數學建模常用模型及基本方法和步驟說明

數學，曾是校外培訓班中的“必修課”，是各種選拔考試的必選項。早年間轟轟烈烈的“奧數班”熱鬧一時，隨著高中數學新課程標準頒布和“雙減”政策落地，數學課程結構發生變化，數學建模進入新課標課程，明確數學學科核心素養(yang) 包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。

數學建模正在越來越受到師生重視。數學模型是為(wei) 了某種目的，用字母、數學及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nei) 在聯係的數學結構表達式。一般來說數學建模過程可用如下框圖來表明:               

通過學習(xi) 一個(ge) 有意義(yi) 的模型，由簡單到複雜展現數學建模的逐步深入和發展的過程，才有可能真正學到數學建模的方法，真正領悟到數學建模的豐(feng) 富內(nei) 涵和無限的發展生機，感受到數學建模的威力和魅力。在這個(ge) 基礎上，對其他一些建模案例也可以比較容易地把握它們(men) 的內(nei) 涵，有一個(ge) 確如其分的認識和理解。

對於(yu) 高中生而言，學習(xi) 數學建模項目，是希望能幫助中學生建立思考問題的係統性和發散性，將數學知識應用於(yu) 實際生活的能力和提升發現問題實質的能力。

數學建模常用模型

在數學建模中較為(wei) 重要的就是模型的掌握，常見的幾種模型：預測類、評價(jia) 與(yu) 決(jue) 策、分類、優(you) 化及圖論。

一、預測類：

1.灰色預測模型：數據樣本較少，數據呈現指數或曲線的形式，例如：可以通過極值點和穩定點來預測下一次穩定點和極值點出現的時間點 。

2.回歸分析預測：求一個(ge) 因變量與(yu) 若幹自變量之間的關(guan) 係，若自變量變化後，求因變量如何變化；自變量之間的協方差比較小，最好趨近於(yu) 0，自變量間的相關(guan) 性小；樣本點的個(ge) 數n>3k+1，k為(wei) 自變量的個(ge) 數；因變量要符合正態分布 。

3.馬爾可夫預測：一個(ge) 序列之間沒有信息的傳(chuan) 遞，前後沒聯係，數據與(yu) 數據之間隨機性強，相互不影響；今天的溫度與(yu) 昨天、後天沒有直接聯係，預測後天溫度高、中、低的概率，隻能得到概率 。

二、評價(jia) 與(yu) 決(jue) 策：

1.模糊綜合評判 ：評價(jia) 一個(ge) 對象優(you) 良中差等層次評價(jia)

2.主成分分析法：評價(jia) 多個(ge) 對象的水平並排序，指標間關(guan) 聯性很強

3.層次分析法：通過指標，綜合考慮做出決(jue) 策

4.方差分析、協方差分析：方差分析：看幾類數據之間有無差異，差異性影響，例如：元素對麥子的產(chan) 量有無影響，差異量的多少；協方差分析：有幾個(ge) 因素，我們(men) 隻考慮一個(ge) 因素對問題的影響，忽略其他因素，但注意初始數據的量綱及初始情況。

三、分類：

一些機器學習(xi) 或數據挖掘的相關(guan) 算法模型：層次聚類、密度聚類、距離聚類、貝葉斯判別

四、優(you) 化：

1.動態規劃（背包問題模型）

2.線性規劃、整數規劃、0-1規劃（有約束，確定的目標）

3.排隊論

五、圖論：

1.最小生成樹（prim算法、Kruskal算法）

2.最短路徑（Dijkstra算法、Floyd算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法）

學習(xi) 數字模型，需要知識麵開闊，邏輯思維嚴(yan) 密，能夠把抽象的問題具體(ti) 化為(wei) 數學模型解決(jue) 。在學習(xi) 的過程中，一定要做到勤學勤練，隻要練好了知識才是自己的。

數學建模基本方法

一般說來數學建模的方法大體(ti) 上可分為(wei) 機理分析和測試分析兩(liang) 種。機理分析是根據對客觀事物特性的認識，找出反映內(nei) 部機理的數量規律，建立的數學模型常有明確的物理或現實意義(yi) 。

