要通過局內(nei) 分析來給以確定類型的。

2.1
判別分析

距離判別法
基本思想：首先根據已知分類的數據，分別計算各類的重心即分組(類)的均值，判別準則是對任給的一次觀測，若它與(yu) 第類的重心距離最近，就認為(wei) 它來自第類。
至於(yu) 距離的測定，可以根據實際需要采用歐氏距離、馬氏距離、明科夫距離等。

Fisher判別法
基本思想：從(cong) 兩(liang) 個(ge) 總體(ti) 中抽取具有個(ge) 指標的樣品觀測數據，借助方差分析的思想構造一個(ge) 判別函數或稱判別式。其中係數確定的原則是使兩(liang) 組間的區別最大，而使每個(ge) 組內(nei) 部的離差最小。
對於(yu) 一個(ge) 新的樣品，將它的p個(ge) 指標值代人判別式中求出 y 值，然後與(yu) 判別臨(lin) 界值(或稱分界點(後麵給出)進行比較，就可以判別它應屬於(yu) 哪一個(ge) 總體(ti) 。在兩(liang) 個(ge) 總體(ti) 先驗概率相等的假設下，判別臨(lin) 界值一般取。最後，用統計量來檢驗判別效果，若則認為(wei) 判別有效，否則判別無效。
以上描述的是兩(liang) 總體(ti) 判別，至於(yu) 多總體(ti) 判別方法則需要加以擴展。
Fisher判別法隨著總體(ti) 數的增加，建立的判別式也增加，因而計算比較複雜。

Bayes判別法
基本思想：假定對所研究的對象有一定的認識，即假設個(ge) 總體(ti) 中，第個(ge) 總體(ti) 的先驗概率為(wei) ，概率密度函數為(wei) 。利用bayes公式計算觀測樣品來自第個(ge) 總體(ti) 的後驗概率，當時，將樣本判為(wei) 總體(ti) 。

逐步判別法
基本思想與(yu) 逐步回歸法類似，采用“有進有出”的算法，逐步引入變量，每次引入一個(ge) 變量進入判別式，則同時考慮在較早引入判別式的某些作用不顯著的變量剔除出去。

2.2
聚類分析

聚類分析是一種無監督的分類方法，即不預先指定類別。
根據分類對象不同，聚類分析可以分為(wei) 樣本聚類（Q型）和變量聚類（R型）。樣本聚類是針對觀測樣本進行分類，而變量聚類則是試圖找出彼此獨立且有代表性的自變量，而又不丟(diu) 失大部分信息。變量聚類是一種降維的方法。

係統聚類法（分層聚類法）
基本思想：開始將每個(ge) 樣本自成一類；然後求兩(liang) 兩(liang) 之間的距離，將距離最近的兩(liang) 類合成一類；如此重複，直到所有樣本都合為(wei) 一類為(wei) 止。
適用範圍：既適用於(yu) 樣本聚類，也適用於(yu) 變量聚類。並且距離分類準則和距離計算方法都有多種，可以依據具體(ti) 情形選擇。

快速聚類法（K-均值聚類法）
基本思想：按照指定分類數目，選擇個(ge) 初始聚類中心；計算每個(ge) 觀測量（樣本）到各個(ge) 聚類中心的距離，按照就近原則將其分別分到放入各類中；重新計算聚類中心，繼續以上步驟；滿足停止條件時（如最大迭代次數等）則停止。
使用範圍：要求用戶給定分類數目，隻適用於(yu) 樣本聚類（Q型），不適用於(yu) 變量聚類（R型）。

兩(liang) 步聚類法（智能聚類方法）
基本思想：先進行預聚類，然後再進行正式聚類。
適用範圍：屬於(yu) 智能聚類方法，用於(yu) 解決(jue) 海量數據或者具有複雜類別結構的聚類分析問題。可以同時處理離散和連續變量，自動選擇聚類數，可以處理超大樣本量的數據。

