2023年MCM數學建模美賽A題解題思路！（4）

2023年數學建模美賽A題

1、問題描述與(yu) 要求

背景

不同的植物群落對壓力的反應不同。例如，草原對幹旱非常敏感。幹旱發生的頻率和嚴(yan) 重程度不同。但大量的觀察表明，不同物種的數量對植物群落如何在連續多代幹旱周期中的適應能力起到了重要作用。

在一些僅(jin) 有單一物種的植物群落中，後代不像有4種或更多物種的群落中的個(ge) 體(ti) 植物那樣容易適應幹旱條件。這些觀察引出了許多問題：例如，對於(yu) 一個(ge) 植物群落，要從(cong) 這種局部生物多樣性中受益，最少需要多少種物種？隨著物種數量的增加，這種現象如何發展？這對植物群落的長期生存性意味著什麽(me) ？

要求

考慮到植物群落中幹旱適應性與(yu) 物種數量的關(guan) 係，您的任務是探索和更好地理解這一現象。具體(ti) 地，您應該：

●開發一個(ge) 數學模型，預測植物群落隨著不同的不規則天氣周期的變化。在降水充足的時期應包括降雨的時間。該模型應考慮幹旱周期中不同物種之間的相互作用。

●探討你能從(cong) 你的模型中得出什麽(me) 結論，關(guan) 於(yu) 植物群體(ti) 與(yu) 更大環境的長期相互作用。考慮以下問題：

①要使植物群落受益，需要的不同植物物種數量是多少，隨著物種數量的增加會(hui) 發生什麽(me) ？

②社區中的物種類型如何影響你的結果？

③未來天氣周期中幹旱發生的頻率和變化範圍的影響是什麽(me) ？如果幹旱較少，物種數量對總人口的影響是否相同？

④汙染和棲息地減少等其他因素如何影響你的結論？

⑤您的模型表明應該采取什麽(me) 措施以確保植物群落的長期生存力，對更大環境的影響是什麽(me) ？

2、問題分析

01、這是一道微分方程建模題目，建立模型是關(guan) 鍵，模型求解並不難，基於(yu) 模型的分析和討論可以發揮想象力。

02、需要先找到相關(guan) 研究論文，根據論文中提出物種與(yu) 環境的關(guan) 係的原理模型，建立微分方程的數學模型。論文中會(hui) 給出具體(ti) 的數學模型，可能是偏微分方程，能夠求解就直接用；如果不會(hui) 就簡化為(wei) 常微分方程也可以。

03、微分方程是描述係統的狀態隨時間和空間演化的數學工具。本題顯然是研究幾種物種的數量隨時間的變化規律。

04、特別注意：給定初始條件的一階常微分方程（組）的標準形式是：

微分方程是微分方程組，式中的 y 是數組向量，有幾個(ge) 物種就有幾個(ge) 變量，y i ( t )表示物種 i 的總量隨時間 t 的變化。

也就是說，可以先建立一種或兩(liang) 種物種的模型，分析變化趨勢，再依次增多物種數量，分析變化趨勢。

05、特別注意：構造外部條件及降雨量隨時間的變化函數。降雨量函數要滿足題目要求：

（1）不同的不規則天氣周期，既要有幹旱周期，又要有降水周期，還要有間隔周期；

（2）幹旱發生的頻率和變化範圍。

如何構造合理的降雨量函數，可以體(ti) 現能力和創新的。思路一是設計的降雨量函數包含不同的可能模式，思路二是降雨量函數包括地球上典型的幹旱模式，思路三是找到非洲地區的降雨量統計。

06、特別注意：汙染和棲息地減少等其他因素的影響，需要在模型中增加一個(ge) 係數，或者一項，反映汙染和棲息地減少的影響。直接在模型中增加一個(ge) 係數，比較簡單。進一步地，可以構思汙染與(yu) 種群總數相關(guan) ，是一個(ge) 隨種群總數變化的係數。

07、特別注意：采取什麽(me) 措施以確保植物群落的長期生存力，應該通過模型研究得到結論。

建議首先查找資料找到一種或多種靠譜的措施，然後將其量化為(wei) 一個(ge) 係數或一項加入模型（跟汙染係數的原理是一致的），通過模型研究措施的影響，證明采取的措施是有效的。簡單地，既然汙染會(hui) 破壞環境，那麽(me) 防止汙染就可以保護環境，可以抑製汙染係數的增大。又如，水土保持能否量化為(wei) 模型參數？食物鏈能否構造模型？

3、種間競爭(zheng) 關(guan) 係理論

常微分方程與(yu) 生態學有什麽(me) 關(guan) 聯？生態學理論一直以種群動態為(wei) 根基。它湧現出所謂生物多樣性、空間分布格局、種間互作，也是功能性狀、物候等話題在應用生態學中的歸宿。

