STEP 3 中的數論問題如何作答？

數論部分雖然不是 STEP 所考察的重點內(nei) 容，但依舊不容忽視。原因是它的考察頻率並不算特別的低，並且一旦考生重視這塊內(nei) 容，數論題就是送分題，而一旦忽視那數論題就是許多考生眼中的難題。

自 2010 年以來，STEP 3 一共考過四道數論題目，分別是：2022 年第二題，2016 年第五題，2013 年第五題，以及 2012 年第八題。與(yu) 其他板塊不同的是，數論題目考察的題型往往具有十分深刻的數學背景。而具有這一特點，意味著數論的題目會(hui) 比較容易預測容易掌握。考生們(men) 隻需要按照老師的指導，把高中階段所要求掌握的具有深刻數學意義(yi) 的數論內(nei) 容一一搞懂，那麽(me) STEP 3 當中的數論試題將變得格外簡單。

01、2022 年第二題解析

這道題對於(yu) 沒有係統學過數論的學生而言乍一看很難，有些同學隻看到題目的表麵幾乎就打了退堂鼓。然而實際上這是一道非常簡單的題目。

它的整個(ge) 過程是對數論中常見方法無窮遞降法的簡單應用。無窮遞降法是由數論公理之中的最小數存在原理推導得出的一種實用方法。所謂最小數存在原理就是說正整數集的非空子集必存在最小數。那麽(me) 如果某個(ge) 正整數集的子集不存在最小數，該子集一定為(wei) 空集。無窮遞降法就是應用這一原理來證明問題無解。

知道這一原理並進行過對應訓練的同學隻需要對本題進行非常簡單的奇偶性討論就可以在五分鍾內(nei) 做完這道題。

02、2016 年第五題解析

這道題的數學背景則更加耳熟能詳，是簡簡單單的第二數學歸納法。

數學歸納法在數論的係統教學中被作為(wei) 公理直接給出。前兩(liang) 問隻需要進行簡單的整除分析作為(wei) 數學歸納法的起始條件，後麵的三四兩(liang) 問其實就是數學歸納法的遞推過程。

整道題目與(yu) 其說是在考試倒不如說是在教學。

03、2013 年第五題解析

2013 年第五題考察的是 BEZOUT 定理與(yu) 反證法的綜合應用。

這道題的最後一問用最簡單的數學給出了一個(ge) 同樣簡單但深刻的結論：如果 r 是正有理數，並且 r 的 r 次方也是正有理數，那麽(me) r 一定是正整數。

04、2012 年第八題解析

2012年第八題考察斐波那契數列的性質應用。

具體(ti) 的性質在問題中給出，對於(yu) 學競賽的同學來說考察的是常見性質。最後一問則是一道數列類型的題目。本題屬於(yu) 數論與(yu) 數列的綜合題。

我們(men) 對比一下全國高中數學聯賽的考試大綱：

初等數論：

同餘(yu) ，歐幾裏得除法，裴蜀定理，完全剩餘(yu) 係，不定方程和方程組，高斯函數 [x]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。（數學歸納法作為(wei) 公理並未列在考綱中）

加粗的斜體(ti) 部分是目前已經考察過的內(nei) 容。

不難發現，考察的內(nei) 容基本出現在考綱當中。考綱裏有一些 STEP 3 內(nei) 從(cong) 來沒有考察過的內(nei) 容。但是我們(men) 不能下結論說 STEP 3 不考察沒有出現過的內(nei) 容。因為(wei) STEP 3 考察數論的邏輯就是要考察深刻的、具有很強數學背景的內(nei) 容。而且幾乎沒有任何拓展，就是對方法本身的最基本的理解。而聯賽考綱幾乎囊括了所有具有深刻數學意義(yi) 的數論內(nei) 容。

對於(yu) STEP 3 中的數論題目，我認為(wei) 考生隻要對聯賽考綱當中的每一塊內(nei) 容有最基本的了解，做過一兩(liang) 道對應的習(xi) 題，那麽(me) STEP 3 考試當中的數論題目很可能成為(wei) 你的送分題。

因為(wei) 高中階段具有深刻數學意義(yi) 的數論題目本身範圍就是局限的，很容易全部掌握。而對於(yu) 沒有係統學過數論的同學來說，挑戰這樣的題目意味著在短時間內(nei) 掌握一種新的方法乃至思想，對於(yu) 考試而言是非常不劃算的。