氣球能代替安全氣囊嗎？

引言

現實生活中，我們(men) 常常會(hui) 看到車禍的新聞（圖 1），電影中也有不少車禍場景（圖 2）。

圖 1: 林誌穎駕車撞上隔離帶後車頭起火

嚴(yan) 重的車禍都伴隨著猛烈的撞擊和人員的傷(shang) 亡。當車輛發生猛烈的撞擊時，安全氣囊和安全帶就成了保護車內(nei) 乘客的最後一道防線。

圖 2: 電影《香草天空》中車輛墜橋的場景

如圖 3 所示，安全氣囊的工作原理是：當汽車受到一定的碰撞力時，氣囊係統會(hui) 引發類似小劑量炸藥爆炸的化學反應，隱藏在車內(nei) 的安全氣囊會(hui) 瞬間充氣彈出，在人體(ti) 撞擊車內(nei) 零部件之前被填充到位。

圖 3: 安全帶和安全氣囊的重要性

當人體(ti) 接觸安全氣囊時，氣體(ti) 會(hui) 通過氣囊表麵的氣孔排出，從(cong) 而起到對人體(ti) 的緩衝(chong) 作用。根據美國高速公路安全管理局的調查^[1]，氣囊的正確使用可令轎車的駕駛員死亡率減少11%，正麵撞擊時可降低 30% 的衝(chong) 擊力。

圖 4: 汽車撞擊中氣球能代替安全氣囊嗎？

氣球能代替安全氣囊嗎？就有這樣一則流言：兩(liang) 個(ge) 小醜(chou) 帶著一大堆氣球去參加派對時出了事故，汽車以 56 km/h 的速度撞上了一堵牆。司機因係了安全帶保住了性命，而坐在副駕駛上的小醜(chou) 麵前有一堆氣球，在氣球的緩衝(chong) 下他也有驚無險地躲過了一劫（圖 4）。這則流言是真的嗎？接下來本文先簡單介紹一下《流言終結者》的實驗，然後再從(cong) 模型角度來探究這個(ge) 問題。

實驗

針對“氣球能否代替安全氣囊”這個(ge) 問題，美國科普電視節目《流言終結者》曾做過實驗^[2]。為(wei) 了模擬汽車以 56 km/h 的速度撞擊，節目組將汽車頭朝下從(cong) 12.5 m 的高度墜落。每次墜落前，都會(hui) 在主副駕駛座位上各放置一個(ge) 假人，假人頭部和胸部裝有加速度傳(chuan) 感器。實驗表明，不係安全帶的情況下，沒有氣球緩衝(chong) 的假人胸部和頭部承受的加速度峰值分別為(wei) 630 g 和 340 g（其中 g = 9.8 m/s² 表示重力加速度，下文同）。高速攝像機顯示，車輛在撞擊地麵的瞬間，假人頭部直接撞在了擋風玻璃上（圖 5 左上）。

圖 5: 《流言終結者》車輛撞擊實驗

如果在假人前塞滿普通氣球，假人胸部和頭部承受的加速度峰值分別為(wei) 620 g 和 350 g（圖 5 右上），這與(yu) 沒有氣球時幾乎沒有區別。高速攝像機顯示，車輛在撞擊地麵的瞬間，車內(nei) 有些氣球直接炸掉了。為(wei) 此，節目組換上了更結實的大型厚乳膠氣球，高速攝像機顯示，汽車撞擊地麵的瞬間，假人的頭從(cong) 氣球的縫隙裏透了出來，然後又被氣球彈了回去，似乎沒有受到什麽(me) 傷(shang) 害（圖 5 左下）。傳(chuan) 感器數據顯示，假人頭部和胸部承受的加速度峰值分為(wei) 115 g 和 130 g，盡管相對於(yu) 普通氣球的情況已經下降了很多，但超過 100 g 的加速度仍然是致命的。此外，節目組還對更多類型的氣球和不同的放置方式進行了實驗（圖 5 右下），但結果都沒有比大型厚乳膠氣球更好。

模型

上麵的實驗已經證實：氣球並不能代替安全氣囊。為(wei) 什麽(me) 不同類型的氣球和放置方式都不能將乘客的加速度降低到 100 g 以下？接下來本文將從(cong) 模型角度來探究這個(ge) 問題。

