利用智能工具進行數學證明，還算是數學嗎？加州大學洛杉磯分校純數學與(yu) 應用數學研究所舉(ju) 行了一次關(guan) 於(yu) “機器輔助證明”（machine-assisted proofs）的研討會(hui) ，聚集眾(zhong) 多數學家和計算機科學家。AI可能深刻改變數學的發展：算力會(hui) 推動數學推理前進，但AI將對數學美感與(yu) 數學家的身份帶來潛在威脅。
在美國洛杉磯蓋蒂博物館（the Getty museum）的藏品中，有一幅17世紀古希臘數學家歐幾裏得（Euclid）的肖像：他蓬頭垢麵，用充滿汙垢的雙手舉(ju) 著他的幾何學著作《幾何原本》（Elements）。
兩(liang) 千多年以來，歐幾裏得的理論成為(wei) 數學論證和推理的典範。卡耐基梅隆大學（Carnegie Mellon University）的邏輯學家傑裏米·阿維加德（Jeremy Avigad）認為(wei) ：“歐幾裏得從(cong) ‘定義(yi) ’開始的著名論證，就像詩詞一樣優(you) 美。”
隨後，歐幾裏得在此基礎上建立了當時的數學體(ti) 係，通過基本概念、定義(yi) 和先驗定理，讓每一步論證之間都有清晰的邏輯關(guan) 係。有人抱怨歐幾裏得的一些“明顯”步驟並不明了，但這一套推理論證方式仍是奏效的。 但到了20世紀，數學家不再願意將數學拘泥於(yu) 這些直觀的幾何基礎之上。
相反，他們(men) 發展出了通用的數學係統——精確的符號表達和機械的規則。逐漸地，這套形式化模式讓數學得以被翻譯為(wei) 計算機代碼。 1976年，四色定理（the four-color theorem，即可以僅(jin) 用四種顏色來標注地圖，相鄰的兩(liang) 個(ge) 地區都是不同顏色）成為(wei) 第一個(ge) 被計算機粗暴驗證的重要理論。 如今，數學家正努力應對一個(ge) 最新的變革力量——人工智能。
克裏斯蒂安·塞格迪（Christian Szegedy）是一名計算科學家，曾任職於(yu) 穀歌，現就職於(yu) 舊金山的一家初創公司。2019年，他預測在10年內(nei) ，計算機係統的問題解決(jue) 能力將相當或超過最優(you) 秀的人類數學家。去年，他將預測時間縮短至2026年。
阿克沙伊·文卡特什（Akshay Venkatesh）是普林斯頓高等研究院（Advanced Study in Princeton）的數學家，並在2018年獲得了菲爾茲(zi) 獎（the Fields Medal，數學界的諾貝爾獎）。阿克沙伊目前對AI並不感興(xing) 趣，但熱衷於(yu) 談論相關(guan) 話題。
在去年的一次采訪中，他表示：“我希望我的學生能夠意識到，自己所在的領域將會(hui) 為(wei) 世界帶來很多改變。”他並不反對使用AI技術來幫助人類提高理解力，但關(guan) 鍵在於(yu) 要對技術的應用方式進行深思熟慮。
2月，阿維加德參加了在加州大學洛杉磯分校（the University of California, Los Angeles）純數學與(yu) 應用數學研究所舉(ju) 行的關(guan) 於(yu) “機器輔助證明”（machine-assisted proofs）的研討會(hui) 。這次討論會(hui) 不同以往，聚集了許多數學家和計算機科學家。
該校數學係的任教老師陶哲軒（Terence Tao）在2006年獲得了菲爾茲(zi) 獎，也是這次會(hui) 議的組織者。他認為(wei) 這次會(hui) 議具有重要意義(yi) 。 陶哲軒指出，直到最近幾年，數學家才開始擔憂AI對於(yu) 數學美學和自身的潛在威脅。會(hui) 議中聚集的傑出學者正在討論相關(guan) 問題，並探索“打破禁忌”的可能策略。
