MAT考試中的策略問題如何作答

MAT 是由劍橋大學招生考試服務中心與(yu) 牛津大學合作推出的數學係入學考試，其全稱為(wei) The Mathematics Admissions Test。該考試主要針對牛津大學數學、計算機科學相關(guan) 專(zhuan) 業(ye) ，以及倫(lun) 敦帝國理工學院和華威大學數學相關(guan) 專(zhuan) 業(ye) 的申請人。

MAT 考試一般於(yu) 每年的 9 月開始報名、10 月中旬報名截止、11 月初考試。其考試成績不會(hui) 被直接公布或標記是否“通過”，而是直接發往考生注冊(ce) 考試時填寫(xie) 的申請院校，根據測試中的相關(guan) 信息來確定是否入圍。

可以說，MAT 成績的高低是牛津大學篩選麵試學生和確認最終錄取名單的重要衡量標準。

策略性問題雖然在數學競賽中比較冷門，但這類問題憑借在經濟金融學領域的重要地位，在諸多名校的自主招生考試中十分常見。

今天，讓我們(men) 一起跟隨機構老師一起深度解析 MAT 考試中的策略性問題該如何思考作答！

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雖然策略性問題在自主招生考試中扮演著十分重要的角色，但有趣的是，這類問題並不總是直接了當地表明自己是策略類問題，而是悄悄把自己偽(wei) 裝好等待你的發現。

MAT策略性問題—真題講解 1

下麵，我們(men) 來通過幾道真題詳細為(wei) 大家展開講解，比如 2022 年 MAT 中的第 5 題壓軸題?

本題除了最後一問之外，其他小問都是構造問題。類似於(yu) 小學競賽中找到有一種情況滿足題意。

而最後一問就非常有趣了，題意大致可以整理如下?

Q：有六扇門一字排列，門後有六個(ge) 不同的禮物。Alice 每次可以選擇一扇門打開，並看到某一件禮物。每看到一件禮物之後，主持人都會(hui) 把 Alice 看到的禮物和旁邊一扇門後的禮物交換位置。最終凡是被 Alice 看見的禮物都會(hui) 送給 Alice。如果 Alice 能選擇開門的次數不受限製。那麽(me) Alice 能否確保拿走所有禮物？

答案是：不能。

如果隻是將本題當作一道數論或者組合的常規題目，那無疑會(hui) 讓你頭疼不已，因為(wei) 這個(ge) 問題其實是一道策略博弈問題。而且遊戲的參與(yu) 者除了 Alice 之外，還有主持人。事實上，Alice 無法確保拿到 3、4 號門之一後麵的禮物。

解題思路：

我們(men) 把主持人也當作遊戲的參與(yu) 者，那麽(me) 如果 Alice 選擇在 1、2 中開門，主持人隻需交換 1、2 門後禮物的位置，選擇 5、6 同理。如果在 3、4 號門中，Alice 先選擇了 3 號門，此時我們(men) 可以假定主持人能夠看穿 Alice 後麵的所有選擇。

如果忽略掉 Alice 選 1、2、5、6的情形（若選了按上述操作執行即可），若下一次 Alice 選擇中間兩(liang) 扇門時將會(hui) 選 3 號門，那本次 4 號門位置不變；若下一次 Alice 選擇中間兩(liang) 扇門中的 4 號門，那本此把 3、4 號門後的禮物調換。後麵情況以此類推，主持人可以保證 Alice 永遠拿不到 4 號門後的禮物。

因此，Alice 永遠無法確保拿到六扇門後麵的所有禮物。

本題的難點在於(yu) 辨認出這是一道必勝策略問題而非數論組合問題。一旦發現它的本來麵目，那麽(me) 解決(jue) 這個(ge) 問題就變得非常簡單。

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但有時，我們(men) 要發現策略問題其實是一道數論組合問題，比如清華大學 10 年的自主招生考察了這樣一道題目?

Q：比賽開始後，12 個(ge) 人每人的頭上將會(hui) 帶一頂帽子。這些帽子分別是紅、黃、紫、藍四種顏色之一。每個(ge) 人能看到別人頭上帽子的顏色，而看不到自己頭上帽子的顏色。比賽開始前，12 個(ge) 人可以商量出一種策略，以保證比賽開始後，12 個(ge) 人可以依次說出自己頭上帽子的顏色，並盡量讓每個(ge) 人都說對的概率最大。請問這個(ge) 最大值是多少？

