2022 AMC10/12競賽真題題目全解析！

AMC10/12 A卷在中國區的考試一結束，機構的競賽大佬們(men) 就立刻開始了奮筆疾書(shu) ！

在賽題分析中我們(men) 發現，今年2022年的AMC10/12 A卷難度上升、考點又又又新增了！難怪焦急考試結果的學生家長已經爆滿了...

一起來看看今年都有哪些新變化？出題又有什麽(me) 新趨勢？

AMC知識點總結

增加知識點

不定方程的特殊形式佩爾方程（Pell）

今年的12A和10A都有點難度，想要拿130+的高分還是不容易的。特別是今年12和10的A卷都特別喜歡考不定方程，去年的A卷獨愛函數和幾何。

今年不定方程的這個(ge) 考點，除了常規考察之外，增加了二元二次不定方程中的佩爾方程形式（關(guan) 於(yu) 佩爾方程的詳細知識可以參考潘承洞主編的《初等數論》）。

佩爾方程是一個(ge) 高級別的競賽比如HMMT、PUMAC等會(hui) 考到的考點，這是AMC曆史上第一次不再考察常規的因式分解（包含雙十字）、放縮、配方、同餘(yu) 、主元法（△法）、試根法，而是考相對比較生僻的佩爾方程。

佩爾方程是指如下的方程：

我們(men) 來看一下涉及佩爾方程的幾道題目解析：

題目1：10A-25題

題目：

答案：

這道題在求解的過程中有一個(ge) 坑，一旦不注意，就死活都算不出來，是這個(ge) 點：

到了下一步，就到了不定方程求解，雖然這裏滿足佩爾方程的形式，但是因為(wei) 是求初始值（x1，y1），所以隻能用其他方法來求。我們(men) 可以使用常規方法：主元法（△法），然後再試根：

雖然這個(ge) 考場上有點折磨人，但是隻需要計算8次就還好。如果計算的次數很多次，這時候就需要用佩爾方程來進行計算了。

題目2：12A-16題

題目：

答案：

題目3：12A-25題

題目：

答案：

這道題的難度首先在於(yu) 先利用幾何知識處理成代數式（掌握“設角不設邊”這個(ge) 幾何思維），變換成代數式之後，又變成了一道不定方程的題目：

函數中的最值問題考的比較靈活

常規的最值問題一共有6種方法，這是在我課堂基礎班裏專(zhuan) 門講過的（利用函數單調性、基本不等式、劃歸為(wei) 二次函數、化歸為(wei) 耐克函數或其他特殊函數、換元、數形結合等常用的6種方法），在衝(chong) 刺班裏，我們(men) 又專(zhuan) 門學習(xi) 了幾何中最值問題的處理的兩(liang) 個(ge) 方法：

1.要麽(me) 用幾何圖形畫出來；

2.要麽(me) 用代數式求出來。

對於(yu) 複數的題目，AMC 12之前是很少考察最值問題的，在HMMT、PUMAC、BMT等S級比賽中，經常碰到複數的最值問題。一般來說，複數的最值問題，都是用幾何方法解決(jue) 的，所以方法還是兩(liang) 個(ge) ：

1.要麽(me) 用幾何圖形畫出來；

2.要麽(me) 用代數式求出來。

題目1：12A-13題

題目：

答案：

如果備考過S級比賽，或者去年就備考過AIME考試，這種題目是不陌生的，對於(yu) 第13題，基本無法用代數式求解（當然你可以嚐試，而且你得增加一項數學工具—複變函數積分）

用代數式求解：

如果你學習(xi) 過複變函數積分，你是可以處理上麵這個(ge) 積分的，但是這絕對不是這道題在考場上正確的處理方法。正確的處理方法，應該是用幾何意義(yi) 來處理問題：

之前的複數題目，用幾何意義(yi) 來解題目的比較少，我們(men) 從(cong) AIME和其他S級比賽中選取一些題目，考生可以加以訓練。

題目2：12A-22題

題目：

答案：

雖然這道題是22題，這道題反而是簡單題，因為(wei) 它非常常規，用代數式求解出一個(ge) f(c)的代數式，然後利用我們(men) 學習(xi) 過的6種常規方法進行求解即可，關(guan) 鍵是對方法的熟練運用：

題目3：12A-17題

題目：

答案：

這不是一道函數最值的題目，是關(guan) 於(yu) 函數不等式求解的題目，但是解決(jue) 思路還是一致的。但是這道題想要做對，需要對三角函數這塊極其熟練，比如2倍角、3倍角公式；三角函數換元成二次函數等，不然在考場上可能做不完或者做不對。

對同餘(yu) 的考察偏向於(yu) 靈活應用性考察

之前年份同餘(yu) 的題目，更偏向於(yu) 同餘(yu) 方程7條基本規則的使用以及常規的基本例題題型，比如如下的題目：

但是現在的題目則更傾(qing) 向於(yu) 應用性的考察（與(yu) 數列、方程等結合在一起考察），這個(ge) 難度顯然比之前要大很多：

題目1：10A-19題

題目&解析：

題目2：12A-18題

題目&解析：

題目3：12A-21題

題目&解析：

考察對排列組合的考察：常規題型考察

對於(yu) 排列組合—分類討論、排列組合—操縱排列順序都是常規題型考察，平常訓練的比較多，這次考試沒有新意，基本是老生常談。

題目1：10/12A-24題

題目&解析：

掌握好分類討論的實質：相互獨立、不重不漏，基本上不會(hui) 出錯。

題目2：10A-14題

題目&解析：

這是一道錯誤率特別高的題目，雖然是一個(ge) 第14題，很多同學會(hui) 沒讀懂題意；另外就是有些同學會(hui) 思考的過於(yu) 麻煩，從(cong) 而無從(cong) 下手；還有些同學是在處理3、2、1時會(hui) 犯錯誤。以下詳細寫(xie) 了具體(ti) 的思考與(yu) 計算的過程：

整體(ti) 來看今年的A卷，無論是10A還是12A，難度比較大，計算量比較大，同時對細節要求也非常高（特別是前10題出現的排列組合的題目），個(ge) 人感覺今年的晉級線可能比去年還會(hui) 再低。

這兩(liang) 套題目中80%題目還是常規的題目，所以基本功紮實的同學，這次分數依然會(hui) 非常出眾(zhong) 。

對於(yu) 下周要考的B卷，大家還是夯實基礎知識，對於(yu) 新的知識點，如果以前沒學習(xi) 過的，就不要再去學習(xi) 了；不要再做新題，就把平時的筆記、錯題本拿出來好好複習(xi) 一下。同時不要因為(wei) AMC考試，耽誤了你學校的期中考試。A卷對不定方程、數論考察的比較多，而且比較新，考B卷的同學可以著重看一下。

今年題目中新出現了幾個(ge) 之前沒出現過的考點：不定方程的佩爾方程類求解、複數與(yu) 幾何結合在一起、複雜的函數求最值，有些題目已經達到往年AIME的難度。AMC的準備不能隻是簡單的上一個(ge) 學期的課就可以考一個(ge) 125+的分數，而是切實需要準備一年左右的時間，同時對各種數學工具、數學思維極其熟練的掌握。