Precalculus微積分探索之End behavior of Polynomials

極限是我們(men) 學習(xi) 微積分的重要基礎，今天帶大家學習(xi) 一個(ge) 簡單的概念 — End behavior of polynomials。

首先，來學習(xi) 一下詞匯：

polynomial 多項式

the degree of polynomial多項式的次數

function函數

linear function 一次函數：is of the first degree

quadratic function 二次函數：has degree 2

cubic function 三次函數：has degree 3

constant 常數

coefficient 係數

infinite 無窮

even 偶數

odd 奇數

什麽(me) 是polynomial function？

A polynomial function of degree n can be written in the form:

,

那麽(me) ，什麽(me) 是End behavior呢？我們(men) 可以理解為(wei) “終端趨勢”，End behavior of polynomials即當x趨向於(yu) 正/負無窮時（positively or negatively infinite），多項式（polynomial）所趨向的值。

先說結論：

Every polynomial whose degree is greater than or equal to 1 becomes infinite (positively or negatively) as x does, depending on the sign of the leading coefficient and the degree of the polynomial.

接下來我們(men) 結合圖像來理解：

1.Quadratic function 二次函數

由圖像可知，當a（leading coefficient）大於(yu) 0時，

x → +∞，y → +∞

x → -∞，y → +∞

當a（leading coefficient）小於(yu) 0時，

x → +∞，y → -∞

x → -∞，y → -∞

2.Cubic function 三次函數

當a（leading coefficient）大於(yu) 0時，

x → +∞，y → +∞

x → -∞，y → -∞

當a（leading coefficient）小於(yu) 0時，

x → +∞，y → -∞

x → -∞，y → +∞

3.Quartic function四次函數

當a（leading coefficient）大於(yu) 0時，

x → +∞，y → +∞

x → -∞，y → +∞

當a（leading coefficient）小於(yu) 0時，

x → +∞，y → -∞

x → -∞，y → -∞

以上我們(men) 不難看出（大家感興(xing) 趣可以畫一下五次函數的圖像），多項式次數（the degree of polynomial） 的奇偶性和首項係數（leading coefficient）的正負決(jue) 定了函數圖像的終端趨勢，我們(men) 可以歸類為(wei) ：

1.If the degree n of a polynomial is even（偶），the arms of the graph（圖像的兩(liang) 端）are either both up（a > 0）or down（a < 0）；

2.If the degree n of a polynomial is odd（奇），one arm of the graph is up and the other is down：

when a > 0，the right arm of the graph is up

when a < 0，the right arm of the graph is down