2019年第7屆新加坡天文奧林匹克競賽試題(二)

2019年第7屆新加坡天文奧林匹克競賽試題(二)
翻譯：叢(cong) 雨
封麵圖：三角座的發射星雲(yun) Garren Nebula NGC604，圖片來源：NASA

譯者編譯說明：
整場考試持續3.5小時，總分200分，題目具體(ti) 分值使用了[]標注。
英文試題可在網站https://astronomy.sg獲取，暫未找到常數表和答案解析。
題目翻譯由個(ge) 人完成，期間借助了穀歌翻譯以及天文學名詞數據庫網站https://astrodict.china-vo.org，個(ge) 人英文水平有限，部分題目的翻譯質量欠佳。
數據分析題參考文獻：
[1].Light curve data is derived from Tümer (1984) and downloaded from CALEB.
[2].Danjon A. Recherches de Photométrie Astronomique. Annales de l’Observatoire de Stras bourg. 1928;2: 1–185
[3].Evren S, Ertan AY, Tunca Z, Ibanoglu C, Kurutac M, Tümer O. Photoelectric photometry of Z Herculis.
[4].Astrophysics and Space Science. 1982 Oct;87(1-2): 51–9. Popper DM. Orbits of close binaries with CA II H and K in emission. I - Z Herculis and RS Canum Venaticorum. Astronomical Journal. 1988 Apr;95: 1242–50.
[5].Popper DM. Rediscussion of Eclipsing Binaries. I. Z Herculis. Astrophysical Journal. 1956 Jul;124: 196–207.
[6].Tümer O, Ibanoglu C, Tunca Z, Evren S. Light-curve analysis of Z Herculis. Astrophysics and Space Science. 1984 Sep;104(2): 225–44.

1.短問題 [12]
1.1 參宿七
1.2 伽利略衛星
1.3 消色差透鏡
1.4 天鷹
1.5 毅力號
1.6 宇宙標度因子

2.中問題 [54]
2.1 太空填充
2.2 勒阿弗爾的日出
2.3 太空城
2.4 雙子座流星群
2.5 引力測繪
2.6 星際質子
2.7 宇宙年齡

3.長問題 [34]
3.1 Part 1：恒星誕生
3.2 Part 2：恒星中年
3.3 Part 3：恒星死亡

4.數據分析：Seeing Double [40]

5. P(A) [10]
5.1 MCQ
5.2 MCQ
5.3 MCQ
5.4 MCQ
5.5 MCQ

6.P(B) [28]
6.1 辨別星座
6.2 冬季星空
6.3 夏季星空

7.P(C) [22]
7.1 Part 1
7.2 Part 2
7.3 Part 3
長問題部分[34]

在對恒星HD 85512的係外行星演化進行研究時，天文學家Tommy也許與(yu) 其中一顆行星HD 85512b上的智慧生命取得了聯係。這顆行星的質量大致為(wei) 3.6 MÅ，軌道半長軸0.26AU，周期58.43d。為(wei) 了進一步了解這個(ge) 係外行星係統，Tommy收集了母星HD 85512的數據並和太陽對比：

想要探究HD 85512的行星演化史，我們(men) 首先要對恒星的演化過程有一個(ge) 較好的了解。在此問題中，我們(men) 要研究恒星的誕生、死亡以及平衡狀態的熱傳(chuan) 遞。

3.1 Part 1：恒星誕生(Star Birth)[9]
一般來講，恒星形成於(yu) 彌漫的分子雲(yun) 中。我們(men) 首先來探究分子雲(yun) 能夠收縮並形成恒星的條件。
對於(yu) 一個(ge) 引力束縛係統，位力定理如下

其中K和U分別是係統的動能和勢能。
a).考慮密度均勻的球形分子雲(yun) 的情形，它的半徑是R、質量是M。證明當其半徑增加一厚度為(wei) Δr的球殼時，引力勢能的變化量ΔU為(wei)