模糊聚類分析
與(yu) 遺傳(chuan) 算法、神經網絡或灰色理論聯合的聚類方法。

03
評價(jia) 模型

3.1
層次分析法(AHP)
基本思想：是定性與(yu) 定量相結合的多準則決(jue) 策、評價(jia) 方法。將決(jue) 策的有關(guan) 元素分解成目標層、準則層和方案層，並通過人們(men) 的判斷對決(jue) 策方案的優(you) 劣進行排序，在此基礎上進行定性和定量分析。它把人的思維過程層次化、數量化，並用數學為(wei) 分析、決(jue) 策、評價(jia) 、預報和控製提供定量的依據。
基本步驟：構建層次結構模型；構建成對比較矩陣；層次單排序及一致性檢驗（即判斷主觀構建的成對比較矩陣在整體(ti) 上是否有較好的一致性）；層次總排序及一致性檢驗（檢驗層次之間的一致性）。
優(you) 點：它完全依靠主觀評價(jia) 做出方案的優(you) 劣排序，所需數據量少，決(jue) 策花費的時間很短。從(cong) 整體(ti) 上看，AHP在複雜決(jue) 策過程中引入定量分析，並充分利用決(jue) 策者在兩(liang) 兩(liang) 比較中給出的偏好信息進行分析與(yu) 決(jue) 策支持，既有效地吸收了定性分析的結果，又發揮了定量分析的優(you) 勢，從(cong) 而使決(jue) 策過程具有很強的條理性和科學性，特別適合在社會(hui) 經濟係統的決(jue) 策分析中使用。
缺點：用AHP進行決(jue) 策主觀成分很大。當決(jue) 策者的判斷過多地受其主觀偏好影響，而產(chan) 生某種對客觀規律的歪曲時，AHP的結果顯然就靠不住了。

適用範圍：尤其適合於(yu) 人的定性判斷起重要作用的、對決(jue) 策結果難於(yu) 直接準確計量的場合。要使AHP的決(jue) 策結論盡可能符合客觀規律，決(jue) 策者必須對所麵臨(lin) 的問題有比較深入和全麵的認識。另外，當遇到因素眾(zhong) 多，規模較大的評價(jia) 問題時，該模型容易出現問題，它要求評價(jia) 者對問題的本質、包含的要素及其相互之間的邏輯關(guan) 係能掌握得十分透徹，否則評價(jia) 結果就不可靠和準確。

改進方法：
(1)   成對比較矩陣可以采用德爾菲法獲得。
(2)   如果評價(jia) 指標個(ge) 數過多（一般超過9個(ge) ），利用層次分析法所得到的權重就有一定的偏差，繼而組合評價(jia) 模型的結果就不再可靠。可以根據評價(jia) 對象的實際情況和特點，利用一定的方法，將各原始指標分層和歸類，使得每層各類中的指標數少於(yu) 9個(ge) 。

