GRE和GMAT數學裏關於factor的兩個易錯點

首先是因子有正有負，盡管考試一般都會(hui) 明確說positive factors，但沒有明說的時候還是要考慮負的。這個(ge) 問題曼哈頓的GRE和GMAT數學教材都搞錯了，題目問factor個(ge) 數，結果答案隻考慮了positive factor的個(ge) 數。

factor裏麵的質數，叫做prime factor，起碼在GRE和GMAT數學裏麵，prime factor的個(ge) 數跟右上角指數沒有關(guan) 係，為(wei) 了避免誤會(hui) ，一般也會(hui) 嚴(yan) 謹點，明確說是distinct prime factor。

我們(men) 來看幾個(ge) 相關(guan) 的題。

GRE比較題?

Quantity A: the number of factors of 10;

Quantity B: the number of distinct prime factors of 210.

10的正因數有1、2、5、10，負的還有對應的四個(ge) ，所以一共是8個(ge) 。

210=2*3*5*7，所以有四個(ge) 正的質因數，注意，質數都是正的，所以質因數都是正的，沒有負的，所以質因數就是4個(ge) 。

所以前者大於(yu) 後者。

GMAT Data Sufficiency?

How many different prime numbers are factors of the positive integer n?

1). four different prime numbers are factors of 2n.

2). four different prime numbers are factors of n^2.

Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.
Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.
BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
EACH statement ALONE is sufficient.
Statements (1) and (2) TOGETHER are not sufficient.

要確定n的質因數個(ge) 數。條件1知道了2n的有4個(ge) ，這不確定，因為(wei) n可能沒有2這個(ge) 質因數，含有另外3個(ge) ，比如2n=2*3*5*7；但也可能n也有2這個(ge) 質因數，2n=2*2*3*5*7=2^2*3*5*7。第一種情況下n有3個(ge) ，第二種情況下n有4個(ge) 。

條件2 要考慮到我們(men) 剛才說的質因數要不同的才算新的，而且這裏也明確說了是different，所以跟右上角指數沒有關(guan) 係，不管是n的平方，還是三次方，或者是100次方，不同質因數的個(ge) 數都取決(jue) 於(yu) n，比如6^100=2^100*3^100，因為(wei) 6拆出來兩(liang) 個(ge) 質因數，所以6^100也是兩(liang) 個(ge) ，反之亦然。所以在知道n^2有四個(ge) 的情況下，就可以確定n也是4個(ge) ，所以條件2可以確定，所以選B。

A positive integer with three distinct prime divisors cannot have how many total factors?

我們(men) 課上講過算positive factors的個(ge) 數，是拆分質因式之後指數分別加1相乘。這裏既然是三個(ge) 不同的質因數，可以寫(xie) 成p^a*q^b*r^c，其中pqr是不同的質數，abc是大於(yu) 等於(yu) 1的整數，正因數個(ge) 數相應地可以表示為(wei) (a+1)(b+1)(c+1)，total factors還要包括對應的負因子，所以乘以2，也就是2(a+1)(b+1)(c+1)，題目問不可能等於(yu) 誰。首先可以一個(ge) 個(ge) 試，發現A不可能，其他都可以。其次，還可以這麽(me) 考慮，因為(wei) abc都大於(yu) 等於(yu) 1，所以相乘最小是大家都是1的時候，也就得到16；其中一個(ge) 大一點為(wei) 2的話，就是24，完美路過了20，所以不可能是20。36可以是2*3*3*2=2(2+1)(2+1)(1+1)，48=2*3*2*4=2(2+1)(1+1)(3+1)，54=2*(2+1)(2+1)(2+1)。

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