2022年數模國賽A題思路分析

國賽已經越來越近了，為(wei) 了讓大家更高效的備考，小編今天給大家帶來了2022年國賽A題的思路分析，快來看看吧！

原題重現

評閱要點

A題圍繞波浪能轉換裝置輸出能量問題，通過波浪作用，使裝置中的浮子與(yu) 振子產(chan) 生相對運動，驅動阻尼器做功並將其作為(wei) 能量輸出。要求建立浮子與(yu) 振子的運動模型，並設計最優(you) 阻尼係數使得 PTO係統的平均輸出功率最大。

問題 1 考慮浮子在波浪中隻做垂蕩運動，建立在給定波浪激勵力下的浮子與(yu) 振子的振動方程組。振動方程組中應包含直線阻尼器的阻尼力、彈簧力、靜水恢複力(或浮力和重力)、附加慣性力和興(xing) 波阻尼力等。利用附件3和附件4的參數值，計算並給出線性和非線性阻尼係數下，在給定波浪激勵力下各時間點的浮子與(yu) 振子的垂蕩位移和速度。

問題 2 考慮浮子在波浪中隻做垂蕩運動，針對阻尼係數為(wei) 線性與(yu) 非線性兩(liang) 種情況，給出平均輸出功率的具體(ti) 表達式，進而建立使平均輸出功率最大的數學模型。利用附件3和附件4的參數值，給出最優(you) 阻尼係數及相應的最大平均輸出功率。平均功率應該在浮子與(yu) 振子進入平穩運動狀態下進行計算，或選擇比較長的時間段進行計算。在線性阻尼係數下，給出振動方程組的解析解、進行穩定性分析的論文應予以鼓勵。

問題 3 考慮浮子在波浪中隻做垂蕩和縱搖運動，建立在給定的波浪激勵力和波浪激勵力矩下的浮子與(yu) 振子的振動方程組。除了問題1中的各種作用力外，振動方程組中還應考慮旋轉阻尼力矩、扭轉彈簧力矩、附加慣性力矩、興(xing) 波阻尼力矩和靜水恢複力矩等。利用附件3和附件4的參數值，計算並給出直線阻尼器和旋轉阻尼器的阻尼係數均為(wei) 常量時，在給定波浪激勵力及力矩下各時間點的浮子與(yu) 振子的垂蕩位移與(yu) 速度、縱搖角位移與(yu) 角速度。

問題 4 考慮浮子在波浪中隻做垂蕩和縱搖運動，給出平均輸出功率的具體(ti) 表達式，進而建立使平均輸出功率最大的數學模型。利用附件3和附件4的參數值，給出直線阻尼器和旋轉阻尼器的最優(you) 阻尼係數及相應的最大平均輸出功率。平均功率應該在浮子與(yu) 振子進入平穩運動狀態下進行計算，或選擇比較長的時間段進行計算。

問題精簡

01 精簡問題1

僅(jin) 考慮垂蕩，在波浪激勵力為(wei) f cos ?t的作用下，要求計算兩(liang) 種情況下浮子和振子在前40個(ge) 波浪周期內(nei) ，時間的間隔為(wei) 0.2s的垂蕩位移和速度。

情況1為(wei) 直線阻尼器的阻尼係數恒為(wei) 10000Ns/m；

情況2為(wei) 阻尼係數與(yu) 浮子和振子的相對速度絕對值的0.5次冪成正比，且比例係數取10000。

02精簡問題2

在問題1的基礎上，給出阻尼係數範圍為(wei) [0,100000]，冪指數區間為(wei) [0,1]，要求阻尼恒定與(yu) 變化兩(liang) 種情況下，計算最大輸出功率及相應的最優(you) 阻尼係統。

03 精簡問題3

要求考慮垂蕩與(yu) 縱搖，在波浪激勵力fcos?t和波浪激勵力矩Lcos?t的作用下，要求計算直線阻尼器和旋轉阻尼器的阻尼係數分別恒定為(wei) 10000 N·s/m和 1000 N·m·s時，浮子與(yu) 振子在前 40 個(ge) 波浪周期內(nei) ，時間間隔為(wei) 0.2s 的垂蕩位移與(yu) 速度和縱搖角位移與(yu) 角速度。

04 精簡問題4

在問題3的基礎上，給出直線阻尼器和旋轉阻尼器的阻尼係數的取值範圍均為(wei) [0,100000] ，要求計算最大輸出功率及相應的最優(you) 阻尼係數。問題分析是很重要的部分，在這裏一定要像閱卷老師展現思考的過程，一定要寫(xie) 明想使用的模型和求解方法，同時可以配流程圖。

