Cosmic Velocities and Schwarzschild radius (宇宙速度和史瓦西半徑)

先提一下：航天發射一般都是自西向東(dong) （跟地球自轉方向相同）發射的，因為(wei) 地球自西向東(dong) 自轉，可以利用自轉的這個(ge) 初速度，節約能源。

本文在需要的地方都不計空氣阻力、把地球看成均勻球體(ti) 、並把中央天體(ti) 看成靜止。

各個(ge) 天體(ti) 其實都可以有宇宙速度 (cosmic velocities), 但因為(wei) 一般來說涉及到的是從(cong) 地球發射航天器，所以我們(men) 先講地球的情況。從(cong) 其他天體(ti) 發射的情況，公式推導方式類似，但數據會(hui) 不同。AP 物理涉及到的宇宙速度一般是第一、第二宇宙速度。

a)第一宇宙速度 (the First Cosmic Velocity)

第一宇宙速度 (the first cosmic velocity) 也叫地球的軌道速度 (orbital speed), 是航天發射所需要的最小速度。

從(cong) 平拋石頭的故事開始說起。人為(wei) 同樣高度平拋扔出去的石頭，速度越大，石頭落地離起始點越遠。但因為(wei) 人為(wei) 扔的速度不夠高，石頭總是會(hui) 落回到地球上。因為(wei) 地球是球形的，理論上石頭速度足夠大的時候，石頭飛到足夠遠，石頭下落高度（下圖中 AB）正好是地球大圓曲線下落高度時，是可能繞著地球進行圓周運動的。忽略摩擦力、把地球看成理想的均勻球體(ti) 時，這個(ge) 剛好沿著地球表麵飛一圈的速度就是第一宇宙速度。

理論上以第一宇宙速度發射的航天器恰好可以沿著地球表麵航天飛行（但在大氣層外、沒有摩擦力）。

第一宇宙速度的計算方法還是在地表萬(wan) 有引力提供向心力：如下（有些物理量還會(hui) 出現在本文後續推導中）。

其實，第一宇宙速度的公式應該很熟悉了。第一宇宙速度的理論值大約是 7.9 km/s. 要航天器發射後不掉回地球，航天器必須加速到第一宇宙速度。當然，一般發射的航天器都是有目的軌道的，具體(ti) 如何進入目的軌道，涉及到的計算、加速等就更複雜了。

發射速度超過第一宇宙速度（但不到第二宇宙速度）的航天器，才能升到更高的繞地軌道。

航天器在同一個(ge) 軌道繞行時是不用點火的，而如果是從(cong) 小圓軌道上升到大圓軌道，要兩(liang) 次加速、中間經曆橢圓軌道，見上次的文章《天體(ti) 運動能量-1》。並且，上次講過了：雖然在更高圓軌道上的速度低於(yu) 第一宇宙速度，但是，從(cong) 地球發射時速度需要超過第一宇宙速度（部分動能會(hui) 轉化為(wei) 更高圓軌道上的勢能）。

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b) 第二宇宙速度 (the Second Cosmic Velocity)

從(cong) 第二宇宙速度 (the second cosmic velocity) 開始，是地球逃逸速度：從(cong) 地球出發的航天器，速度超過第二宇宙速度、但不超過第三宇宙速度，就可以逃脫地球的引力、繞太陽運動。

第二宇宙速度的理論公式、計算一般是用機械能守恒 (conservation of mechanical energy) 推導出來的。推導第二宇宙速度時，假設航天器剛好可以飛到離地球無窮遠處（飛到無窮遠處動能剛好為(wei) 0; 無窮遠處係統勢能也是 0）。推導過程如下。

從(cong) 推導出的結果來看，第二宇宙速度是第一宇宙速度的√2倍。第二宇宙速度的理論值大約是 11.2 km/s.

接下去的內(nei) 容 AP 一般不會(hui) 考，可以不用看下去了。

c)第三宇宙速度 (theThird Cosmic Velocity)

第三宇宙速度 (the third cosmic velocity) 是從(cong) 地球沿地球繞太陽公轉切線防線發射逃出太陽係的衛星需要的最小速度。

第三宇宙速度的推導也用的是機械能守恒，隻是中央天體(ti) 會(hui) 變成太陽，並且要考慮地球繞著太陽公轉的速度。因為(wei) AP 一般不考，就不推導了。第三宇宙速度的理論值是 16.7 km/s, 有興(xing) 趣的自己去查一下過程。

d)史瓦西半徑 (Schwarzschild Radius) 和黑洞(Black Holes)

既然講了逃逸速度的公式，忍不住繼續說說其他天體(ti) 的逃逸速度（把第二宇宙速度中質量、半徑換成其他中央天體(ti) 的質量和距離）和黑洞。（並且忍不住想到白 Ice 的沙瀑噩夢，甚至一度覺得醒來後跟白 Ice 說話的“瓦西裏”，是“史瓦西半徑裏”的縮寫(xie) ）

如果一個(ge) 天體(ti) 的逃逸速度大於(yu) 等於(yu) 真空光速c（人類已知自然界物體(ti) 運動的最大速度）, 那連光（更不用說其他物質了）都逃不出那個(ge) 天體(ti) 的引力範圍，這個(ge) 天體(ti) 就成黑洞(black hole) 了。逃逸速度正好是光速時的臨(lin) 界半徑就是這個(ge) 物體(ti) 的史瓦西半徑 (Schwarzschild Radius). 如果一個(ge) 物體(ti) 半徑低於(yu) 史瓦西半徑（一般是巨大的的恒星、中子星等，被非常非常巨大的壓力壓縮到史瓦西半徑以內(nei) ），它將成為(wei) 黑洞。黑洞密度極大，能吞噬它的史瓦西半徑中所有的光（和其他物質）。

聽起來挺玄的，但忽略計算等理論，大家多少也聽說過黑洞的密度很大、一般質量很大、能吞噬一定範圍內(nei) （其實是這個(ge) 黑洞的史瓦西半徑內(nei) ）的一切物質（包括光）。

再順帶提一下，雖然和考試無關(guan) ：廣義(yi) 相對論還預測黑洞中心還存在奇點 (singularity, 半徑無限接近於(yu) 0, 密度無限大的點）。但這個(ge) 範疇中廣義(yi) 相對論 (the theory of general relativity) 和量子力學 (quantum mechanics) 之間有矛盾。物理學家提出的一些比較新的理論，如弦理論 (the string theory), 一開始就是為(wei) 了試圖解決(jue) 這兩(liang) 個(ge) 理論的不兼容性（這個(ge) 倒是在已經逝去的 SAT subject test 中是個(ge) 要記的物理學發展史常識）。