3.2
灰色綜合評價(jia) 法

基本思想：灰色關(guan) 聯分析的實質就是，可利用各方案與(yu) 最優(you) 方案之間關(guan) 聯度大小對評價(jia) 對象進行比較、排序。關(guan) 聯度越大，說明比較序列與(yu) 參考序列變化的態勢越一致，反之，變化態勢則相悖。由此可得出評價(jia) 結果。
基本步驟：建立原始指標矩陣；確定最優(you) 指標序列；進行指標標準化或無量綱化處理；求差序列、最大差和最小差；計算關(guan) 聯係數；計算關(guan) 聯度。
優(you) 點：是一種評價(jia) 具有大量未知信息的係統的有效模型，是定性分析和定量分析相結合的綜合評價(jia) 模型，該模型可以較好地解決(jue) 評價(jia) 指標難以準確量化和統計的問題，可以排除人為(wei) 因素帶來的影響，使評價(jia) 結果更加客觀準確。整個(ge) 計算過程簡單，通俗易懂，易於(yu) 為(wei) 人們(men) 所掌握;數據不必進行歸一化處理，可用原始數據進行直接計算，可靠性強；評價(jia) 指標體(ti) 係可以根據具體(ti) 情況增減；無需大量樣本，隻要有代表性的少量樣本即可。
缺點：要求樣本數據且具有時間序列特性；隻是對評判對象的優(you) 劣做出鑒別，並不反映絕對水平，故基於(yu) 灰色關(guan) 聯分析綜合評價(jia) 具有“相對評價(jia) ”的全部缺點。
適用範圍：對樣本量沒有嚴(yan) 格要求，不要求服從(cong) 任何分布，適合隻有少量觀測數據的問題；應用該種方法進行評價(jia) 時，指標體(ti) 係及權重分配是一個(ge) 關(guan) 鍵的問題，選擇的恰當與(yu) 否直接影響最終評價(jia) 結果。
改進方法：
(1)   采用組合賦權法：根據客觀賦權法和主觀賦權法綜合而得權係數。
(2)   結合TOPSIS法：不僅(jin) 關(guan) 注序列與(yu) 正理想序列的關(guan) 聯度，而且關(guan) 注序列與(yu) 負理想序列的關(guan) 聯度，依據公式計算最後的關(guan) 聯度。

3.3
模糊綜合評價(jia) 法
基本思想：是以模糊數學為(wei) 基礎，應用模糊關(guan) 係合成的原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從(cong) 多個(ge) 因素對被評價(jia) 事物隸屬等級（或稱為(wei) 評語集）狀況進行綜合性評價(jia) 的一種方法。綜合評判對評判對象的全體(ti) ，根據所給的條件，給每個(ge) 對象賦予一個(ge) 非負實數評判指標，再據此排序擇優(you) 。
基本步驟：確定因素集、評語集；構造模糊關(guan) 係矩陣；確定指標權重；進行模糊合成和做出評價(jia) 。
優(you) 點：數學模型簡單，容易掌握，對多因素、多層次的複雜問題評判效果較好。模糊評判模型不僅(jin) 可對評價(jia) 對象按綜合分值的大小進行評價(jia) 和排序，而且還可根據模糊評價(jia) 集上的值按最大隸屬度原則去評定對象所屬的等級，結果包含的信息量豐(feng) 富。評判逐對進行，對被評對象有唯一的評價(jia) 值，不受被評價(jia) 對象所處對象集合的影響。接近於(yu) 東(dong) 方人的思維習(xi) 慣和描述方法，因此它更適用於(yu) 對社會(hui) 經濟係統問題進行評價(jia) 。
缺點：並不能解決(jue) 評價(jia) 指標間相關(guan) 造成的評價(jia) 信息重複問題，隸屬函數的確定還沒有係統的方法，而且合成的算法也有待進一步探討。其評價(jia) 過程大量運用了人的主觀判斷，由於(yu) 各因素權重的確定帶有一定的主觀性，因此，總的來說，模糊綜合評判是一種基於(yu) 主觀信息的綜合評價(jia) 方法。
應用範圍：廣泛地應用於(yu) 經濟管理等領域。綜合評價(jia) 結果的可靠性和準確性依賴於(yu) 合理選取因素、因素的權重分配和綜合評價(jia) 的合成算子等。
改進方法： 采用組合賦權法：根據客觀賦權法和主觀賦權法綜合而得權係數。

3.4
BP神經網絡綜合評價(jia) 法

基本思想：是一種交互式的評價(jia) 方法，它可以根據用戶期望的輸出不斷修改指標的權值，直到用戶滿意為(wei) 止。因此，一般來說，人工神經網絡評價(jia) 方法得到的結果會(hui) 更符合實際情況。

