波黑IMO國家隊選拔考試數列問題解答！

寫(xie) 這篇每月一題的時候正好Bosniaand Herzegovina的IMO TST題目出來了，以前做題目的時候總是想看看小國家是怎麽(me) 備考IMO的，並且他們(men) 的TST難度似乎也很適合USAMO的考試。

因此本月的每月一題給出今年Bosniaand Herzegovina第二天的第三題：

Sketch：

本題如果換成問一下這個(ge) 數列中平方數的個(ge) 數的話，可以直接作為(wei) 一個(ge) AMC12的中段題目來考，可惜他現在是個(ge) TST當中的證明題。自己寫(xie) 幾項之後就可以得到一個(ge) 否定的答案，問題在於(yu) 如何證明。

首先應當使用特征方程或者生成函數得到這個(ge) 數列的通項公式，特征方程方法在往期的每月一講中已經出現過，這期就給一個(ge) 生成函數的做法：

有了這個(ge) 通項公式的結果，我們(men) 隻需要估計第幾項有可能是平方數。常用的套路是尋找合適的模，這裏我們(men) 選擇模5.

由於(yu) 任何整值線性遞推數列的模數列都是周期的，我們(men) 可以得到這個(ge) 數列的模數列：2,2,1,2,2,1,2,2,1，...

最後：

這個(ge) 題目在波黑TST中原題是設X1=1，從(cong) 而他們(men) 的國家隊宣布本題不予評分。