緩衝(chong) 距離

首先，本文估計一下車輛撞擊過程中要保證乘客存活下來需要的最短緩衝(chong) 距離。《流言終結者》節目組認為(wei) 人體(ti) 在極短時間內(nei) 能承受的極限加速度為(wei)   a= 100 g = 980 m/s²。乘客想要在車禍中存活下來，其在車輛撞擊過程中承受的加速度峰值必須小於(yu) 這個(ge) 極限值。

圖 6: 車輛撞擊後的緩衝(chong) 距離

如果車禍過程中，身體(ti) 以極限加速度從(cong) 撞擊前的速度υ0 降為(wei) 0，則需要的最短緩衝(chong) 距離 Δχ 滿足：

本文要研究的車禍中，車輛撞擊前的速度為(wei) υ0 = 56 km/h = 15.6 m/s。因此，要使乘客在撞擊過程中存活下來，最短緩衝(chong) 距離為(wei) ：

也就是說，車輛撞擊後乘客至少需要繼續減速運動 12.4 cm 才能活下來。這個(ge) 距離並不算大，普通汽車是有足夠的空間來讓乘客減速的：坐在正副駕駛座位上的乘客，其頭到擋風玻璃的距離約為(wei) 50 cm，腹部到儀(yi) 表板的距離約為(wei) 30 cm。這實際上就是安全帶和安全氣囊的工作原理（圖 3）：安全帶和安全氣囊會(hui) 施加適當的阻力來讓乘客在撞到儀(yi) 表板和擋風玻璃之前停下來，但又不會(hui) 讓乘客在太短的距離內(nei) 停下來。

運動方程

通過上文對緩衝(chong) 距離的計算，可以發現適當的機製（安全帶、安全氣囊）是完全可以以安全的加速度來將乘客停下來。理論上，氣球有可能是這種適當的機製之一嗎？接下來，本文來研究一下乘客頭部在氣球緩衝(chong) 作用下的運動狀態。

圖 7: 車輛撞擊後的氣球壓縮

為(wei) 了簡化問題，本文將氣球內(nei) 的氣體(ti) 看成是理想氣體(ti) 。由於(yu) 車輛撞擊的時間極短，氣球在被壓縮時，氣體(ti) 來不及與(yu) 周圍環境進行熱交換。因此，可以將車輛撞擊時氣球內(nei) 的氣體(ti) 壓縮過程看成絕熱過程，氣體(ti) 的體(ti) 積 V 和壓強 P 遵循以下關(guan) 係：

其中 C 和 ϒ 為(wei) 常數。對於(yu) 常見的氣球填充氣體(ti) 氦氣（單原子氣體(ti) ），ϒ = 5/3。為(wei) 了簡化問題，本文將乘客頭部前這一疊氣球簡化為(wei) 圓柱（雞都能假設為(wei) 球形，這個(ge) 假設不過分吧？），並且頭部對氣球的壓縮僅(jin) 發生在圓柱的軸向（圖 8）。

圖 8: 一維氣球絕熱壓縮模型示意圖

用 x 表示頭部壓縮氣球的長度，L0 表示氣球被壓縮前的長度，則被壓縮後的氣球長度可表示為(wei) L0 = L0-x ，氣球內(nei) 氣體(ti) 的壓強可以表示為(wei) ：

其中P0  和 V0為(wei) 氣球未被壓縮時內(nei) 部氣體(ti) 的壓強和體(ti) 積，A 為(wei) 圓柱底麵積（= 正臉麵積）。上式表明氣球對外界施加的力與(yu) L‾^5/3成正比，力隨著氣球的壓縮急劇上升。圖 9 給出了氣球長度L  變化與(yu) 氣球壓強P  的變化關(guan) 係。從(cong) 圖中不難看出，L 每減少 1/3，氣球對外界施加的力（或壓強）幾乎就翻倍。

