改變世界的17個數學方程式盤點

數學公式是個(ge) 很奇妙的東(dong) 西，它潛藏在我們(men) 身邊，又不易被察覺。它無比簡潔，卻能夠描述大千世界。

從(cong) 無線電廣播到智能手機，從(cong) 地圖測繪到衛星導航，從(cong) 世界旅行到太空探索，方程都發揮著至關(guan) 重要的作用。畢達哥拉斯定理、萬(wan) 有引力定律、麥克斯韋方程組、混沌理論、相對論……偉(wei) 大的方程中蘊藏著自然的規律、宇宙的奧秘和精妙的科學思考，展現了前人的智慧，為(wei) 未來的探索打開大門。

今年，科普作家伊恩·斯圖爾特 (Ian Stewart) 的名著《改變世界的17個(ge) 方程 》出版了。現在我們(men) 將其列舉(ju) 出來，看看你都掌握著哪些呢？

01勾股定理（畢達哥拉斯定理）

這一定理是我們(men) 理解幾何學的基礎。它描述了平麵中直角三角形幾條邊的關(guan) 係：兩(liang) 條短邊a和b，它們(men) 的平方相加等於(yu) 長邊c的平方。

在某種程度上，這一方程將我們(men) 通常的歐幾裏得幾何與(yu) 曲麵的非歐幾裏得幾何區分開來。比如，一個(ge) 畫在球體(ti) 表明的直角三角形並不遵循勾股定理。

帶來了測繪、導航，以及較近代出現的狹義(yi) 和廣義(yi) 相對論——現有最好的關(guan) 於(yu) 空間、時間和重力的理論。

02對數方程

對數方程可以理解為(wei) 指數方程的反向公式。它旨在求一個(ge) 底數的多少次方可以得到給定的量。比如，以10為(wei) 底1的對數表示為(wei) log(1)=0，因為(wei) 這裏1 = 100；log(10) = 1，因為(wei) 10 = 101；很自然地，log(100) = 2。

圖中公式log(ab) = log(a) + log(b)展示了對數方程最有用的一個(ge) 功能：將乘法轉化為(wei) 加法。在現代數字計算機普遍應用之前，這一直是快速計算大數乘法的便利手段，在物理學、天文學和工程學計算中起到了重要作用。

帶來了計算日食和行星軌道等天文現象的高效方法。快速進行科學計算的方法。工程師的忠實伴侶(lv) ——計算尺。放射性衰變和關(guan) 於(yu) 人類感知的心理物理學。

03微積分

圖中公式為(wei) 微積分中導數的定義(yi) 。導數可理解為(wei) 一個(ge) 數量的變化率。比如，我們(men) 可以把速度看作是位移的導數。如果我們(men) 步行的速度是每小時4公裏，那麽(me) 每個(ge) 小時，我們(men) 的位移變化為(wei) 4公裏。

實際上，很多研究都著眼於(yu) 事物是如何變化的。而導數與(yu) 積分 (微積分的另一個(ge) 重要公式) 是數學家與(yu) 科學家們(men) 理解變化的根本工具。

可以用來切線和麵積的計算。立體(ti) 體(ti) 積和曲線長度公式。牛頓運動定律、微分方程。能量和動量守恒定律。數學物理的大部分內(nei) 容。

04萬(wan) 有引力定律

牛頓的萬(wan) 有引力定律描述了兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 間的引力作用F。其中G為(wei) 萬(wan) 有引力常數，m1和m2表示兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 的質量，r為(wei) 物體(ti) 間距離。在科學史上，牛頓的這一筆有著舉(ju) 足輕重的地位。它不僅(jin) 解釋了地球上的重力作用，還幾乎完美地詮釋了行星的運行方式。這已經擴展到了太陽係，甚至整個(ge) 宇宙。

