P4模塊反證法攻分策略

在 Alevel數學 P4模塊中，反證法的考核分值近年來呈上升趨勢，並且題型考點方麵也體(ti) 現出了更強的綜合性。牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。那麽(me) 何為(wei) 反證法？

書(shu) 中如此定義(yi) ：”To prove a statement by contradiction you start by assuming it is not true.“反證法指的是對題設肯定，而對結論否定，若在此過程中推出明顯矛盾 (主要包括與(yu) 題設的矛盾，與(yu) 已知定義(yi) ，公理和性質的矛盾)，進而得出原命題成立，這便是反證法的本質思想。本篇將由理綜教研部老師為(wei) 大家以真題梳理的方式解讀反證法的攻分策略。

反證邏輯

真題梳理

相較於(yu) 教材中亢長的定義(yi) ，理綜教研部的 P4講堂上會(hui) 結合一些生活中通俗易懂的實例，如證明某餐館很受歡迎。第一步先否定結論做出反設：該餐館不受歡迎。第二步，推理出若該餐館不受歡迎，那麽(me) 周末晚間一定是空蕩蕩的，但這與(yu) 小明每次去該餐館都輪不到位置的事實相矛盾。第三步，由此可推出該餐館確實是受歡迎的。簡而言之，可把反證過程簡要概括為(wei) 三步，即“否定結論 - 推導矛盾 - 結論成立”。

答題格式：

理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：理綜教研部 P4模塊專(zhuan) 項講義(yi) 截圖

根據理綜教研部整合曆年真題，發現自2021年 10月份起，P4模塊中反證法分值設置從(cong) 原本的3分增加到了 6分，而自2022年起，考察也不再局限於(yu) 書(shu) 本例題，考點更具綜合性，靈活涵蓋純數中其他知識點。綜合以上兩(liang) 大趨勢，P4講堂在講解反證法解題步驟的同時，更加注重真題的出題邏輯，結合“每課一證”的教學計劃，引導滲透反證法的思想，從(cong) 而形成認知與(yu) 應用的螺旋式上升。根據曆年真題整合，Prove by Contradiction的題型常見的邏輯證明核心矛盾主要體(ti) 現在與(yu) 已知條件矛盾；與(yu) 已知公理、定義(yi) 、定理或公式矛盾；與(yu) 反設矛盾。

『與(yu) 反設，已知條件矛盾』

 用反證法證明不存在最大奇數 (2021年 5月真題，書(shu) 本 Example 1原題)

理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：理綜教研部 P4模塊教材截圖

 用反證法證明數的奇偶性以及數的倍數 (2020、2022年 5月真題，書(shu) 本 Example 2變形題)

例題 1

理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：理綜教研部 P4模塊教材截圖

例題 2 理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：2020年 5月 P4模塊真題

此類證明 be divisible by 4等價(jia) 於(yu) multiple of 4，則可用代數 4k表示，然後根據三步法則寫(xie) 出正確解題步驟，如下所示：

理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：理綜教研部 P4模塊專(zhuan) 項解析截圖

 用反證法證明質數的個(ge) 數是無限的 (理綜教研部內(nei) 部模擬卷，書(shu) 本 Example 4原題)

理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：理綜教研部 P4模塊教材截圖

該題的重點是理清質數 Prime Number的概念，質數隻能被 1和其自身整除，如上圖解答所示，N要麽(me) 是質數 (因為(wei) 不能被其他數整除)或N中有一個(ge) 質數因子不在已列出的質數裏，由此和反設矛盾，原命題得證。

『與(yu) 已知公理、定義(yi) 、定理、公式矛盾』

用反證法證明有理數 (2021年 10月真題，書(shu) 本 Example 3變形題)

理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：2021年 10月 P4模塊真題

理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略來源：理綜教研部 P4模塊教材截圖

該題重點為(wei) 理清有理數概念，有理數通常可表示為(wei) 理綜教研｜P4模塊反證法攻分策略，where a and b are integers with no common factor。接下來證明中隻需證明 a 和b存在 common factor即可得證。同理在 2023年 5月卷中，考察了證明無理數，方法如上，同理可證。