AMC數學競賽排列組合題分析

今天了來講講，AMC 春季班不少同學反饋的老是不太理解的排列組合的定義(yi) 、公式以及一些應用。初學排列組合或者課內(nei) 學的非常基礎的同學。

學習(xi) 排列組合的關(guan) 鍵是：你先得非常明確一些基本模型，這些基本模型往往隻用很小的數字就能說明，然後再做一些數字大的問題就思路清晰了。

本文篇幅較長，內(nei) 容包括：

一：P 的由來

二：C 的由來

三：5 個組合數的公式直觀解釋

四：10 個常見題型和方法（如果對 P 和 C 的概念定義非常熟悉的同學可直接跳至第四部分直接看題。）

現在開始！

1P 的由來

所謂排列組合，排列在組合之前，咱們(men) 要聊的第一個(ge) 概念是“排列”，排列的英文是 Permutation 或者 Arrangement，因此在數學符號中，用 P 或者 A 表示都可以，二者意思完全一樣。

我們(men) 常見的 P 右邊會(hui) 跟兩(liang) 個(ge) 數字（或字母），右下角的數字 n 表示總數，右上角的數字 m 表示抽出的個(ge) 數。整個(ge) 符號的意思是“從(cong) n 個(ge) 人中，有順序地抽出 m 個(ge) 人的抽法數”，可以讀作“P n 抽 m”。。那麽(me) ，到底什麽(me) 叫做有順序的？我們(men) 來舉(ju) 個(ge) 數字很小的例子：

比如：班裏有三名同學，成績前兩(liang) 名有幾種可能性？

咱們(men) 可以用乘法原理：選第一名有 3 種可能性，選第二名有 2 中可能性，因為(wei) 第一名那個(ge) 人不可能同時又是第二名了，將這兩(liang) 步相乘起來。（如果你不太理解乘法原理，可以看看下圖直觀列舉(ju) 的表示。）

這個(ge) 公式需要注意的是：雖然書(shu) 上每次講到這個(ge) 公式時一般以階乘（factorial）的形式給出，但實際計算中，往往不用階乘。我的記法是：從(cong) 大的數字開始往小乘，乘“小的數字那麽(me) 多”個(ge) 。

2C 的由來 

咱們(men) 聊的第二個(ge) 概念是“組合”，它比排列更常用，組合的英文是 Combination，因此在數學符號中用 C 表示，美國和英國教材中，也常用“長括號”表示組合數。

我們(men) 常見的 C 右邊會(hui) 跟兩(liang) 個(ge) 數字（或字母），右下角的數字 n 表示總數，右上角的數字 m 表示抽出的個(ge) 數。整個(ge) 符號的意思是“從(cong) n 個(ge) 人中，不計順序地抽出 m 個(ge) 人的抽法數”，可以讀作“C n 抽 m”。那麽(me) ，到底什麽(me) 叫做不計順序的？我們(men) 也來舉(ju) 個(ge) 例子：

比如：班裏有三名同學，選出兩(liang) 名代表參加年級會(hui) 議有幾種選法？

哈哈，這就可以用到之前排列數的結論了！就讓剛才的第一名和第二名去參加會(hui) 議。但是，對於(yu) 參加會(hui) 議來說，誰是第一誰是第二不重要呀！因此我把原圖的紅色和藍色都塗成了黑色，以示無區別。（如下圖）

至此，第二步中，第一種和第三種都是 A、B 的組合，完全一樣，就會(hui) 有一些算重的，至於(yu) 有多少個(ge) 算重，取決(jue) 於(yu) 抽出個(ge) 數 m 的全排列種數，即 m 的階乘。（如果你不太理解哪些算重了，可以仔細看看下圖中箭頭所指的對應關(guan) 係）

於(yu) 是，組合數公式就是在排列數公式上除以一個(ge) m！。但實際計算中，往往不用階乘。我的記法是：從(cong) 大的數字開始往小乘，乘“小的數字那麽(me) 多”個(ge) ，再除以“小的數字開始往小乘，乘小的數字那麽(me) 多個(ge) ”。

3組合數的公式直觀解釋 

組合公式Ⅰ

這個(ge) 公式課內(nei) 和競賽都會(hui) 常常用到。我在剛學的時候把它聯想成“做值日”問題，四個(ge) 同學中，選三名同學做值日就相當於(yu) 選一名同學放學直接回家。

比如，班裏有 A、B、C、D 四個(ge) 同學，每天要選出三個(ge) 同學做值日，有幾種選法？這個(ge) 問題對於(yu) 學過排列組合的同學自然非常簡單了，就是 C 4 抽 3，但是，假如問一個(ge) 沒學過排列組合的人，他會(hui) 怎麽(me) 想呢？如果想 ABC，ACD……這種就會(hui) 比較難想，不如去想它的反麵：選Ａ、B、C 或 D 放學直接回家，總共就四種。這就能直觀的理解這個(ge) 公式了。

