2023年美賽A題解析！

賽題A

【競賽真題】2023年美賽A題解析！

問題背景翻譯

不同種類的植物對壓力的反應方式是不同的。例如，草原對幹旱非常敏感。幹旱發生的頻率和嚴(yan) 重程度各不相同。

大量觀察表明，不同物種的數量對植物群落在連續幾代遭受幹旱周期時如何適應中起著作用。在一些隻有一種植物的群落中，隨後幾代植物不像四種或更多種植物群落中的個(ge) 體(ti) 植物那樣適應幹旱條件。這些觀察提出了許多問題。例如，一個(ge) 植物群落從(cong) 這種局部生物多樣性中獲益所需的最低物種數量是多少？隨著物種數量的增加，這種現象是如何擴大的？這對植物群落的長期生存能力意味著什麽(me) ？

要求翻譯

考慮到幹旱適應性與(yu) 植物群落中物種數量的關(guan) 係，你的任務是探索並更好地理解這一現象。具體(ti) 來說，你應該：

1、開發一個(ge) 數學模型，預測一個(ge) 植物群落在各種不規則天氣周期下如何隨時間變化。包括降水充足的幹旱時期。該模型應考慮幹旱周期中不同物種之間的相互作用。

2、探索植物群落和更大環境的長期相互作用方麵，你可以從(cong) 模型中得出什麽(me) 結論。考慮以下問題：

（1）植物群落需要多少不同的植物物種才能受益，隨著物種數量的增加會(hui) 發生什麽(me) ？

（2）植物群落中的物種類型如何影響你的結果？

（3）在未來的天氣周期中，幹旱發生的頻率更高、變化範圍更廣會(hui) 產(chan) 生什麽(me) 影響？如果幹旱發生頻率降低，那麽(me) 物種數量對總族群的影響是否相同？

（4）汙染和棲息地減少等其他因素如何影響你的結論？

（5）你的模型表明應采取哪些措施來確保植物群落的長期生存能力，以及對大環境的影響？

賽題A分析

先看問題背景：不同物種數量的植物群落在連續幾代幹旱的循環中發揮著作用。這說明不同植物物種數量的群落在幹旱中有不同的適應性，即生物多樣性對嚴(yan) 峻環境的適應性表現。那麽(me) 很明顯，本題的目的就是為(wei) 了探尋生物多樣性（植物物種的數量）對幹旱嚴(yan) 峻環境變化下的抵抗模型。想到這兒(er) ，我們(men) 很自然的便會(hui) 聯想到高中生物就學過的“S”型曲線，即Logistic模型。

問題1：預測植物群落在各種不規則幹旱環境下隨時間的變化，包括降雨量本該充足的幹旱時期，我們(men) 還應該考慮到不同物種之間的相互作用。

很顯然，在問題1所建立的模型中，我們(men) 需要考慮天氣和物種之間的相互作用。天氣即種群的外因，物種之間的相互作用即種群的內(nei) 因，這是需要考慮種群內(nei) 外因兩(liang) 個(ge) 方麵的數學模型。這裏我們(men) 可以考慮元胞自動機與(yu) Lotka-Volterra model兩(liang) 種模型。

對於(yu) 元胞自動機而言，我們(men) 在眾(zhong) 多的類型中選擇的顯然要是帶有周期性的元胞自動機模型，因為(wei) 題目中已經很清楚的說明了天氣的循環變化是存在一定規律的，即具有周期性。但我們(men) 也不能簡單的考慮周期性，因為(wei) 題目中還說“在本該降水量充足的天氣突然幹旱”也就是說，這個(ge) 循環是有一定概率發生突變的。這裏我們(men) 將天氣因素引入元胞自動機模型中需要考慮突變的影響。但元胞自動機撰寫(xie) 論文的難點在於(yu) 沒有非常明確的數學表達式。於(yu) 是我們(men) 不妨結合一下的模型。

對於(yu) Lotka-Volterra model而言，這是可以用來描述物種之間競爭(zheng) 關(guan) 係的動力學模型。

【競賽真題】2023年美賽A題解析！

其中【競賽真題】2023年美賽A題解析！

表示第t時刻第i種群的密度，表示不同種群之間的作用因子，反映了物種之間的競爭(zheng) 與(yu) 合作關(guan) 係，而b則反映種群的增長變化。

考慮不同環境下的周期特征，我們(men) 可以將a，b視為(wei) 兩(liang) 個(ge) 周期函數。用此來反映環境變化情況下的周期特征。

那麽(me) 問題來了，我們(men) 該如何刻畫環境變化的周期性特點呢？要知道影響環境變化的因素有很多，我們(men) 可以通過分析某幹旱地區一段時間內(nei) 環境的變化來反映環境的變化，通過一些機器學習(xi) 模型的擬合來得到時間序列波動模型，比如神經網絡等。

這裏放一個(ge) 網站方便大家找數據：https://droughtmonitor.unl.edu/

但這樣的話，我們(men) 對環境變化的突變情況就難以控製，於(yu) 是我們(men) 不妨采用馬爾科夫鏈的思想，通過概率的方法對天氣的周期進行模擬，這樣隻需要對不同天氣改變的概率進行調節，天氣的變化情況也就受我們(men) 可控了，同時，我們(men) 也能更清楚的描述“在本該降水量充足情況下突然幹旱了的情況”。但似乎好像還是有點不足，雖然對於(yu) 外因而言我們(men) 對這句話進行了很好的闡釋，單對於(yu) 內(nei) 因而言我們(men) 並沒有進行好的解釋。

進一步思考生物學的內(nei) 容，植物的生長存在著某種“前瞻性”，在幹旱到來之前，植物就會(hui) 知道這個(ge) 時候該幹旱；在降水到來之前，植物就會(hui) 知道這個(ge) 時候該降水。即植物的生長存在著某種慣性。我們(men) 可以考慮植物生長時的慣性，引入“慣性因子”來豐(feng) 富我們(men) 的模型，而慣性因子顯然會(hui) 與(yu) 天氣的突然變化有關(guan) 。

通過引入馬爾可夫鏈的Lotka-Volterra model與(yu) 一開始說的元胞自動機有異曲同工之妙，都將難以定量表述的天氣變化通過概率的描述變得可解。

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