1、 Malthus人口理論

1798年Malthus提出的人口理論被認為(wei) 是生態學第一定律。Malthus指出，一切生物在“不受外力”的影響下，都以恒定的速率 k 增長。用微分方程可表達為(wei) ：

該方程可直接用定積分（或不定積分）求解，結果為(wei) ：

這是一個(ge) 指數曲線， 稱為(wei) 「自然繁殖（normal reproduction） 。

由於(yu) 資源有限，當種群個(ge) 體(ti) 數過大時競爭(zheng) 激烈，故種群增長率會(hui) 有所下降。所以 k 不是一個(ge) 恒值，而是關(guan) 於(yu) x 的函數：

函數f(x)應當是在x>0範圍內(nei) 隨x增加而單調遞減的函數。根據麥克勞林展開式：

當x足夠小時，任何光滑函數可用線性函數作近似，因此:

求解微分方程，可得：

2、捕食者-獵物係統

Lotka（1910）和Volterra（1926）分別提出了捕食者–獵物係統的種群動態模型，稱為(wei) Lotka–Volterra模型。該模型假設：捕食者、獵物相遇的幾率與(yu) 雙方的種群個(ge) 體(ti) 數成正比；捕食者捕食獵物的頻次與(yu) 相遇頻次成正比；捕食者種群增長率與(yu) 捕食獵物的頻次成正比；捕食者以恒定的速率死亡。

這個(ge) 二元係統（捕食者+獵物）動態會(hui) 如何變化：

► 捕食者、獵物種群動態的相位曲線如何？

► 捕食者、獵物種群動態是達到穩定平衡，還是有限環，還是混沌？或者說，相位曲線會(hui) 呈螺旋形，造成係統崩潰或收斂到一個(ge) 穩定點？

► 受到外界擾動時，捕食者、獵物種群動態還能保持穩定嗎？

①為(wei) 什麽(me) 到達平衡的時間經常是無窮大？

②初值對Lotka–Volterra模型行為(wei) 的影響

③無擾動下Lotka–Volterra有限環大小不變

4、參考數據

5、參考資料

(1) 植被變化與(yu) 降水量、降水變率的關(guan) 係

(2) 長期降水量變化下荒漠草原植物生物量、多樣性及其影響因素研究

(3) 荒漠植物幼苗對模擬降水量變化的響應

(4) 中亞(ya) 地區1982年至2002年植被指數與(yu) 氣溫和降水的相關(guan) 性分析

(5) 內(nei) 蒙古典型草原生長季內(nei) 植物生長動態的數學模型與(yu) 計算機模擬研究

(6) 降水量的季節分配對羊草草原群落地上部生物量影響的數學模型

(7) 幹旱區荒漠植被生態需水量計算方法研究

(8) 幹旱半幹旱區植被生態需水量計算方法評述

(9) 基於(yu) 數學模型的幹旱區植被耗水量估算

(10) 烏(wu) 審旗植被覆蓋度動態變化及其與(yu) 降水量的關(guan) 係

(11) 歸一化植被指數與(yu) 降水量,土壤濕度的關(guan) 係

文章源於(yu) CSDN作者——youcans

查找資料和數據的網站

找數據：

眾(zhong) 所周知，國賽需要的數據都會(hui) 以Excel或其他的形式放入附件中，而美賽與(yu) 國賽不同的是，這幾年的比賽幾乎都不給數據，就算是給了參考數據的ICM，其網站也會(hui) 因為(wei) 某種原因導致打不開，這裏推薦一些數據的查詢地址：

美國統計局：

https://www.census.gov/

美國農(nong) 業(ye) 部數據：

https://www.usda.gov/topics/data

世界衛生組織數據：

https://www.who.int/data/gho

美國政府網站：

https://www.usa.gov/

美國勞工部勞動統計局：

https://www.bls.gov/

美國商務部：

https://www.commerce.gov/

美國國際貿易協會(hui) ：

https://www.usitc.gov/

美國交通統計局：

https://www.bts.gov/

美國國家統計局：

https://www.fedstats.gov/

缺數據：

部分情況下，真實數據不易找到，可以嚐試以下兩(liang) 個(ge) 解決(jue) 辦法：

第一，如果這道題並沒有限定國家，可以考慮以中國作為(wei) 研究對象，找自己國家的數據還是相對較為(wei) 簡單。

第二，利用數據挖掘的能力，需要一定的技術手段去收集數據，比如爬蟲技術，自己去爬一些可能用得到的內(nei) 容。或者可以去一些數據科學競賽平台上去找一些現成可用的數據集，如:

天池大數據數據集：

https://tianchi.aliyun.com/dataset/?spm=5176.12281905.0.0.358b5699IjonJQ

UCI機器學習(xi) 數據庫：

https://archive.ics.uci.edu/ml/index.php