優(you) 點：神經網絡具有自適應能力，能對多指標綜合評價(jia) 問題給出一個(ge) 客觀評價(jia) ，這對於(yu) 弱化權重確定中的人為(wei) 因素是十分有益的。在以前的評價(jia) 方法中，傳(chuan) 統的權重設計帶有很大的模糊性，同時權重確定中人為(wei) 因素影響也很大。隨著時間、空間的推移，各指標對其對應問題的影響程度也可能發生變化，確定的初始權重不一定符合實際情況。再者，考慮到整個(ge) 分析評價(jia) 是一個(ge) 複雜的非線性大係統，必須建立權重的學習(xi) 機製，這些方麵正是人工神經網絡的優(you) 勢所在。針對綜合評價(jia) 建模過程中變量選取方法的局限性，采用神經網絡原理可對變量進行貢獻分析，進而剔除影響不顯著和不重要的因素，以建立簡化模型，可以避免主觀因素對變量選取的幹擾。

缺點：ANN在應用中遇到的最大問題是不能提供解析表達式，權值不能解釋為(wei) 一種回歸係數，也不能用來分析因果關(guan) 係，目前還不能從(cong) 理論上或從(cong) 實際出發來解釋ANN的權值的意義(yi) 。需要大量的訓練樣本，精度不高，應用範圍是有限的。最大的應用障礙是評價(jia) 算法的複雜性，人們(men) 隻能借助計算機進行處理，而這方麵的商品化軟件還不夠成熟。

適用範圍：神經網絡評價(jia) 模型具有自適應能力、可容錯性，能夠處理非線性、非局域性的大型複雜係統。在對學習(xi) 樣本訓練中，無需考慮輸入因子之間的權係數，ANN通過輸入值與(yu) 期望值之間的誤差比較，沿原連接權自動地進行調節和適應，因此該方法體(ti) 現了因子之間的相互作用。

改進方法：采用組合評價(jia) 法對用其它評價(jia) 方法得出的結果，選取一部分作為(wei) 訓練樣本，一部分作為(wei) 待測樣本進行檢驗，如此對神經網絡進行訓練，知道滿足要求為(wei) 止，可得到更好的效果。

04
預測模型

定性研究與(yu) 定量研究的結合，是科學的預測的發展趨勢。在實際預測工作中，應該將定性預測和定量預測結合起來使用，即在對係統做出正確分析的基礎上，根據定量預測得出的量化指標，對係統未來走勢做出判斷。

4.1
回歸分析法

基本思想：根據曆史數據的變化規律，尋找自變量與(yu) 因變量之間的回歸方程式，確定模型參數，據此預測。回歸問題分為(wei) 一元和多元回歸、線性和非線性回歸。
特點：技術比較成熟，預測過程簡單；將預測對象的影響因素分解，考察各因素的變化情況，從(cong) 而估計預測對象未來的數量狀態；回歸模型誤差較大，外推特性差。
適用範圍：回歸分析法一般適用於(yu) 中期預測。回歸分析法要求樣本量大且要求樣本有較好的分布規律，當預測的長度大於(yu) 占有的原始數據長度時，采用該方法進行預測在理論上不能保證預測結果的精度。另外，可能出現量化結果與(yu) 定性分析結果不符的現象，有時難以找到合適的回歸方程類型。

4.2
時間序列分析法
基本思想：把預測對象的曆史數據按一定的時間間隔進行排列，構成一個(ge) 隨時間變化的統計序列，建立相應的數據隨時間變化的變化模型，並將該模型外推到未來進行預測。
適用範圍：此方法有效的前提是過去的發展模式會(hui) 延續到未來，因而這種方法對短期預測效果比較好，而不適合作中長期預測。一般來說，若影響預測對象變化各因素不發生突變，利用時間序列分析方法能得到較好的預測結果；若這些因素發生突變，時間序列法的預測結果將受到一定的影響。