牛頓的萬(wan) 有引力定律作為(wei) 經典引領了物理學200餘(yu) 年，直到愛因斯坦的廣義(yi) 相對論出現才被替代。

能夠準確地預測日食、行星軌道、彗星返回、星係旋轉。人造衛星、地球勘測、哈勃空間望遠鏡、太陽耀斑觀測。行星際探測器、火星車、衛星通信和電視、全球定位係統。

05複數

數學家們(men) 一直在對數字進行細分，自然數、負數、小數、實數……後來，出現了虛數單位i，它表示-1的平方根。人們(men) 這才開始知道複數。

從(cong) 數學上講，複數是極為(wei) 優(you) 雅的。這種代數結構漂亮地解決(jue) 了我們(men) 的需求——任何方程都具有複數解。這對實數來說當然是不可能的。微積分也被擴展到複數當中，我們(men) 借此發現了這些數字的奇妙特質，比如對稱性。這些屬性是電子學和信號處理的重要基礎。

更好的計算三角表的方法。將幾乎所有數學推廣到複數域。用更強大的方法來理解波、熱、電和磁。量子力學的數學基礎。

06歐拉多麵體(ti) 定理

多麵體(ti) 是多邊形的三維版本，好比立方體(ti) 之於(yu) 正方形。多麵體(ti) 的每個(ge) 角叫做頂點，頂點的連線稱為(wei) 棱，棱所形成的多邊形是麵。

一個(ge) 立方體(ti) 擁有8個(ge) 頂點，12條棱和6個(ge) 麵。我們(men) 算一下，頂點數加上麵數，再減去棱數，8+6-12=2。歐拉的多麵體(ti) 定理告訴我們(men) ，隻要給定一個(ge) 常規的多麵體(ti) ，那麽(me) 頂點數加麵數再減去棱數，結果一定是2。無論它有多少個(ge) 麵。

這一發現是我們(men) 後來稱之為(wei) 拓撲不變量的第一條內(nei) 容。在拓撲不變量中，同類型物體(ti) 的一些屬性和數量是彼此相似的。對於(yu) 所有“常規的”多麵體(ti) 來說，V+F-E=2。這一定理以及歐拉對“柯尼斯堡七橋問題”的解答奠定了拓撲學的基礎。這個(ge) 數學的分支對近代物理學有著重要意義(yi) 。

純數學中最重要和最強大的領域之一：拓撲學，它研究連續形變下不變的幾何性質，比如曲麵、紐結與(yu) 鏈環。大多數應用是間接的，但它在幕後起的作用十分關(guan) 鍵。它有助於(yu) 我們(men) 了解酶如何作用於(yu) 細胞中的脫氧核糖核酸（DNA），以及為(wei) 什麽(me) 天體(ti) 的運動可能是混沌的。

07正態分布

正態概率分布圖近似於(yu) 鍾形曲線，在統計學中應用甚廣。

物理學、生物學和社會(hui) 學都廣泛采用正態曲線作為(wei) 不同研究對象的模型。其應用如此廣泛的主要原因在於(yu) 它可以描述大量獨立過程的行為(wei) 表現。

啟發了“普通人”的概念，測試實驗結果（如醫學試驗）的顯著性檢驗，以及（很不幸）默認形成鍾形曲線的傾(qing) 向，就好像別的分布都不存在一樣。

08波動方程

波動方程描述了波的行為(wei) ，比如吉他琴弦的振動，石子擲入湖水後的漣漪，或者白熾燈泡的燈光。波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，隨著技術發展，解決(jue) 這一方程也為(wei) 人們(men) 理解其他微分方程打開了一扇門。

我們(men) 對水波、聲波、光波、彈性振動等的理解取得了飛躍……地震學家使用它的改進版本，由地球的振動方式推斷其內(nei) 部結構。石油公司使用類似的方法尋找石油。它還應用於(yu) 預測電磁波的存在，從(cong) 而帶來了無線電、電視、雷達和現代通信。

