引言
自 2022 年 3 月中旬以來,上海每日新冠確診病例和無症狀感染者的數量一路飆升。4 月 5 日當日,新增本土新冠肺炎確診病例 311 例和無症狀感染者 16766 例(圖 2)。目前疫情規模已經超過了武漢,並且還沒出現拐點,上海的防疫到了最艱難的時刻。
上海曾是全國抗疫肺炎的模範,為(wei) 何如今卻成為(wei) 疫情的重災區?專(zhuan) 家認為(wei) 原因分客觀和主觀兩(liang) 方麵。客觀方麵,奧密克戎變異株的傳(chuan) 染性和隱蔽性較強,該變異株的傳(chuan) 播能力比奧密克戎原始株高 30% 左右,而且所造成的感染大部分是輕症或無症狀感染,能夠逃過常規核酸檢測,所以隱蔽性更強,這也給精準防控帶來了困難。此外,上海是人口眾(zhong) 多的國際大都市,國內(nei) 外的貿易和人員往來太密切而複雜。主觀方麵,防疫人員防控意識鬆懈,對防疫過於(yu) 自信,沒能早發現早製止。當意識到疫情的嚴(yan) 重性時,病毒早已全麵蔓延開來,甚至連累了全國其它很多城市。此外,還有很多群眾(zhong) 不配合防控也給防疫帶來很大的挑戰。例如有人初篩陽性,被通知要求核酸複查後卻拒不配合,而是乘坐動車再轉乘坐網約車回家了。
圖 2: 上海本輪疫情走勢
但值得慶幸的是,奧密克戎雖然傳(chuan) 染性強,但致病毒性降低。很多感染者隻是被影響到上呼吸道,基本沒有症狀。而且,上海是全國疫苗接種率最高的城市之一。因為(wei) 疫苗的保護,人體(ti) 免疫力增強,即便被感染,也絕大部分是輕症和無症狀感染。
問題
圖 2 是 2 月 15 日 - 4 月 5 日上海每日新增本土確診和無症狀人數。從(cong) 圖中可以看出 3 月 15 日之後,數據不斷上升。將本土確診和無症狀人數合並為(wei) 感染人數,表 1 給出了以 2 月 15 日為(wei) 起點上海最近二十天( 3 月 17 日 - 4 月 5 日)累計感染人數。例如表中 3/17 對應的數據 2626 表示 2 月 15 日至 3 月 17 日每日新增確診和新增無症狀人數的總和。
表 1: 上海最近二十天累計感染人數
日期 | 累計 | 日期 | 累計 |
---|---|---|---|
3/17 | 2626 | 3/27 | 17315 |
3/18 | 3018 | 3/28 | 21804 |
3/19 | 3534 | 3/29 | 27781 |
3/20 | 4311 | 3/30 | 33438 |
3/21 | 5218 | 3/31 | 37948 |
3/22 | 6213 | 4/01 | 44261 |
3/23 | 7209 | 4/02 | 52494 |
3/24 | 8837 | 4/03 | 61512 |
3/25 | 11117 | 4/04 | 74871 |
3/26 | 13801 | 4/05 | 91438 |
請根據表中數據,建立模型描述上海本輪疫情累計感染人數(表 1 中的數據)的變化規律,並對未來兩(liang) 日內(nei) 每日新增感染人數作出預測。
模型
複合增長
對於(yu) 一個(ge) 相對封閉的城市,每日新增的本土感染病例都是被之前本土已感染病例傳(chuan) 染的。當累計感染人數遠小於(yu) 城市總人口時,每日新增病例應該與(yu) 累計感染人數成正比。上海目前累計感染人數約為(wei) 10 萬(wan) ,遠小於(yu) 上海 2500 萬(wan) 的總人口。因此,上海每日新增病例應該與(yu) 累計感染人數成正比,或者說上海病例日增長率應該近似為(wei) 一個(ge) 常數。這就和固定利率的銀行存款問題類似,如果我們(men) 用 Y0表示 3 月 17 日累計病例數(相當於(yu) 本金),那麽(me) 3 月 18 日的累計病例數(Y1)=3 月 17 日累計病例數(Y0)+3 月 18 日新增病例數(相當於(yu) 利息)。當天新增病例數等於(yu) 前一天累計病例數*增長率(相當於(yu) 利率),所以有
其中r 為(wei) 日增長率。同理可以得出第n 天累計病例數為(wei)
接下來我們(men) 需要驗證上海的病例日增長率r 是否為(wei) 常數。第 t+ 1 天病例日增長率可表示為(wei)
其中 Yn+1-Yn表示第 n+ 1 日新增病例數。例如,3 月 18 日的增長率為(wei)
其中 2626 和 3018 分別為(wei) 3 月 17、18 日的累計病例數(表 1)。類似地,我們(men) 可以計算得到上海近二十天累計感染人數日增長率(表 2)。
表 2: 累計感染人數日增長率
日期 | 日增長率 | 日期 | 日增長率 |
---|---|---|---|
3/17 | -- | 3/27 | 0.255 |
