愛德思P4參式函數積分補充說明

童鞋們(men) 最近還好嗎，2023年1月份愛德思考試馬上就要到了，一定要苟住，不要在考試那幾天羊。老師目前暫時苟住了但也是瑟瑟發抖中。今天給某位童鞋上網課，講到愛德思P4 parametric equation（參式函數）的積分，突然想到一個(ge) 容易讓同學們(men) 疑惑的問題，就是參式函數的曲線如果不是一個(ge) x對一個(ge) y的類型，它跟x軸包圍的麵積用積分怎麽(me) 算。這個(ge) 問題課本上沒有講（我看了甚至連個(ge) 圖都沒有），但做題的時候是非常容易遇到的，所以有必要補充說明。

首先我要解釋清楚這個(ge) 問題是什麽(me) 意思：

一個(ge) 參式函數x=f(t),y=g(t)的圖像如果是一個(ge) x對一個(ge) y的曲線，像這樣

那麽(me) 它與(yu) x軸包圍的麵積就是

其中x=a時t=c，x=b時t=d。這是我們(men) 比較熟悉的方法。

但如果它的圖像不是一個(ge) x對一個(ge) y的曲線，像這樣

曲線不是完全夾在x=a和x=b之間，那它與(yu) x軸包圍的麵積（陰影部分）還是跟剛才一樣的算法嗎？這就是今天要講的問題。

先說結論：是一樣的。至於(yu) 原理，我們(men) 把曲線分成3段，如圖所示，每段的端點和對應的t值也寫(xie) 在圖上。

我們(men) 要算的麵積是S1+S2，先說S1，這個(ge) 簡單：

至於(yu) S2，我們(men) 把它看成曲線HK下方的麵積（S2+S3）減去KB下方的麵積（S3）。這裏我們(men) 要先用關(guan) 於(yu) x的積分來表示麵積，注意我的寫(xie) 法，由於(yu) HK和KB兩(liang) 段曲線對應的x範圍是相同的，所以我在y後麵加括號來區分：

然後把這兩(liang) 個(ge) 積分變成關(guan) 於(yu) t的，下麵是關(guan) 鍵：

在HK這一段中，當x=b時t=i，當x=k時t=j，

在KB這一段中，當x=b時t=d，當x=k時t=j，

所以

然後再注意定積分有兩(liang) 個(ge) 基本性質：

所以

最後把S1加上

這樣就說明無論參式函數的曲線是不是一個(ge) x對一個(ge) y的，它與(yu) x軸包圍的麵積都是一樣的算法。