2022上海疫情趨勢分析和預測

引言

自 2022 年 3 月中旬以來，上海每日新冠確診病例和無症狀感染者的數量一路飆升。4 月 5 日當日，新增本土新冠肺炎確診病例 311 例和無症狀感染者 16766 例（圖 2）。目前疫情規模已經超過了武漢，並且還沒出現拐點，上海的防疫到了最艱難的時刻。

上海曾是全國抗疫肺炎的模範，為(wei) 何如今卻成為(wei) 疫情的重災區？專(zhuan) 家認為(wei) 原因分客觀和主觀兩(liang) 方麵。客觀方麵，奧密克戎變異株的傳(chuan) 染性和隱蔽性較強，該變異株的傳(chuan) 播能力比奧密克戎原始株高 30% 左右，而且所造成的感染大部分是輕症或無症狀感染，能夠逃過常規核酸檢測，所以隱蔽性更強，這也給精準防控帶來了困難。此外，上海是人口眾(zhong) 多的國際大都市，國內(nei) 外的貿易和人員往來太密切而複雜。主觀方麵，防疫人員防控意識鬆懈，對防疫過於(yu) 自信，沒能早發現早製止。當意識到疫情的嚴(yan) 重性時，病毒早已全麵蔓延開來，甚至連累了全國其它很多城市。此外，還有很多群眾(zhong) 不配合防控也給防疫帶來很大的挑戰。例如有人初篩陽性，被通知要求核酸複查後卻拒不配合，而是乘坐動車再轉乘坐網約車回家了。

圖 2: 上海本輪疫情走勢

但值得慶幸的是，奧密克戎雖然傳(chuan) 染性強，但致病毒性降低。很多感染者隻是被影響到上呼吸道，基本沒有症狀。而且，上海是全國疫苗接種率最高的城市之一。因為(wei) 疫苗的保護，人體(ti) 免疫力增強，即便被感染，也絕大部分是輕症和無症狀感染。

問題

圖 2 是 2 月 15 日 － 4 月 5 日上海每日新增本土確診和無症狀人數。從(cong) 圖中可以看出 3 月 15 日之後，數據不斷上升。將本土確診和無症狀人數合並為(wei) 感染人數，表 1 給出了以 2 月 15 日為(wei) 起點上海最近二十天（ 3 月 17 日 － 4 月 5 日）累計感染人數。例如表中 3/17 對應的數據 2626 表示 2 月 15 日至 3 月 17 日每日新增確診和新增無症狀人數的總和。

表 1: 上海最近二十天累計感染人數

請根據表中數據，建立模型描述上海本輪疫情累計感染人數（表 1 中的數據）的變化規律，並對未來兩(liang) 日內(nei) 每日新增感染人數作出預測。

模型

複合增長

對於(yu) 一個(ge) 相對封閉的城市，每日新增的本土感染病例都是被之前本土已感染病例傳(chuan) 染的。當累計感染人數遠小於(yu) 城市總人口時，每日新增病例應該與(yu) 累計感染人數成正比。上海目前累計感染人數約為(wei) 10 萬(wan) ，遠小於(yu) 上海 2500 萬(wan) 的總人口。因此，上海每日新增病例應該與(yu) 累計感染人數成正比，或者說上海病例日增長率應該近似為(wei) 一個(ge) 常數。這就和固定利率的銀行存款問題類似，如果我們(men) 用  Y0表示 3 月 17 日累計病例數（相當於(yu) 本金），那麽(me) 3 月 18 日的累計病例數（Y1）=3 月 17 日累計病例數（Y0）+3 月 18 日新增病例數（相當於(yu) 利息）。當天新增病例數等於(yu) 前一天累計病例數*增長率（相當於(yu) 利率），所以有

其中r 為(wei) 日增長率。同理可以得出第n 天累計病例數為(wei)

接下來我們(men) 需要驗證上海的病例日增長率r 是否為(wei) 常數。第 t+ 1 天病例日增長率可表示為(wei)

其中 Yn+1-Yn表示第 n+ 1 日新增病例數。例如，3 月 18 日的增長率為(wei)