會(hui) 議中，有一位居於(yu) 前排的參與(yu) 者有些引人注目：這是一個(ge) 名為(wei) “舉(ju) 手機器人”的梯形盒子，每當參會(hui) 者提出問題時，它會(hui) 發出機器低語並舉(ju) 起手。“如果機器人外表可愛且沒有威脅性，那麽(me) 就會(hui) 有所幫助，”陶哲軒說道。
成為(wei) “證明抱怨者”的AI
現在有許多能改善我們(men) 飲食、睡眠、鍛煉等生活方式的科技產(chan) 品。威斯康星大學麥迪遜分校（the University of Wisconsin-Madison）數學家喬(qiao) 丹·艾倫(lun) 伯格（Jordan Ellenberg）在研討會(hui) 茶歇時提出：“我們(men) 喜歡使用一些產(chan) 品，讓生活變得更加便利。” AI產(chan) 品也可能為(wei) 數學提供便利，他補充道：“很顯然，問題在於(yu) 機器能為(wei) 我們(men) 做什麽(me) ，而非機器將會(hui) 對我們(men) 做什麽(me) 。”
其中一個(ge) 數學工具叫做證明助手或交互式定理證明器（數學輔助工具在1960年代早期就有所應用）。數學家逐步將證明轉化為(wei) 代碼，然後通過軟件程序檢查證明是否正確。程序的數據庫不斷積累證明的相關(guan) 數據並動態更新，以供其他使用者查閱。
霍斯金森形式數學中心（the Hoskinson Center for Formal Mathematics）主任阿維加德（Avigad）表示：“這樣的形式為(wei) 今天的數學奠定了基礎，就像歐幾裏得當年所做的那樣。” 最近，開源證明助手係統Lean引起了關(guan) 注。Lean係統由微軟計算機科學家萊昂納多·德·莫拉（Leonardo de Moura）開發，他現在在亞(ya) 馬遜工作。
在GOFAI（Good Old-Fashioned Artificial Intelligence，即符號人工智能）的支持下，Lean能夠進行自動推理。 到目前為(wei) 止，Lean社區已經驗證了有關(guan) 將球體(ti) 翻轉的有趣定理、數學統一性中的關(guan) 鍵定理等。 但證明助手也有缺點。它常常抱怨自己無法理解數學家輸入的定義(yi) 、公理或證明步驟，因此被稱為(wei) “證明抱怨者”。
所有這些抱怨都會(hui) 增加研究的困難。 但福特漢姆大學（Fordham University）的數學家希瑟·麥克白（Heather Macbeth）認為(wei) ，該係統提供了逐行反饋，這也有助於(yu) 教學。
在春季，麥克白設計了一個(ge) “雙語言”課程，她將學生提出的問題在講義(yi) 中翻譯為(wei) Lean代碼，並讓學生通過Lean尋找解決(jue) 方案。
她表示：“這增加了學生的信心，因為(wei) 他們(men) 能得到證明完成時間和正確性的及時反饋。” 自參加研討會(hui) 以來，約翰霍普金斯大學（Johns Hopkins University）的數學家艾米麗(li) ·裏爾（Emily Riehl）使用實驗證明助手驗證之前與(yu) 合著者發表的證明。
驗證結束後，她表示自己對證明的理解更加深入了，思路也更加清晰，甚至能對一台傻瓜電腦解釋自己的證明過程。
粗暴式推理，但這是數學嗎？
卡內(nei) 基梅隆大學計算機科學家、亞(ya) 馬遜學者瑪麗(li) 恩·赫勒（Marijn Heule）使用了另一款自動推理工具，並將其稱為(wei) “粗暴式推理”（或用技術語言來說是SAT求解器）。通過精心編寫(xie) 的編碼來表達自己想要論證的問題，隨後超級計算機網絡就會(hui) 進行推理論證。