對上式積分可得到球形天體(ti) 的引力勢能

b).假設分子雲(yun) 是溫度為(wei) T的理想氣體(ti) ，那麽(me) 它的動能是(根據平均分子量為(wei) μ的分子隨機熱運動得出)

其中N是粒子數，kB是玻爾茲(zi) 曼常數。給出球形分子雲(yun) 坍縮的最小半徑和質量，將結果記作金斯長度RJ和金斯質量MJ。
這裏隻推斷出了有關(guan) 恒星HD 85512形成的少量信息，但我們(men) 還是對其有了一個(ge) 粗略的了解。微小的擾動會(hui) 觸發分子雲(yun) 的引力坍縮，促進了恒星的形成。

3.2 Part 2：恒星中年(Star Mid-Life)[15]
分子雲(yun) 坍縮之後、主序星形成之前的階段較為(wei) 複雜，我們(men) 不做討論。此部分題目的目標是研究恒星在流體(ti) 靜力學平衡狀態下的熱傳(chuan) 遞過程，特別是主序星。太陽和HD 85512都正處於(yu) 主序階段。
a).引力和壓力梯度驅動著恒星的演化。將恒星視為(wei) 對稱的球體(ti) ，且隻考慮沿半徑方向的作用力。對於(yu) 密度為(wei) ρ(r)、橫截麵積為(wei) ΔA、厚度為(wei) Δr的微小質量，根據牛頓第二定律，證明它的運動方程為(wei)

其中ar是徑向的質量產(chan) 生的加速度(向外為(wei) 正方向)。並由此給出靜力學平衡條件。
b).我們(men) 首先討論對流的熱傳(chuan) 遞。重力對其有重要的驅動作用，概述如下：
恒星內(nei) 部的一團氣體(ti) 在上升時，會(hui) 處於(yu) 與(yu) 它自身相比溫度較低、密度較大的環境中，此時它會(hui) 在浮力的作用下繼續上升。氣團下降時此理論同樣適用。熱量通過粒子的集體(ti) 運動有效地傳(chuan) 遞。
在對流過程中，氣體(ti) 團的膨脹和收縮幾乎是絕熱的，因為(wei) 氣體(ti) 團與(yu) 周圍環境之間沒有足夠的時間進行熱傳(chuan) 導。對絕熱過程的描述如下：
當係統和外界沒有熱量交換時，發生的是絕熱過程。此過程中理想氣體(ti) 的壓力和密度ργ成正比，其中γ是絕熱指數。
假設恒星由理想氣體(ti) 組成，證明對流的臨(lin) 界溫度梯度為(wei)

為(wei) 了滿足流體(ti) 靜力學平衡，壓力梯度由下式給出

據此寫(xie) 出恒星達到流體(ti) 靜力學平衡時，對流的臨(lin) 界溫度梯度的表達式。
c).接下來我們(men) 研究輻射的能量傳(chuan) 輸。我們(men) 要為(wei) 輻射的溫度梯度找到一個(ge) 近似的表達式。
用L(r)表示恒星內(nei) 部半徑為(wei) r處的球表麵的光度，即單位時間向外通過這一球麵的能量。恒星中心的熱核反應釋放的能量導致L(r)隨r增加，直到沒有能量產(chan) 生的區域為(wei) 止。用ε(r)表示半徑r處單位體(ti) 積的產(chan) 能率，那麽(me) 顯然有

在中心核反應區之外，L(r)成為(wei) 一個(ge) 常數，接近恒星的表麵光度。這一向外輻射的總功率L(r)與(yu) 流量密度J(r)有關(guan)

而熱輻射的流量密度J(r)等於(yu)

請由此給出輻射與(yu) 對流的臨(lin) 界溫度梯度相等時的條件。
d).恒星HD 85512核心處的數據大致是P= 1.7×1016Pa，T=13.7×106K，κ=0.138m2kg–1。計算對流占主導作用時單位質量的最小產(chan) 能率。已知實際產(chan) 能率是1.35×10–3W kg–1，評估你的計算結果。
e).不使用斯特藩–玻爾茲(zi) 曼定律，估算HD 85512每秒輻射的單色光子數。
f).如果使用斯特藩–玻爾茲(zi) 曼定律計算HD 85512的光度，那麽(me) 每秒輻射的單色光子數會(hui) 是多少？