圖 9: 氣球長度比與(yu) 壓強比的關(guan) 係

普通氣球內(nei) 的氣壓約為(wei) 820 mmHg（即 109 kPa）^[3]，比標準大氣壓 101 kPa 略高。這也很容易理解，氣球並不能維持太大的壓差。為(wei) 簡化計算，假設氣球內(nei) 的初始壓強 P0 與(yu) 外界環境一致，等於(yu) 標準大氣壓。氣球被壓縮時對外界施加的力 PA，一部分用於(yu) 抵消氣球外的大氣壓力 P0A，剩餘(yu) 的力才是作用於(yu) 乘客頭部的力：

上式中右端的負號表示作用力的方向（與(yu) x  的正向相反）。因此，乘客頭部的運動方程（加速度）為(wei)

其中t  表示時間， m為(wei) 乘客頭部的質量。記乘客臉與(yu) 氣球剛接觸時為(wei) 時間零點（t = 0），則有以下初值條件：

現在隻需要給出參數的值，就可以數值求解乘客頭部的運動方程。成年人頭部質量一般占體(ti) 重的 8.3% 左右^[4]，考慮一個(ge) 體(ti) 重 60 kg 的乘客，其頭部重量m  = 60*8.3%= 5 kg，正臉麵積A  = 300 cm²；考慮到乘客頭部到前擋風玻璃的距離約為(wei) 半米，假設模型中氣球的長度L0  = 0.5 m；車輛撞擊前的行駛速度為(wei) u0= 15.6 m/s。將這些參數值代入以上兩(liang) 式，並由 MATLAB 函數ode45數值求解，結果如圖 10 和 11 所示。

圖 10: 壓縮距離隨時間的變化

結果顯示：車輛發生碰撞後約 23 ms，氣球被壓縮距離達到了最大約 25.5 cm（圖 10）。此時速度降為(wei) 了 0，加速度達到了最大（峰值）約 149 g（圖 11）。

圖 11: 速度和加速度與(yu) 壓縮距離的關(guan) 係

結果表明，氣球不能以 100 g 以內(nei) 的加速度將乘客停下來，原因是氣球被壓縮時，內(nei) 部壓強急劇上升，還沒能夠使乘客停下來時，壓力就已經增加到特別大，以至於(yu) 使乘客頭部的加速度超過了 100 g。實際上，對於(yu) 普通的氣球，在被壓縮的早期就爆炸了，根本不會(hui) 起到什麽(me) 阻礙作用。上文的討論中，實際上假設了氣球在壓縮過程中不會(hui) 爆炸，這相當於(yu) 《流言終結者》實驗中使用的大型厚乳膠氣球。

參數分析

上文中建立了乘客頭部的運動方程，並在一定的參數下進行了求解。結果表明，氣球不能以 100 g 以內(nei) 的加速度將乘客停下來。現實生活中，不同乘客有著不同的頭部質量 m 和正臉麵積A ，不同型號的車輛有著不同的氣球長度 L0（模型中用氣球長度表征車內(nei) 的空間）。如果適當地調整參數的取值，這個(ge) 結論還成立嗎？本節將分析各參數取值對加速度峰值的影響。

乘客頭部運動方程的求解並不能直接給出加速度峰值。為(wei) 了方便分析，接下來本文根據功能關(guan) 係給出加速度峰值的直接求解方法^[5]。加速度達到峰值時，實際上就是氣球被壓縮量達到最大時，假設此時氣球長度為(wei) L1 。乘客頭部將氣球的長度從(cong) L0  壓縮到 L1，需要做功為(wei)

若乘客頭部質量為(wei) m，以初速度u0  壓縮氣球，則乘客頭部動能全部用來壓縮氣球做功，即：

上式兩(liang) 端同時除以 P0AL0  可以整理成關(guan) 於(yu) L1 /L0 的方程：

其中 0 < L1/L0 <1。如果上式中除了L1  以外的參數都已知，則由數值方法可以求得L1 /L0。由此，就可以根據以下公式求得乘客頭部的加速度峰值大小：

本文先用之前的參數取值計算一下加速度峰值，並與(yu) 運動方程的求解結果對比：將頭部重量 m= 5 kg，正臉麵積A  = 300 cm²，氣球的長度 L0= 0.5 m，車輛撞擊前的行駛速度為(wei) u0  = 15.6 m/s 代入以上兩(liang) 式，可以計算出L1 / L0= 0.4918，加速度峰值α max = 1372 m/s² = 140 g，這與(yu) 運動方程求解出的結果一致。