本題看似是一個(ge) 策略問題，但其實是一道數論問題。

解題思路：

由於(yu) 第一個(ge) 人報顏色的時候沒有任何其他信息，所以他說對的概率就是 1/4，因此可以推斷出全部說對的概率不會(hui) 超過 1/4。

我們(men) 可以把 4 種顏色看作是摸 4 的四個(ge) 餘(yu) 數 0、1、2、3。紅對應 0，黃對應 1，紫對應 2，藍對應 3。

讓第一個(ge) 人報出其他十一個(ge) 人帽子上數字加和除以 4 的餘(yu) 數。除了第一個(ge) 人之外，所有人都能看到第一個(ge) 人帽子的顏色。於(yu) 是剩餘(yu) 的 11 個(ge) 人都能知道 12 個(ge) 人帽子上數字的總和除以 4 的餘(yu) 數，再加上他們(men) 本來就能看到的除了自己之外其他人帽子上數字總和除以 4 所得的餘(yu) 數。因此，就可以推出自己帽子上的數字，進而知道自己帽子的顏色。

所以，本題其實是一道由數論知識尋找最優(you) 策略的問題，該題的結果是 1/4。

北上家長都在“卷”的數學競賽 究竟為(wei) 哪般？

許多高校的入校考試都熱衷於(yu) 考察策略類的問題。不僅(jin) 因為(wei) 策略類問題是能夠開發智力的邏輯遊戲，更因為(wei) 博弈理論能解釋一些有趣社會(hui) 現象背後的原理，也是經濟學的重要基礎之一。

比如博弈論就可以解釋北京上海的數學競賽為(wei) 什麽(me) 這麽(me) 火。要搞清楚這個(ge) 問題，首先就要搞清楚為(wei) 什麽(me) 這麽(me) 多家長會(hui) 選擇報奧數班。

從(cong) 經驗上看，別的家長是否報名競賽班是否會(hui) 對你的決(jue) 策產(chan) 生影響，這可以看作是一個(ge) 多人博弈的問題。但是為(wei) 了簡化起見，我們(men) 假設兩(liang) 個(ge) 家長 A、B 作為(wei) 博弈的參與(yu) 者，人大附中要選擇這兩(liang) 個(ge) 家長之一的孩子入學。

我們(men) 假設兩(liang) 個(ge) 孩子的天分是完全一樣的。如果一方報班，另一方不報班，那麽(me) 報班的必然被錄取。如果雙方同時報班，或同時不報班，則各有百分之五十的概率被錄取。

由此，我們(men) 可以寫(xie) 出這個(ge) 博弈的效應矩陣：如果 A 報班，B 不報班，那麽(me) A 孩子被錄取收獲效用 1，B 收獲效用 0。如果 B 報 A 不報，那麽(me) B 收獲效用 1，A 收獲效用 0。

如果 A、B 都不報班，那麽(me) 各有百分之五十的概率被錄取，各收獲效用 0.5。如果 A、B 都報班，由於(yu) 報奧賽班要花很多的錢和時間，所以各收獲效用變少假設為(wei) 0.1。

以上思路可整理為(wei) 下圖所示：（圖中每個(ge) 方格裏兩(liang) 個(ge) 數字，左麵是 A 獲得的效用，右麵是 B 獲得的效用）

在 A 選擇報班的情況下，若 B 選擇報班，則收獲 0.1，選不報班，則收獲 0，於(yu) 是我們(men) 在第一列當中選擇右側(ce) 的 0.1 下麵畫紫線。在 A 選擇不報班的情況下，B 選擇報班，則收獲 1，選擇不報班收獲 0.5。因為(wei) 1 更大，所以我們(men) 在第二列方格中右側(ce) 的 1 下麵畫紫線。

同樣的，我們(men) 假設 B 選擇報班或不報班，觀察 A 獲得的效用，可以畫出 A 對應的選擇。

顯然，隻有當某一方格中兩(liang) 個(ge) 數字下麵都畫了線，A、B 才沒有改變自身策略的動機。觀察矩陣圖不難發現，隻有 A、B 都選擇報班，這個(ge) 博弈才處於(yu) 穩定狀態。其它情形都至少有一方會(hui) 主動改變自身策略。

因此，哪怕如果 A、B 選擇都不報班能獲得比都報班更高的效用（都不報班雙方都獲得 0.5，都不報班雙方都獲得 0.1），也就是說 A、B 都不報班，雙方都能過得更好，但 A 和 B 兩(liang) 位家長也會(hui) 毅然決(jue) 然地選擇內(nei) 卷，這就是北京上海奧數班為(wei) 什麽(me) 這麽(me) 火的原因。

通過以上的舉(ju) 例講解，老師想問下大家：你可以用博弈論的方法解釋一下為(wei) 什麽(me) 笨鳥先飛嗎？