2019年國際奧數競賽IMO題完整考題-下載

第1題. 用Z表示全體(ti) 整數構成的集合. 求所有函數f : Z → Z, 滿足對任意整數a和b, 都有

f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)).

 

第2題. 在三角形ABC中, 點A1在邊BC上, 點B1在邊AC上. 點P 和Q分別在線段AA1和BB1上, 且滿足PQ平行於(yu) AB. 在直線PB1上取點P1, 使得點B1嚴(yan) 格位於(yu) 點P 與(yu) 點P1之間, 並且ZPP1C = ZBAC. 類似地, 在直線QA1上取點Q1, 使得點A1嚴(yan) 格位於(yu) 點Q與(yu) 點Q1之間, 並且ZCQ1Q = ZCBA.

證明: 點P, Q, P1, Q1共圓.

 

第3題. 一個(ge) 社交網絡上有2019個(ge) 用戶, 某些用戶之間是朋友關(guan) 係. 隻要用戶A是用戶B的朋友, 則用戶B也是用戶A的朋友. 如下形式的操作可反複進行, 每一時刻隻進行一個(ge) 操作:

三個(ge) 用戶A, B和C, 滿足A與(yu) B, C都是朋友, 但B和C不是朋友, 則同時改變他們(men) 之間的朋友關(guan) 係, 即B和C變為(wei) 朋友, 但A與(yu) B不再是朋友, A與(yu) C也不再是朋友. 所有其他的朋友關(guan) 係不改變.

已知最初時有1010個(ge) 用戶每人擁有1009個(ge) 朋友, 有1009個(ge) 用戶每人擁有1010個(ge) 朋友. 證明: 存在一個(ge) 操作序列, 使得操作結束後, 每個(ge) 用戶至多隻有一個(ge) 朋友.

 

第4題. 求所有正整數對(k, n), 滿足

 

第5題. 巴斯銀行發行的硬幣在一麵上鑄有H, 在另一麵上鑄有T . 哈利有n枚這樣的硬幣並將這些硬幣從(cong) 左至右排成一行. 他反複地進行如下操作: 如果恰有k (> 0)枚硬幣H麵朝上, 則他將從(cong) 左至右的第k枚硬幣翻轉; 如果所有硬幣都是T 麵朝上, 則停止操作. 例如: 當n = 3, 並且初始狀態是THT , 則操作過程為(wei) THT → HHT → HTT → TTT , 總共進行了三次操作 停止.

證明: 對每個(ge) 初始狀態, 哈利總在有限次操作 停止.

對每個(ge) 初始狀態C, 記L(C)為(wei) 哈利從(cong) 初始狀態C開始至停止操作時的操作次數, 例如L(THT ) = 3, L(TTT ) = 0. 求C取遍所有2n個(ge) 可能的初始狀態時得到的L(C)的平均值.

 

第6題. 在銳角三角形ABC中, I是內(nei) 心, AB /= AC. 三角形ABC的內(nei) 切圓ω與(yu) 邊BC, CA和AB分別相切於(yu) 點D, E和F . 過點D且垂直於(yu) EF 的直線與(yu) ω的另一點交點為(wei) R. 直線AR與(yu) ω的另一交點為(wei) P . 三角形PCE和三角形PBF 的外接圓交於(yu) 另一點Q.

證明: 直線DI和PQ的交點在過點A且垂直於(yu) AI的直線上.