為(wei) 研究參數取值對結果的影響，本文對 m、A 和  L0分別單獨進行改變，變化範圍從(cong) 減小 50% 到增加 50%，並計算出相應的加速度峰值。計算結果如圖 12 所示。從(cong) 圖中不難看出：頭部質量 m 越大，加速度峰值 α max 越小；正臉麵積 A 越小，加速度峰值 α max 越小；氣球長度L0  越大，加速度峰值 α max 越小。但這三個(ge) 參數的改變並沒有能夠將加速度峰值降低到 100 g 以下。

圖 12: 參數靈敏度分析

考慮到氣球內(nei) 的氦氣（單原子氣體(ti) ）可以更換為(wei) 其它雙原子氣體(ti) （例如氮氣），本文將 ϒ = 5/3（適用於(yu) 單原子氣體(ti) ）更改為(wei) ϒ = 7/5（適用於(yu) 雙原子氣體(ti) ），並重新計算了 m = 5 kg、A = 300 cm²、L0 = 0.5 m 和 u0 = 15.6 m/s 時的加速度峰值： α max  = 1271 m/s = 130 g。

以上參數分析表明：單獨改變m 、A、L0 和 ϒ，都不能使加速度峰值降低到 100  以下。但同時改變兩(liang) 個(ge) 或更多參數是可以達到這一目標的：例如，當 ϒ = 7/5，L0 = 75 cm，其它參數不變時，α max = 92 g。

結論

本文針對“氣球能否代替安全氣囊”這個(ge) 問題進行了建模分析。首先，本文計算了車輛撞擊過程中乘客存活下來需要的最短緩衝(chong) 距離。結果表明，正常車輛的內(nei) 部空間是完全足夠讓乘客以安全的加速度停下來的。然後，本文將乘客壓縮氣球的過程簡化為(wei) 一維絕熱壓縮，根據絕熱壓縮的體(ti) 積壓強關(guan) 係建立了乘客頭部運動方程，並代入適當的參數對運動方程進行了數值求解。結果表明，氣球無法以低於(yu) 100 g 的加速度將乘客停下來。最後，本文通過功能關(guan) 係得到了加速度峰值，並研究了乘客頭部質量、正臉麵積、氣球長度（車內(nei) 空間）和氣球內(nei) 氣體(ti) 的類型對加速度峰值的影響。結果表明，單獨改變這些參數確實會(hui) 影響加速度的峰值大小，但都不能使加速度峰值降低到 100 g 以下。隻有同時改變兩(liang) 個(ge) 或更多的參數才有可能將加速度峰值降低到 100 g 以下。

模型的結果表明，通常情況下氣球並不能代替安全氣囊。普通氣球在被壓縮的早期就爆炸了，根本不會(hui) 起到什麽(me) 阻礙作用，而大型厚乳膠氣球被壓縮時，內(nei) 部壓強急劇上升，還沒等乘客停下來，壓力就已經大到使乘客頭部的加速度超過了 100 g。與(yu) 氣球不同，安全氣囊表麵有大量氣孔，當人體(ti) 壓縮安全氣囊時，氣囊內(nei) 的氣體(ti) 會(hui) 通過表麵氣孔排出，從(cong) 而避免了壓力的急劇上升。這就是氣球與(yu) 安全氣囊的差別，也是氣球不能代替安全氣囊的原因。

參考資料

[1]Wikipedia contributors. Airbag — Wikipedia, the free encyclopedia, 2022: https://en.wikipedia.org/wiki/Airbag

[2]Mythbusters. Can balloons replace air bags in a car crash, 2012: https://www.youtube.com/watch?v=-0pjtFU_Cew

[3]jspchmst. Pressure of a latex balloon as it is inflated, 2008: https://www.youtube.com/watch?v=fwh-i0WB_bQ

[4]Robert Allison. Weight of human body parts as percentages of total body weight, 2012: https://robslink.com/SAS/democd79/body_part_weights.htm

[5]David Zaslavsky. Balloons as air bags: is there any hope?: https://www.ellipsix.net/blog/2012/10/balloons-as-air-bags-is-there-any-hope.html