建模方法測試分析是將研究對象看作一個(ge) “黑箱”（意思是內(nei) 部機理看不清楚），通過對測量數據的統計分析，找出與(yu) 數據擬合最好的模型。

麵對於(yu) 一個(ge) 實際問題用哪一種方法建模，主要取決(jue) 於(yu) 人們(men) 對研究對象的了解程度和建模目的。如果掌握了一些內(nei) 部機理的知識，模型也要求具有反映內(nei) 部特征的物理意義(yi) ，建模就應以機理分析為(wei) 主。而如果對象的內(nei) 部機理規律基本上不清楚，模型也不需要反映內(nei) 部特征，那麽(me) 可以用測試分析。對於(yu) 許多實際問題也常常將兩(liang) 種方法結合起來，用機理分析建立模型結構，用測試分析確定模型的參數。

數學建模步驟

建模要經過哪些步驟並沒有一定的模式，通常與(yu) 問題性質和建模的目的等有關(guan) 。

模型準備：了解實際背景，明確建模目的，搜索必要信息，弄清對象的主要特征，形成一個(ge) 比較清晰的“問題”（即問題的提出）。情況明才能方法對，在這個(ge) 階段要深入調查研究，虛心向實際工作者請教，盡量掌握第一手資料。

模型假設：根據對象的特征和建模目的，抓住問題的本質，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡化假設。對於(yu) 建模的成敗這是非常重要和困難的一步。假設不合理或太簡單，會(hui) 導致錯誤的或無用的模型；假設作得過分詳細，試圖把複雜對象的眾(zhong) 多因素都考慮進去，會(hui) 使你很難或無法繼續下一步的工作。常常需要在合理與(yu) 簡化之間作出恰當的折衷，要不段積累經驗，並注意培養(yang) 和充分發揮對事物的洞察力和判斷力。

模型的建立：根據假設，用數學的語言、符號描述對象的內(nei) 在規律，得到一個(ge) 數學結構。這裏除了需要一些相關(guan) 的專(zhuan) 門知識外，還常常需要較為(wei) 廣闊的應用數學方麵的知識，要善於(yu) 發揮想象力，注意使用類比法，分析對象與(yu) 熟悉的其他對象的共性，借用已有的數學模型。建模時還應遵循的一個(ge) 原則是盡量采用簡單數學工具，因為(wei) 你的模型總希望更多的人了解和使用，而不是隻供少數專(zhuan) 家欣賞。

模型求解：使用各種數學方法、數學軟件和計算機技術對模型求解。模型分析：對求解結果進行數學上的分析，如對結果進行誤差分析，分析模型對數據的穩定性或靈敏性等。

模型檢驗：把求解和分析結果翻譯回到實際問題，與(yu) 實際現象、數據進行比較，檢驗模型的合理性與(yu) 適用性。如果結果與(yu) 實際不符，問題常常出現在模型假設上，應該修改或補充假設，重新建模。這一步對於(yu) 模型是否真的有用是非常關(guan) 鍵的，要以嚴(yan) 肅認真的態度對待。

數學建模的全過程可分為(wei) 表述、求解、解釋、驗證幾個(ge) 階段，並且通過這些階段完成從(cong) 現實對象到數學模型，再從(cong) 數學模型回到現實對象的循環。表述是根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題，即將現實問題“翻譯”成抽象的數學問題，屬於(yu) 歸納法。數學模型的求解選擇適當的數學方法求得數學模型的解答，則屬於(yu) 演繹法。解釋是將數學語言表述的數學模型的解答“翻譯”回實際對象，給出分析、預報、決(jue) 策或者控製的結果。最後，作為(wei) 這個(ge) 過程的最重要一環——檢驗，是用現實對象的信息檢驗得到的解答。