在研討會(hui) 之前，赫勒和自己的博士生伯納德·蘇伯卡索（Bernardo Subercaseaux）針對一個(ge) 長期性問題完成了一個(ge) 大小為(wei) 50TB的論證方案。然而，這個(ge) 方案無法與(yu) 赫勒及其合作者在2016年的產(chan) 出相提並論——《自然》的一篇頭條文章指出，這是一個(ge) 有史以來最大的達到200TB的數學證明。
但文章接著提出，利用這些智能工具進行數學證明，真的算是數學嗎？
在赫勒看來，智能輔助工具對於(yu) 超出人類能力範圍的問題來說仍是必需的。
其他一些工具采用了機器學習(xi) 模型，能夠梳理大量數據並檢測相應的論證模式，但這些工具並不擅長邏輯的逐步推理。例如，穀歌的DeepMind設計了機器學習(xi) 算法來解決(jue) 蛋白質折疊（AlphaFold）和國際象棋（AlphaZero）等問題。
2021年，在《自然》的一篇論文中，研究團隊將自己的產(chan) 出描述為(wei) “在人工智能輔助下，提高人類的推理能力，進而推進數學發展”。 吳宇懷（Yuhuai Tony Wu）是一位計算機科學家，曾任職於(yu) 穀歌，現在舊金山創立了一家初創公司。
他提出了一個(ge) 更宏大的機器學習(xi) 目標：解決(jue) 數學問題。
在穀歌，吳宇懷探索了大型語言模型支持下的聊天機器人如何幫助解決(jue) 數學問題。該團隊收集互聯網數據進行模型訓練，並通過豐(feng) 富的數學、科學論文等數據庫進行調整，最終研發了專(zhuan) 業(ye) 聊天機器人Minerva。
被問及數學問題時，Minerva能夠像人類一樣進行解答。吳宇懷在研討會(hui) 上表示，該模型在高中數學考試中的表現優(you) 於(yu) 平均年齡為(wei) 16歲的人類學生。 最終，吳宇懷提出了自己的設想，設計一個(ge) 有能力論證數學定理的“自動化數學家”。
數學是機器學習(xi) 能力的試金石
對此，數學家表達了不同程度的關(guan) 注。
哥倫(lun) 比亞(ya) 大學（Columbia University）的邁克爾·哈裏斯（Michael Harris）對於(yu) 缺乏有關(guan) 人工智能對數學研究影響的討論而感到遺憾，特別是與(yu) 如今人工智能無處不在的熱議話題相比。 悉尼大學的喬(qiao) 迪·威廉姆森（Geordie Williamson）是DeepMind的合作者，他鼓勵數學家和計算機科學家更多地參與(yu) 此類對話。
在研討會(hui) 上，他以改編自喬(qiao) 治·奧威爾（George Orwell）1945年發表的文章《你和原子彈》（You and the Atom Bomb）中的一句話來開始演講：“鑒於(yu) 在未來五年，我們(men) 可能會(hui) 受到人工智能的深刻影響，深度學習(xi) 還未引發足夠的討論。” 威廉姆森認為(wei) 數學是機器學習(xi) 能力的試金石。
推理是數學的精髓所在，而這也是機器學習(xi) 尚未達到的能力。 在威廉姆森與(yu) DeepMind合作的早期，團隊發現了一個(ge) 能夠準確預測數學問題的簡單神經網絡。威廉姆森嚐試理解定理的論證過程，但團隊都一無所獲。就像古代幾何學家歐幾裏得一樣，神經網絡以某種方式揭示了一個(ge) 數學真理，卻無法進行邏輯論證。
研討會(hui) 的一個(ge) 主要議題是如何結合直覺和邏輯，如果人工智能能夠同時做到這兩(liang) 件事，那麽(me) 將對未來產(chan) 生難以估量的影響。 但威廉姆森發現人們(men) 缺乏打開機器學習(xi) 黑箱的動力，“這是科技界的黑客文化，如果這能推廣到數學上當然很好”，但這不是數學家想看到的。
他補充道，探索神經網絡的奧秘引發了“有趣的數學問題”，而這也為(wei) 數學家提供了一個(ge) “為(wei) 世界做出有價(jia) 值貢獻”的機會(hui) 。
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