CIE 數學 FP1 invariant line知識點擴展

同學們(men) ，今天我們(men) 來看一下今年5月CIE 數學FP1 12卷第7題(d)問：

我們(men) 先按常規步驟寫(xie) 一下，從(cong) 設invariant lines的方程是y=mx開始：

因為(wei) 有兩(liang) 條不同的invariant lines，所以m要有兩(liang) 個(ge) 不同的實數值，上麵最後的一元二次方程的discriminant要大於(yu) 0：

這樣就做完了，好像很簡單的樣子呢。讓我們(men) 來康康答案驗證一下：

Emm......k>-1是沒錯，可是為(wei) 什麽(me) 後麵還有個(ge) k≠8呢？

我們(men) 先看看k=8的時候到底是什麽(me) 情況：

m=4沒毛病。再看m=-2：

這裏就有點疑惑了，這個(ge) 式子說明k=8的時候y=-2x上的點全都會(hui) 被矩陣變成(0,0)，倒是也滿足y=-2x，可是這已經不能叫“invariant line”（重點是line）了，因為(wei) 整條線都變成一個(ge) 點了，而不是像m=4的時候一樣變完了還是一條線：

所以，這個(ge) 時候實際上隻有一條invariant line y=4x。

k≠8的原因知道了，可是做題的時候怎麽(me) 能想到這一點呢？誰會(hui) 在求出k>-1之後還再去一個(ge) 一個(ge) 驗證所有大於(yu) -1的數是不是滿足題目要求呢？這裏要給同學們(men) 補充一下教材上沒講到的知識點：如果2×2矩陣A的行列式detA=0，那麽(me) A隻有一條invariant line。這是因為(wei) ，如果detA=0，那麽(me) A的兩(liang) 行成倍數關(guan) 係：

設這個(ge) 倍數是n，那麽(me) A可以寫(xie) 成：

對任意一個(ge) 點(x,y)，經過A變換之後

都會(hui) 變成一個(ge) 縱坐標是橫坐標n倍的點，所以A的invariant line隻有y=nx。

當k=8時，真題中的矩陣行列式正好就等於(yu) 0。所以同學們(men) 以後如果再遇到類似的題，隻要記得檢查一下矩陣的行列式是不是等於(yu) 0就可以了。