09傅裏葉變換

傅裏葉變換是一種理解複雜波形的方法，比如人類演講的波形。像人說話這樣複雜混亂(luan) 的聲波函數，通過傅裏葉變換，可以被拆分為(wei) 若幹個(ge) 簡單波形的組合。這大大簡化了分析過程。傅裏葉變換可以稱為(wei) 現代信號處理、分析以及數據壓縮的核心。

傅裏葉的技巧應用極為(wei) 廣泛，比如圖像處理和量子力學。它用於(yu) 發現DNA等大型生物分子的結構、壓縮數碼照片中的圖像數據、清理古老或損壞的錄音，以及分析地震。現代技術用於(yu) 高效地存儲(chu) 指紋數據和改進醫療掃描儀(yi) 。

010納維-斯托克斯方程

像波動方程一樣，這是一個(ge) 微分方程。納維-斯托克斯方程表述了流體(ti) 的行為(wei) ，比如水流過管道，氣流掠過機翼，或者雪茄上在冒煙。目前人們(men) 可以得到方程的近似解，並能夠通過計算機很好地模擬流體(ti) 運動。不過，能否在數學上獲得納維-斯托克斯方程的精確解仍然是一個(ge) 未解決(jue) 的問題。

現代客機、快速而安靜的潛艇、以高速保持在賽道上的一級方程賽車， 以及針對靜脈和動脈血流的醫學進步。用於(yu) 求解這一方程的計算機方法，稱為(wei) 計算流體(ti) 動力學（CFD），被工程師廣泛用於(yu) 這些領域的技術改進。

011麥克斯韋方程組

這組偏微分方程描述了電場 (E) 和磁場 (H) 之間的行為(wei) 與(yu) 關(guan) 係。

麥克斯韋方程組對於(yu) 經典電磁學的意義(yi) 就像牛頓的運動定律和萬(wan) 有引力定律對於(yu) 經典力學一樣重要。它們(men) 是理解我們(men) 日常生活中電磁現象的基礎。不過我們(men) 知道，現代物理學裏對電磁學已經有了量子力學層麵的解釋。這些優(you) 美的公式在宏觀世界裏雖然非常適用，但這隻是一種近似表達。

預言電磁波存在並以光速行進，因此光本身就是電磁波。它推動人們(men) 發明了無線電、雷達、電視、計算機設備的無線連接，以及大多數現代通信技術。

012熱力學第二定律

該定律可表述為(wei) ，在一個(ge) 封閉係統內(nei) ，熵 (S) 總是穩定或者增長的。粗略地講，熱力學中的熵是對係統混亂(luan) 程度的度量。一個(ge) 係統初始是有序的，假如一塊高溫區域挨著一塊低溫區，那麽(me) 非均勻狀態將趨向變為(wei) 均勻狀態，即熱量會(hui) 從(cong) 高溫區流向低溫區，直到分布均勻。

熱力學第二定律是物理學中少有的與(yu) 時間相關(guan) 的定律。大多數物理過程都是可逆的，我們(men) 大可以把方程倒轉過來，不會(hui) 有什麽(me) 影響。然而熱力學第二定律隻能按照一個(ge) 方向進行。如果我們(men) 把一個(ge) 冰塊放進熱咖啡中，我們(men) 將隻能看到冰塊融化，從(cong) 來不會(hui) 看到咖啡凍結。

更好的蒸汽機、可再生能源效率的估計、“熱寂”的情景、物質是由原子組成的證明，以及與(yu) 時間之箭的矛盾聯係。 

013相對論

愛因斯坦憑借他的狹義(yi) 相對論和廣義(yi) 相對論徹底地改變了物理學進程。這一經典的方程表明質量與(yu) 能量是等同的。狹義(yi) 相對論告訴人們(men) 宇宙中的速度極限是光速，而以不同速度運動的物體(ti) 所經曆的時間也是不同的。