問題分析

01總體(ti) 分析

本文主要解決(jue) 的是一種波浪能裝置的能量轉化效率最優(you) 化問題。問題一和問題二要解決(jue) 的是在該裝置隻做垂蕩運動時浮子與(yu) 振子的運動狀況以及如何確定最優(you) 的阻層係數使得平均輸出功率最高。而問題三和問題四要解決(jue) 的是在該設備隻做垂蕩和縱搖運動時浮子與(yu) 振子的運動狀況以及通過調節阻尼係統實現平均輸出功率的最優(you) 化。

02具體(ti) 分析

問題一波浪能裝置垂蕩運動模型分析

建立浮子與(yu) 振子的垂蕩運動模型需要準確反映浮子和振子振動的物理過程。對此，基於(yu) 牛頓第二定律對裝置進行受力分析，建立浮子和振子垂蕩運動的二階非齊次線性微分方程，並采用四階龍格庫塔法進行數值求解。

問題二波浪能裝置最大輸出功率設計分析

波浪能裝置輸出功率優(you) 化設計，需要在垂蕩運動模型的基礎上，求出給定情景下裝置的最大輸出功率以及對應的最優(you) 阻尼係數．通過推導平均功率函數，得到最大輸出功率的設計方法，利用龍格庫塔法粗略尋優(you) 後，采用遺傳(chuan) 算法，分別求出兩(liang) 種給定情景下的最大平均輸出功率，以及對應的最優(you) 阻尼係數。

問題三裝置垂蕩與(yu) 縱搖運動模型分析

浮子在水中隻做垂直和縱搖運動，中軸和底座鉸接，並在轉軸處增加了旋轉阻尼器與(yu) 旋轉彈簧，其餘(yu) 條件與(yu) 問題1相同。假定浮子和振子的角位移很小，因此考慮垂蕩時，可以忽略縱搖影響。

在考慮縱搖時，由於(yu) 計算得到的浮子和振子相對垂蕩位移很小，可將二者之視為(wei) 一個(ge) 整體(ti) 計算轉動，此後再構建以轉軸為(wei) 原點的平動非慣性參考第，分析振子的轉動。分別列出兩(liang) 條動力學方程和2條轉動方程，利用MATLAB求解。

問題四利用數值積分法求解PTO

需要對阻尼係數在 [0,100000]內(nei) 直線阻尼器和旋轉阻尼器取值，得到浮子同時進行垂蕩和縱搖下最大輸出功率及相應的最優(you) 阻尼係數。類似於(yu) 問題二，利用數值積分法求解出係統PTO，再對直線阻尼器和旋轉阻尼器最優(you) 阻尼係數從(cong) 0-100000進行遍曆，計算出不同條件下PTO。通過多次細分目標區間，找出最優(you) 參數。

基本假設

1.假設海水是無粘且無旋的;

2.底座、中軸、隔層、PTO的質量與(yu) 所有的摩擦不計;

3.忽略附件未給出的有關(guan) 底座、中軸、中軸架、轉軸以及其他結構的大小、厚度、高度等;

4.海平麵足夠大且浮子的運動對海平麵高度不產(chan) 生影響;

5.浮子頂端不會(hui) 浸沒且圓錐部分不露出水麵;

6.在解決(jue) 問題二時，假設模型將在有限時間內(nei) 趨於(yu) 穩定，最終所有廣義(yi) 坐標的圓頻率與(yu) 激勵力圓頻率相等;

7.在解決(jue) 問題三時，相比於(yu) 浮子的垂蕩運動，振子與(yu) 浮子的垂蕩運動的相對位移可視為(wei) 小量;

8.在解決(jue) 問題三時，浮子與(yu) 振子的縱搖運動的角位移為(wei) 小量;以上為(wei) 2022年國賽A題的基本思路，供同學們(men) 參考，並根據自身情況建立模型並完成問題的求解。

此外，一篇合格的數模競賽作品還需要模型的檢驗與(yu) 評價(jia) ，很多同學總是隻給出模型的評價(jia) 未給出模型的檢驗，這裏給出針對該思路的模型檢驗方向。

模型檢驗

01方差檢驗

該題波浪能裝置的運動屬於(yu) 簡諧激勵下線性係統的受迫振動，此類物體(ti) 振動穩定後的振動周期應與(yu) 波浪激勵的周期接近，故據此進行方差檢驗，檢驗模型的正確性。

02穩定性分析

對於(yu) 不同大小的波浪激勵力矩，計算振子相對於(yu) 浮子的角位移。若波浪激勵力矩大小在一定範圍內(nei) 變動，振子相對於(yu) 浮子位移均滿足小量的假設。此外，還可以計算該模型對扭轉彈簧剛度的穩定性分析，計算輸出功率，檢查是否符合題目中的數據區域。

注意事項

①曆年國賽A題經常考察與(yu) 物理結合的數學建模問題，在審題的時候需要源於(yu) 機理分析，然後再拓寬至具體(ti) 數學模型的建立。

②國賽A題常考察微積分問題，建議同學們(men) 至少掌握線性微分方程和積分求解方法。CORPORATE CULTURE