3.3 Part 3：恒星死亡(Star Death)[10]
HD 85512在主序階段之後，會(hui) 像太陽一樣演化成白矮星。
a).經典力學下白矮星電子的總能量如下給出

其中K = 1.23×10–68 kg3 m4 s–2，R是白矮星半徑，Ne是電子總數，me是電子質量。
給出HD 85512到達白矮星階段後的平衡半徑的數值估計。
提示a)：你也許會(hui) 用到如下微分式：

其中n是實數，x是變量。
b).假設電子的分布是均勻的，估算電子的速度，以光速c作單位。
提示b)：電子之間的距離很近，我們(men) 可以采用德布羅意假說，即電子間距是德布羅意波長的兩(liang) 倍，德布羅意波長公式如下

式中λdB是德布羅意波長，h是普朗克常數，p是粒子的動量。
c).考慮相對論效應的修正，電子能量如下

采用與(yu) 之前類似的分析方式，估算HD 85512的臨(lin) 界質量Mc，以M⊙為(wei) 單位。
需注意，如果白矮星的質量大於(yu) Mc，它將將發生坍縮。檢查Mc是否依賴於(yu) 恒星HD 85512自身的各項參數。此外，由於(yu) 此問題使用了許多近似的計算，因此你的答案可能與(yu) 著名的錢德拉塞卡極限有所不同。正確嚴(yan) 格的推導超出了奧賽的大綱範圍。
綜上所述，此問題到此結束。看來Tommy必須更加努力才能理解HD 85512的係外行星係統。

數據分析部分[40]

4 數據分析：Seeing Double [40]
武仙座Z是一顆7等的食雙星。你設置了光電探測器來檢測它在B波段和V波段的視亮度變化，期間你記錄了一係列較深的主極小和較淺的次級小數據。下表列出了V波段極小值的時間和星等：
a).上麵的表格並不完整，P代表了從(cong) D = 44066.4870天的第一次主極小開始經過的周期數。為(wei) 每組數據填上合適的數值來補全這一列。
b).使用表中的數據繪製一幅合適的圖像，以確定武仙座Z的星等變化周期T。保留3位有效數字。
通過估測周期，我們(men) 可以重製武仙座Z的光變曲線，如以下兩(liang) 圖，展示了主極小和次極小附近的數據，繪製了V波段的相對強度和相位(與(yu) 軌道周期的比值)的關(guan) 係。
c).根據光變曲線大致寫(xie) 出以下數值：
•τ1，主極小的持續時間，以相位表示
•τ2，次極小的持續時間，以相位表示
•I1，主極小的光強度
•I2，次極小的光強度


d).考慮食雙星係統有一小一大兩(liang) 顆恒星，它們(men) 的半徑比值k≤1，較小的恒星被較大的恒星遮掩而不可見的麵積比例α0≤1。當大恒星掩小恒星、或小恒星淩大恒星時，亮度降低的比例分別為(wei) ∆ioc和∆itr。假設恒星的亮度沿盤麵均勻分布，證明

e).我們(men) 還根據觀測數據繪製了武仙座Z的B波段和V波段的相對強度之差與(yu) 相位的關(guan) 係圖。分析此圖回答有關(guan) 主極小的以下問題：
•這是一次掩星還是淩星？
•被食恒星的溫度更高還是更低？

f).假如雙星的軌道是圓形且軌道平麵側(ce) 對地球(傾(qing) 角等於(yu) 0°)，會(hui) 發生α0=1的全食，且恒星的亮度仍沿盤麵均勻分布。由此出發，在武仙座Z的主極小事件中被食的恒星記為(wei) A，使用目前已獲取的信息算出下列數值：
•ρA，恒星A的半徑與(yu) 兩(liang) 星距離之比
•ρB，恒星B的半徑與(yu) 兩(liang) 星距離之比

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