廣義(yi) 相對論則把引力看作是卷曲折疊的時空本身。這是自牛頓的萬(wan) 有引力定律以來我們(men) 對引力認識的第一次重大改變。廣義(yi) 相對論是我們(men) 理解宇宙起源、宇宙結構以及最終命運的基礎。

當然有全新物理學。核武器……好吧，也許吧——但不像坊間傳(chuan) 聞中那樣直截了當或言之鑿鑿。黑洞、大爆炸、GPS和衛星導航。

014薛定諤方程

這是量子力學中的主要方程。廣義(yi) 相對論在宏觀上解釋了我們(men) 的宇宙，這個(ge) 方程則在微觀上主宰了原子與(yu) 亞(ya) 原子粒子的行為(wei) 。

量子力學和廣義(yi) 相對論是曆史上最為(wei) 卓越的兩(liang) 大理論。目前所有實驗觀測到的現象都與(yu) 這兩(liang) 大理論相一致。量子力學也是眾(zhong) 多現代科技的根本，比如核能、半導體(ti) 計算機以及激光等等。

在極小尺度上對描述世界的物理學進行徹底修正，其中每個(ge) 粒子都具有描述可能狀態的概率雲(yun) 的“波函數”。在這個(ge) 層麵上，世界本質上是不確定的。它試圖將微觀量子世界與(yu) 宏觀的經典世界聯係起來，導致了至今仍有影響的哲學問題。但在實驗上，量子理論效果非常漂亮，如果沒有它，就沒有今天的計算機芯片和激光器。

015信息論

這一方程即香農(nong) 信息熵。與(yu) 上述熱力學熵類似，這也是對混亂(luan) 程度的測量。它測量一切可以表達的信息內(nei) 容，比如一本書(shu) ，一張互聯網上的JPEG圖片等等。香農(nong) 信息熵給出了我們(men) 可對信息進行無損壓縮的程度下限。

這一理論引發了對信息學的數學研究，它是我們(men) 今天網絡交流的基礎。

高效的檢錯碼和糾錯碼， 用於(yu) 從(cong) CD 到空間探測器的一切。應用包括統計、人工智能、密碼學和分析DNA 序列。

016混沌理論

這一公式即生物學家Robert May的單峰映射。它最初描述的是隨著時間的演進，種群數量將由X變為(wei) Xt+1。給定常量k，那麽(me) 前景圖將是混亂(luan) 的：以X為(wei) 起始值，演進過程是一種方式；但以另一個(ge) 量為(wei) 起始值，演進過程將完全是另一種樣子，哪怕這個(ge) 量與(yu) X非常接近。

如我們(men) 所見，混沌行為(wei) 對於(yu) 初始條件非常敏感。天氣變化就是個(ge) 經典的例子——今天大氣層條件的微小變化將導致幾天後氣象係統的截然不同，這也可以理解為(wei) 我們(men) 常說的蝴蝶效應。

認識到簡單的非線性方程可以創建非常複雜的動力學，並且表觀隨機性下可能有隱藏的秩序。這一發現通常被稱為(wei) 混沌理論，在整個(ge) 科學中有無數的應用，包括太陽係中行星的運動、天氣預報、生態學中的種群動態、變星、地震建模，以及空間探測器的高效軌道。

017布萊克-斯科爾斯公式

作為(wei) 另一個(ge) 微分方程，布萊克-斯科爾斯公式描述了金融專(zhuan) 家和交易人如何為(wei) 金融衍生品定價(jia) 。諸如股票之類的金融衍生產(chan) 品是現代金融係統的重要組成部分。

基於(yu) 基礎資產(chan) 和衍生品的屬性，布萊克-斯科爾斯公式可以幫助人們(men) 計算這些金融產(chan) 品的價(jia) 值。

金融業(ye) 大規模增長，金融工具越來越複雜，經濟繁榮時的暴漲最終歸於(yu) 崩潰，20 世紀90年代的股市動蕩，2008年至2009 年的金融危機，以及持續的經濟衰退。

以上文章來源：遇見數學