AMC 12 備考幾何板塊公式、定理、方法匯總

AMC 10/12 的備考隻剩下不到一個(ge) 月的時間了，在這個(ge) 期間，一定要熟記每個(ge) 板塊的公式與(yu) 定理，考試期間才能熟練運用，考到滿意的成績。

相比於(yu) 昨天介紹的 AMC 10 幾何板塊的定理， AMC 12 的難度上升，因此有更多複雜的公式定理。

今天咱們(men) 介紹 4 個(ge) AMC 12 幾何板塊中需要滾瓜爛熟的公式定理：

1.海倫(lun) 公式 （Heron's formula）

2 維維亞(ya) 尼定理 （Viviani's Theorem）

3 托勒密定理 （Ptolemy's Theorem）

4 圓冪定理 （The Power of a Point Theorem ）

1海倫(lun) 公式 （Heron's formula）

這個(ge) 公式是一個(ge) 求三角形麵積的“萬(wan) 能公式”，基本上對於(yu) 所有和三角形麵積相關(guan) 類型的題目，都可以嚐試著使用這一公式去求解。

下麵這道例題不僅(jin) 要用到海倫(lun) 公式，還需要在 AMC 10 中已經講解過的角平分線定理。

AMC 12B 2016 Q17 （答案見最後）

2 、維維亞(ya) 尼定理 （Viviani's Theorem）

針對等邊三角形作為(wei) 已知條件，維維亞(ya) 尼定理給出來三角形內(nei) 一點到三條邊距離的代數關(guan) 係。這一定理很適合用於(yu) 求解等邊三角形的邊長。

例如下麵這道題需要同時應用海倫(lun) 公式和維維亞(ya) 尼定理。

AMC12A 2020 Q24 （答案見最後）

除了涉及三角形及多邊形，相比於(yu) AMC 10, AMC 12 中還有會(hui) 出現以圓為(wei) 考察點的題目。

關(guan) 於(yu) 圓的內(nei) 容是整個(ge) 中學階段涉及相對較少的部分，針對這一類題目，掌握一些和圓相關(guan) 的幾何定理能夠幫助我們(men) 更有效地打開解題思路。

3托勒密定理 （Ptolemy's Theorem）

沒錯，這個(ge) 定理是由傳(chuan) 說中的那個(ge) 古希臘天文學和數學家托勒密發現的。

使用這個(ge) 定理有一個(ge) 先決(jue) 條件，一定別忘了要先證明四邊形內(nei) 接於(yu) 一個(ge) 圓。

下麵這道例題在 AMC 12 的考試中是沒有給出例圖的，不知道你能不能找出哪四個(ge) 點是內(nei) 接於(yu) 同一個(ge) 圓的呢？

AMC12A 2018 Q20（答案見最後）

4、圓冪定理 （The Power of a Point Theorem ）

關(guan) 於(yu) 這個(ge) 定理，我隻想說它真的不止是一個(ge) 定理。完整的圓冪定理其實包含了三個(ge) 部分：切割線定理 (The tangent-secant theorem)，割線定理 (Intersecting Secants Theorem)，相交弦定理（The Intersecting Chords Theorem）。

切割線定理 (The tangent-secant theorem)

割線定理 (Intersecting Secants Theorem)

相交弦定理（The Intersecting Chords Theorem）

總結該定理的特點就是圓外或圓內(nei) 一點到圓上兩(liang) 點距離的乘積（或切線長的平方）是一個(ge) 定值。

下麵這道題，大家看過之後有沒有什麽(me) 思路呢？

AMC12A 2017 Q24（答案見最後）

詳細過程及答案