這個(ge) 公式對於(yu) 運算 C 10 抽 8 這樣的組合數時非常有用，直接轉化成 C 10 抽 2 來計算。

組合公式Ⅱ

這個(ge) 公式課內(nei) 會(hui) 提到，但不要求熟練掌握，競賽會(hui) 常用。可以把它聯想成“約同學玩劇本殺”問題，看看在四個(ge) 同學中，想約兩(liang) 個(ge) 同學有幾種約法。如果四個(ge) 人都是普通朋友，看作是相同的 A、B、C、D，那自然有 C 4 抽 2 =6 種約法。

下麵我們(men) 來點刺激的：假如這四個(ge) 人中有一個(ge) 是戲精本精，他最特殊，你會(hui) 先問他來不來：①如果他來，但你還想一共約兩(liang) 個(ge) 同學，那麽(me) 就需要在其他三個(ge) 同學中再約一個(ge) ，有 C 3 抽 1 ，共3種方法；

②如果他不來，那你就需要在其他三個(ge) 同學再約兩(liang) 個(ge) ，有 C 3 抽 2 共3種方法。

兩(liang) 類相加，表示的意義(yi) 就是從(cong) 4 個(ge) 同學中約兩(liang) 個(ge) 同學的情況總數，即公式成立。

這個(ge) 公式對於(yu) 處理兩(liang) 個(ge) 組合數相加問題非常有用，落實在計算上，我把它總結成口訣：上麵的數字取大的，底下的數字加一。

組合公式Ⅲ

這個(ge) 公式課內(nei) 和競賽都會(hui) 常常用到。我把它叫做抓兔子問題，想象一個(ge) 籠子裏有兩(liang) 隻兔子，抓出來的話有幾種抓法？

第一種方法是我去籠子裏抓，我在抓的時候就想好是抓 1 隻還是抓 2 隻，或是抓 0 隻（即不抓）。由於(yu) 先想好了這一點，就會(hui) 有 C 2 抽 1 和 C 2 抽 2 這些組合數，分別表示按“抓一隻”、“抓兩(liang) 隻” 分類，每類的情況數；

第二種情況是我把籠子打開，讓每隻兔子自己選擇跳出來或是不跳出來（2 種可能性），每隻兔子都是獨立的個(ge) 體(ti) ，所以可以用乘法原理，總共的情況數是 n 個(ge) 2 相乘，即 2 的 n 次方。

兩(liang) 種方法都表示“兔子出來的情況數”，因此一樣，即公式得以解釋。

這個(ge) 公式對於(yu) 處理一係列“底下相同的”組合數相加的問題非常好用，大大節省計算量。而且它與(yu) 集合、二項式定理等中學數學知識緊密相連，需深入理解。

組合公式Ⅳ

這個(ge) 公式一般在競賽中會(hui) 出現。我把它叫做火車頭問題：抽出的一些元素，總有一個(ge) 打頭的，稱為(wei) 火車頭，它也是火車的一節，隻不過是特殊的一節。

具體(ti) 來講，比如說你要在 A、B、C、D、E 這 5 個(ge) 小球中抽取 3 個(ge) 小球，咱們(men) 可以按“哪個(ge) 小球是第一個(ge) ”分類

第一類：A 為(wei) 火車頭，那麽(me) 還需在後麵四個(ge) 小球中抽取兩(liang) 個(ge) 小球；

第二類：B 為(wei) 火車頭，那麽(me) 還需在後麵三個(ge) 小球中抽取兩(liang) 個(ge) 小球；

第三類：C 為(wei) 火車頭，那麽(me) 還需在後麵兩(liang) 個(ge) 小球中抽取兩(liang) 個(ge) 小球。

至於(yu) D 或 E 開頭的，就不足“三節車廂”了，故不計算。我們(men) 把之前說的三類加起來，就直觀地理解了這個(ge) 公式。

這個(ge) 公式對於(yu) 處理一係列“上麵相同的”組合數相加的問題非常好用，大大節省計算量。記憶方法是：和為(wei) 上麵下麵都加一。

組合公式Ⅴ

這個(ge) 公式是一個(ge) 相加和相乘結合的公式，看似複雜，但並不難理解。我對它的理解是：可以想象成班裏選幾名學生，分男女選和不分男女選情況數一樣。

比如說，咱們(men) 假設班裏有 7 名學生，4 男 3 女。如果選出三個(ge) 人參加競賽有幾種選法？首先容易想到的是 C 7 抽 3 =35。沒錯，不過咱們(men) 還有一個(ge) 思路，就是按“男女各多少人”分類討論。

第一類：0 男 3 女，分別抽取，再乘起來。

第二類：1 男 2 女，分別抽取，再乘起來。

第三類：2 男 1 女，分別抽取，再乘起來。

第四類：3 男 0 女，分別抽取，再乘起來。

這四類是互不重疊的，可用加法原理將其相加。原公式就得以直觀理解。

上麵 5 個(ge) 公式都可以代數證明，也可按照我舉(ju) 得例子通俗理解，如果這二者你都很清楚，那排列組合就能融會(hui) 貫通了。