2024HiMCM數模競賽練習解題思路！（3）

2023美賽問題A：遭受旱災的植物群落

1、問題描述與(yu) 要求

背景

不同的植物群落對壓力的反應不同。例如，草原對幹旱非常敏感。幹旱發生的頻率和嚴(yan) 重程度不同。但大量的觀察表明，不同物種的數量對植物群落如何在連續多代幹旱周期中的適應能力起到了重要作用。在一些僅(jin) 有單一物種的植物群落中，後代不像有4種或更多物種的群落中的個(ge) 體(ti) 植物那樣容易適應幹旱條件。這些觀察引出了許多問題：例如，對於(yu) 一個(ge) 植物群落，要從(cong) 這種局部生物多樣性中受益，最少需要多少種物種？隨著物種數量的增加，這種現象如何發展？這對植物群落的長期生存性意味著什麽(me) ？

要求

考慮到植物群落中幹旱適應性與(yu) 物種數量的關(guan) 係，您的任務是探索和更好地理解這一現象。具體(ti) 地，您應該：

●開發一個(ge) 數學模型，預測植物群落隨著不同的不規則天氣周期的變化。在降水充足的時期應包括降雨的時間。該模型應考慮幹旱周期中不同物種之間的相互作用。

●探討你能從(cong) 你的模型中得出什麽(me) 結論，關(guan) 於(yu) 植物群體(ti) 與(yu) 更大環境的長期相互作用。考慮以下問題：

①要使植物群落受益，需要的不同植物物種數量是多少，隨著物種數量的增加會(hui) 發生什麽(me) ？

②社區中的物種類型如何影響你的結果？

③未來天氣周期中幹旱發生的頻率和變化範圍的影響是什麽(me) ？如果幹旱較少，物種數量對總人口的影響是否相同？

④汙染和棲息地減少等其他因素如何影響你的結論？

⑤您的模型表明應該采取什麽(me) 措施以確保植物群落的長期生存力，對更大環境的影響是什麽(me) ？

2、問題分析

01、這是一道微分方程建模題目，建立模型是關(guan) 鍵，模型求解並不難，基於(yu) 模型的分析和討論可以發揮想象力。

02、需要先找到相關(guan) 研究論文，根據論文中提出物種與(yu) 環境的關(guan) 係的原理模型，建立微分方程的數學模型。論文中會(hui) 給出具體(ti) 的數學模型，可能是偏微分方程，能夠求解就直接用；如果不會(hui) 就簡化為(wei) 常微分方程也可以。

03、微分方程是描述係統的狀態隨時間和空間演化的數學工具。本題顯然是研究幾種物種的數量隨時間的變化規律。

04、特別注意：給定初始條件的一階常微分方程（組）的標準形式是：

微分方程是微分方程組，式中的 y 是數組向量，有幾個(ge) 物種就有幾個(ge) 變量，y i ( t )表示物種 i 的總量隨時間 t 的變化。

也就是說，可以先建立一種或兩(liang) 種物種的模型，分析變化趨勢，再依次增多物種數量，分析變化趨勢。

05、特別注意：構造外部條件及降雨量隨時間的變化函數。降雨量函數要滿足題目要求：（1）不同的不規則天氣周期，既要有幹旱周期，又要有降水周期，還要有間隔周期；（2）幹旱發生的頻率和變化範圍。

如何構造合理的降雨量函數，可以體(ti) 現能力和創新的。思路一是設計的降雨量函數包含不同的可能模式，思路二是降雨量函數包括地球上典型的幹旱模式，思路三是找到非洲地區的降雨量統計。

06、特別注意：汙染和棲息地減少等其他因素的影響，需要在模型中增加一個(ge) 係數，或者一項，反映汙染和棲息地減少的影響。直接在模型中增加一個(ge) 係數，比較簡單。進一步地，可以構思汙染與(yu) 種群總數相關(guan) ，是一個(ge) 隨種群總數變化的係數。

07、特別注意：采取什麽(me) 措施以確保植物群落的長期生存力，應該通過模型研究得到結論。

建議首先查找資料找到一種或多種靠譜的措施，然後將其量化為(wei) 一個(ge) 係數或一項加入模型（跟汙染係數的原理是一致的），通過模型研究措施的影響，證明采取的措施是有效的。簡單地，既然汙染會(hui) 破壞環境，那麽(me) 防止汙染就可以保護環境，可以抑製汙染係數的增大。又如，水土保持能否量化為(wei) 模型參數？食物鏈能否構造模型？

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