4.3
BP神經網絡法

人工神經網絡的理論有表示任意非線性關(guan) 係和學習(xi) 等的能力，給解決(jue) 很多具有複雜的不確定性和時變性的實際問題提供了新思想和新方法。
利用人工神經網絡的學習(xi) 功能，用大量樣本對神經元網絡進行訓練，調整其連接權值和閉值，然後可以利用已確定的模型進行預測。神經網絡能從(cong) 數據樣本中自動地學習(xi) 以前的經驗而無需繁複的查詢和表述過程，並自動地逼近那些最佳刻畫了樣本數據規律的函數，而不論這些函數具有怎樣的形式，且所考慮的係統表現的函數形式越複雜，神經網絡這種特性的作用就越明顯。
誤差反向傳(chuan) 播算法(BP算法)的基本思想是通過網絡誤差的反向傳(chuan) 播，調整和修改網絡的連接權值和閉值，使誤差達到最小，其學習(xi) 過程包括前向計算和誤差反向傳(chuan) 播。它利用一個(ge) 簡單的三層人工神經網絡模型，就能實現從(cong) 輸入到輸出之間任何複雜的非線性映射關(guan) 係。目前，神經網絡模型已成功地應用於(yu) 許多領域，諸如經濟預測、財政分析、貸款抵押評估和破產(chan) 預測等許多經濟領域。
優(you) 點：可以在不同程度和層次上模仿人腦神經係統的結構及信息處理和檢索等功能，對大量非結構性、非精確性規律具有極強的自適應功能，具有信息記憶、自主學習(xi) 、知識推理和優(you) 化計算等特點，其自學習(xi) 和自適應功能是常規算法和專(zhuan) 家係統技術所不具備的，同時在一定程度上克服了由於(yu) 隨機性和非定量因素而難以用數學公式嚴(yan) 密表達的困難。
缺點：網絡結構確定困難，同時要求有足夠多的曆史數據，樣本選擇困難，算法複雜，容易陷入局部極小點。

4.4
支持向量機法

支持向量機是基於(yu) 統計學習(xi) 的機器學習(xi) 方法，通過尋求結構風險化最小，實現經驗風險和置信範圍的最小，從(cong) 而達到在統計樣本較少的情況下，亦能獲得良好統計規律的目的。
其中支持向量機是統計學習(xi) 理論的核心和重點。支持向量機是結構風險最小化原理的近似，它能夠提高學習(xi) 機的泛化能力，既能夠由有限的訓練樣本得到小的誤差，又能夠保證對獨立的測試集仍保持小的誤差，而且支持向量機算法是一個(ge) 凸優(you) 化問題，因此局部最優(you) 解一定是全局最優(you) 解，支持向量機就克服了神經網絡收斂速度慢和局部極小點等缺陷。
核函數的選取在SVM方法中是一個(ge) 較為(wei) 困難的問題，至今沒有一定的理論方麵的指導。

4.5
灰色綜合評價(jia) 法

在實際預測工作中，從(cong) 信息利用的角度來說，就是任何一種單一預測方法都隻利用了部分有用信息，同時也拋棄了其它有用的信息。為(wei) 了充分發揮各預測模型的優(you) 勢，對於(yu) 同一預測問題，往往可以采用多種預測方法進行預測。不同的預測方法往往能提供不同的有用信息，組合預測將不同預測模型按一定方式進行綜合。根據組合定理，各種預測方法通過組合可以盡可能利用全部的信息，盡可能地提高預測精度，達到改善預測性能的目的。

優(you) 化組合預測有兩(liang) 類概念，一是指將幾種預測方法所得的預測結果，選取適當的權重進行加權平均的一種預測方法，其關(guan) 鍵是確定各個(ge) 單項預測方法的加權係數；二是指在幾種預測方法中進行比較，選擇擬合度最佳或標準離差最小的預測模型作為(wei) 最優(you) 模型進行預測。組合預測是在單個(ge) 預測模型不能完全正確地描述預測量的變化規律時發揮其作用的。