其中 2626 和 3018 分別為(wei) 3 月 17、18 日的累計病例數（表 1）。類似地，我們(men) 可以計算得到上海近二十天累計感染人數日增長率（表 2）。

表 2: 累計感染人數日增長率

從(cong) 表中不難看出，日增長率基本在 0.2 上下波動，並且基本在 0.15－0.25 之間，因此可以認為(wei) 日增長率為(wei) 常數。我們(men) 可以用 3 月 18 日累計病例數 2626 作為(wei) 模型參數Y0的估計，用表 2 中 19 個(ge) 日增長率的算術平均值作為(wei) 模型參數r的估計：

由此可得圖 3 中的紅色預測曲線，預測結果均方根誤差（預測值與(yu) 觀測值偏差的平方和與(yu) 預測次數比值的平方根）為(wei) 1333。預測給出 4 月 6、7 日的新增病例數分別為(wei) 19039 和 22963。

圖 3: 複合增長模型預測結果

當然也可以根據表 1 中的數據直接應用最小二乘法擬合得到模型參數： Y0= 2884，  r= 0.199 擬合曲線見圖 3 中的藍線，相應的預測結果均方根誤差為(wei) 1197。預測給出 4 月 6、7 日的新增病例數分別為(wei) 18097 和 21700。

指數增長

複合增長模型假設了病例數量是以天為(wei) 單位增長的，但實際上病例數量在每一小時、每一分、每一秒都在增長。如果將每天的時間細分為(wei)   等份，累計病例數在每一個(ge) 等份時間的增長率為(wei)   x= r/m，則第  t天的累計病例數可表示為(wei)

將上式方括號中的項定義(yi) 為(wei) 函數  f（x）= （1+x）^1/x。隨著時間無限地細分， m將無限增大，而  x將趨於(yu) 0。 f（x）隨著x→0  的變化過程見表 3。

表 3:  f（x）的根限值

從(cong) 表中不難發現，當 x 逐漸趨於(yu) 0 時， f（x）也逐漸趨於(yu) 一個(ge) 常數：

這個(ge) 常數被定義(yi) 為(wei) 自然底數 e = 2.718……  ，它是重要程度不亞(ya) 於(yu) π  的另一個(ge) 無理數。因此，第 t天的累計病例數可表示為(wei) 以下指數增長模型：

這就為(wei) 什麽(me) 像大模頭這樣的專(zhuan) 家們(men) 在談論疫情時，經常會(hui) 說“呈指數級增長”。實際上，現實世界中很多數量的增長都呈現類似的規律，比如生物種群的數量增長。通過最小二乘法，我們(men) 可以擬合出指數增長的模型參數：  Y0= 2884， r= 0.182。擬合曲線見圖 4，相應的預測結果均方根誤差為(wei) 1197。

圖 4: 指數增長模型預測結果

預測給出 4 月 6、7 日的新增病例數分別為(wei) 18097 和 21700。指數增長模型給出的結果與(yu) 最小二乘法擬合得到複合增長模型的結果一致。這說明在短時期內(nei) ，複合增長模型已經足夠說明問題。這一點很重要，特別是當我們(men) 在中學知識範圍下討論這個(ge) 問題時。

結論

自 2022 年 3 月中旬以來，上海每日新增本土確診和無症狀人數一路飆升。根據 3 月 17 日 － 4 月 5 日累計感染人數，本文先建立了複合增長模型。在此基礎上，考慮到病例的增長並不是逐日進行的，本文將每天的時間進行細分。在無限細分的極限條件下，複合增長模型轉變為(wei) 了指數增長模型。指數增長模型給出的結果與(yu) 複合增長模型的結果一致：上海的累計新冠病例數量正在以 20% 的日增長率增長，4 月 6、7 日的新增病例數將達到 1.8 萬(wan) 和 2.2 萬(wan) 左右。

需要注意的是，本文的模型預測結果是建立在 4 月 6、7 日不出現拐點（即累計感染人數仍按照之前二十天的規律增長）的假設前提下得到的。

參考資料

[1]國家和省市衛健委, 疫情實時大數據報告, 2022/4/5: https://voice.baidu***.com/act/newpneumonia/newpneumonia

[2]劉來福, 高中數學建模, 北京師範大學出版社, 2019