數學建模題型

一般而言，數學建模的題型結構形式有三個(ge) 基本組成部分。

1．實際問題背景

涉及麵寬——有社會(hui) ，經濟，管理，生活，環境，自然現象，工程技術，現代科學中出現的新問題等。一般都有一個(ge) 比較確切的現實問題，比如之前機構推薦的根據電商平台商品用戶滿意度建立銷售策略數學建模、“新冠疫情預測”項目、用pagerank算法衡量音樂(le) 藝術家們(men) 之間的影響力等數學建模課題，都是針對某一現象進行假設分析。

2．若幹假設條件有如下幾種情況

1)隻有過程、規則等定性假設，無具體(ti) 定量數據;

2)給出若幹實測或統計數據;

3)給出若幹參數或圖形;

4)蘊涵著某些機動、可發揮的補充假設條件，可以根據自己收集或模擬產(chan) 生數據。

3．要求回答的問題往往有幾個(ge) 問題，而且一般不是唯一答案

一般包含以下兩(liang) 部分:

1)比較確定性的答案(基本答案);

2)更細致或更高層次的討論結果(往往是討論最優(you) 方案的提法和結果)。

數模更像是一個(ge) 綜合性的問題“課題”，大部分都源於(yu) 生產(chan) 實際或者科學研究的過程中，根據實際的模擬，在某種合理的假設下完成實際問題的近似表達。因此，答案結果隻能是較優(you) ，不是唯一的。相比於(yu) 傳(chuan) 統偏重理論知識的數學競賽， “數模”更偏重於(yu) 應用，培養(yang) 的是以數學知識為(wei) 引導計算機運用能力及文章的寫(xie) 作能力為(wei) 輔的綜合能力。

初學建模需要儲(chu) 備大量數學知識，可以看一些入門知識書(shu) 籍，比如司守奎的《數學建模算法與(yu) 應用》，這本書(shu) 的算法比較全麵，看完能對數學建模有個(ge) 整體(ti) 的了解。謝金星《數學模型》，這本書(shu) 對數學模型有更多的數學理論的證明，看完能進一步了解數學建模內(nei) 部的原理。吳軍(jun) 《數學之美》這本書(shu) 講得比較泛，文字比較多，但是認真看完能對裏麵提到的一些重要的模型有深入的了解，而且也能讓你明白數學建模的實際用途。

當然，想要快速入門的話，也可以預約機構數學建模先導課！一節課教會(hui) 你：基礎統計知識；隨機變量概率分布；經典建模入門案例；個(ge) 性化課題探討，帶你開啟數學建模的奇妙世界。

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數模先導課由機構數理基礎導AMC教學主管W老師親(qin) 自授課，W老師係斯坦福大學統計係碩士，精通數學建模、統計模型，曾獲AIME上海區最高分，進入USAMO Qualifier，是Duke Math Meet教練，AMC、HiMCM等數學競賽教練，屬於(yu) 真正的“大牛”老師。

機構數學建模課程收獲

01積累數學知識

學生通過課程，培養(yang) 用數學方法解決(jue) 實際問題的能力、在團結合作中發揮集體(ti) 力量攻關(guan) 的意識和能，提高問題的闡述分析、模型的假設和建立、計算結果及討論、撰寫(xie) 專(zhuan) 業(ye) 學術論文的能力，為(wei) 日後研究學習(xi) 做鋪墊。

02提升綜合能力

除數學基礎外，數學建模也對學生解決(jue) 實際問題的能力有所要求。在有方學術團隊、導師、顧問和助教的幫助下，學生可以全麵提升自己的研究能力、分析能力和原創性思維，並通過參加相關(guan) 賽事證明及獎項凸顯自己的個(ge) 人特質，在申請中獲得領跑優(you) 勢。

03展現興(xing) 趣

數學建模經曆可以幫助學生體(ti) 現自己對數學的興(xing) 趣和熱情，幫助學生申請相關(guan) 專(zhuan) 業(ye) 課程計劃。

在學習(xi) 數學建模中，要注意數學建模的學習(xi) 和訓練，數學建模的認識和實踐著重點不在廣度，而在深度。不在於(yu) 麵麵俱到，學習(xi) 越來越多的案例，而在於(yu) 有選擇的抓住適當的主題，向深處進軍(jun) ，從(cong) 不同的層麵上充分展示數學建模的風采。