3/18 | 0.149 | 3/28 | 0.259 |
3/19 | 0.171 | 3/29 | 0.274 |
3/20 | 0.220 | 3/30 | 0.204 |
3/21 | 0.210 | 3/31 | 0.135 |
3/22 | 0.191 | 4/01 | 0.166 |
3/23 | 0.160 | 4/02 | 0.186 |
3/24 | 0.226 | 4/03 | 0.172 |
3/25 | 0.258 | 4/04 | 0.217 |
3/26 | 0.241 | 4/05 | 0.221 |
從(cong) 表中不難看出,日增長率基本在 0.2 上下波動,並且基本在 0.15-0.25 之間,因此可以認為(wei) 日增長率為(wei) 常數。我們(men) 可以用 3 月 18 日累計病例數 2626 作為(wei) 模型參數Y0的估計,用表 2 中 19 個(ge) 日增長率的算術平均值作為(wei) 模型參數r的估計:
由此可得圖 3 中的紅色預測曲線,預測結果均方根誤差(預測值與(yu) 觀測值偏差的平方和與(yu) 預測次數比值的平方根)為(wei) 1333。預測給出 4 月 6、7 日的新增病例數分別為(wei) 19039 和 22963。
圖 3: 複合增長模型預測結果
當然也可以根據表 1 中的數據直接應用最小二乘法擬合得到模型參數: Y0= 2884, r= 0.199 擬合曲線見圖 3 中的藍線,相應的預測結果均方根誤差為(wei) 1197。預測給出 4 月 6、7 日的新增病例數分別為(wei) 18097 和 21700。
指數增長
複合增長模型假設了病例數量是以天為(wei) 單位增長的,但實際上病例數量在每一小時、每一分、每一秒都在增長。如果將每天的時間細分為(wei) 等份,累計病例數在每一個(ge) 等份時間的增長率為(wei) x= r/m,則第 t天的累計病例數可表示為(wei)
將上式方括號中的項定義(yi) 為(wei) 函數 f(x)= (1+x)^1/x。隨著時間無限地細分, m將無限增大,而 x將趨於(yu) 0。 f(x)隨著x→0 的變化過程見表 3。
表 3: f(x)的根限值
x | 0.1 | 0.01 | 0.001 | 0.0001 | 0.00001 |
---|---|---|---|---|---|
f | 2.59 | 0.705 | 2.716 | 2.718 | 2.718 |
從(cong) 表中不難發現,當 x 逐漸趨於(yu) 0 時, f(x)也逐漸趨於(yu) 一個(ge) 常數:
這個(ge) 常數被定義(yi) 為(wei) 自然底數 e = 2.718…… ,它是重要程度不亞(ya) 於(yu) π 的另一個(ge) 無理數。因此,第 t天的累計病例數可表示為(wei) 以下指數增長模型:
這就為(wei) 什麽(me) 像大模頭這樣的專(zhuan) 家們(men) 在談論疫情時,經常會(hui) 說“呈指數級增長”。實際上,現實世界中很多數量的增長都呈現類似的規律,比如生物種群的數量增長。通過最小二乘法,我們(men) 可以擬合出指數增長的模型參數: Y0= 2884, r= 0.182。擬合曲線見圖 4,相應的預測結果均方根誤差為(wei) 1197。
圖 4: 指數增長模型預測結果
預測給出 4 月 6、7 日的新增病例數分別為(wei) 18097 和 21700。指數增長模型給出的結果與(yu) 最小二乘法擬合得到複合增長模型的結果一致。這說明在短時期內(nei) ,複合增長模型已經足夠說明問題。這一點很重要,特別是當我們(men) 在中學知識範圍下討論這個(ge) 問題時。
結論
自 2022 年 3 月中旬以來,上海每日新增本土確診和無症狀人數一路飆升。根據 3 月 17 日 - 4 月 5 日累計感染人數,本文先建立了複合增長模型。在此基礎上,考慮到病例的增長並不是逐日進行的,本文將每天的時間進行細分。在無限細分的極限條件下,複合增長模型轉變為(wei) 了指數增長模型。指數增長模型給出的結果與(yu) 複合增長模型的結果一致:上海的累計新冠病例數量正在以 20% 的日增長率增長,4 月 6、7 日的新增病例數將達到 1.8 萬(wan) 和 2.2 萬(wan) 左右。
需要注意的是,本文的模型預測結果是建立在 4 月 6、7 日不出現拐點(即累計感染人數仍按照之前二十天的規律增長)的假設前提下得到的。
參考資料
[1]國家和省市衛健委, 疫情實時大數據報告, 2022/4/5: https://voice.baidu***.com/act/newpneumonia/newpneumonia
[2]劉來福, 高中數學建模, 北京師範大學出版社, 2019
評論已經被關(guan) 閉。