違反直覺的骰子！

本月的每日一講中 我們(men) 要深入探討一個(ge) 有名的問題：

Sicherman Dice 違反直覺的骰子

^{內(nei) 容介紹✦}

我們(men) 將介紹所謂的Sicherman Dice，以及六麵的Sicherman Dice 的唯一性證明。所謂的Sicherman Dice, 是George Sicherman 提出的，將兩(liang) 枚標準六麵骰子上的數字全部替換為(wei) 新的正整數，使得投擲之後概率分布都不變。

這最早是由Martin Gardner 在1978年提出的，當時的驗證方法主要還是表格枚舉(ju) 。

現在我們(men) 可以利用generating function 的技術來證明這樣的新骰子組合是唯一的，並且很快地找到這種骰子。

^{四麵骰子✦}

我們(men) 假設有兩(liang) 枚標準四麵體(ti) 骰子，也就是兩(liang) 個(ge) 正四麵體(ti) 四個(ge) 麵上分別都標有1，2，3，4，且投擲的時候每個(ge) 數字出現的概率相同。

現在的任務是找到另外兩(liang) 枚四個(ge) 麵上的數都是正整數的正四麵體(ti) 骰子, 它們(men) 上麵的數字都不是1，2，3，4，但是它們(men) 投擲的時候出現的概率分布是和標準4麵骰子一樣的。

我們(men) 首先給出構造: (1，2，2，3) 和(1，3，3，5)，並通過表格驗證這種新的四麵體(ti) 骰子滿足條件。

這是很神奇的事情，如果在賭局當中荷官拿出的是這種骰子，你很難說服自己這兩(liang) 枚骰子和標準骰子是一樣公平的。

下麵我們(men) 利用generating function 來先解決(jue) 概率分布，再解釋這種構造的來源。

^{六麵Sicherman Dice✦}

利用剛才對於(yu) OGF的因式分解技巧，我們(men) 可以很快得到六麵骰子的Sicherman Dice，其中標準六麵骰子就是標有1，2，3，4，5，6 的正方體(ti) 。

這樣，Sicherman Dice就是(1，3，4，5，6，8) 和(1，2，2，3，3，4)，兩(liang) 組比較神奇的數字。我們(men) 在第四個(ge) 等號當中劃分的依據實際上是要求六次多項式和常數項非零，讀者可以自己嚐試一下就知道除了標準六麵骰子，隻有這一組劃分是合法的。

^{八麵Sicherman Dice✦}

如果仿照剛才的做法，八麵體(ti) 骰子會(hui) 稍微複雜一些， 因為(wei) 我們(men) 需要講16次多項式劃分為(wei) 沒有常數項的八次多項式。如果大家有興(xing) 趣可以思考一下這樣的劃分有幾個(ge) ，並在後台提交答案。在這裏我們(men) 隻給出一個(ge) ：(1，3，3，5，5，7，7，9) 和(1，2，2，3，5，6，6，7)。