2022年數學建模國賽B題解析

PART.01原題重現

PART.02評閱要點

本題涉及無人機集群協同編隊控製問題，討論無人機集群在保持編隊飛行時，如何通過部分無人機發射信號、其餘(yu) 無人機被動接收信號，利用提取的方向信息進行定位，進而調整無人機的位置。

問題1

(1)在本問中，位於(yu) 圓心的無人機和圓周上2架編號已知且位置無偏差的無人機發射信號，需建立其他接收信號、位置略有偏差的無人機的定位模型。鼓勵給出定位模型的解析解。

注 隻能利用接收的方向角度信息，不能利用未知的距離信息。最終應給出當前無人機的位置信息。

(2)本問中接收信號無人機的位置略有偏差，發射信號的無人機位置無偏差，但除2架(其中1架位於(yu) 中心)無人機外，其他發射信號的無人機編號未知。應明確給出還需要幾架無人機發射信號才能實現有效定位，及相應的定位方案。

注能明確給出編號未知的發射信號無人機最小架數為(wei) 1的結論為(wei) 佳。

(3)本問中發射信號和接收信號的無人機位置均略有偏差，調整策略為(wei) 每次選擇位於(yu) 中心及圓周上最多3架無人機來發射信號，通過多次調整，最終實現9架無人機均勻分布在某個(ge) 圓周上的目標。

注：

①發射信號的無人機位置也有偏差;

②題目中並沒有給出無人機彼此之間可以進行通信的條件。將不同無人機獲取的方向角度信息進行共享，不完全符合題意;

③假設發射信號的無人機可以同時接收信號，不完全符合題意;

④在利用題目中所給出的數據進行驗證時，隻能依據方向角度信息進行調整，不能直接利用坐標信息，坐標信息僅(jin) 用於(yu) 生成方向角度信息;

⑤給出隻需要圓周上2架無人機來遂行發射信號的有效調整方案更好;

⑥應明確給出調整的終止條件及調整結果的評價(jia) 標準;

⑦調整方案及數值驗證給出的調整結果不唯一，與(yu) 所采用的策略有關(guan) 。

問題2

本問可以考慮不同的編隊隊形，相應的調整方案亦不唯一。例如針對錐形隊形，可以借鑒問題1中對具有圓周均勻分布隊形的調整策略，采用形成六等分圓的方式進行逐步調整，也可采用分層的調整方案，大雁領隊方式或其他合理的策略。應給出不同的初值進行仿真實驗，並給出調整的終止條件及調整結果的評價(jia) 標準。

PART.03問題精簡

問題一

問題一的第一問，主要是對由 10 架無人機形成的圓形編隊進行研究。其中，9 架無人機（FY01~FY09）平均分布在圓周上，另外一架無人機（FY00）則位於(yu) 圓心。FY00 與(yu) 編隊中另外兩(liang) 架編號明確且位置精確的無人機發出信號，而其他位置稍有誤差的無人機則接收這些信號。需要建立一個(ge) 用於(yu) 接收信號的無人機的定位模型。

問題一的第二問，是在第一問的無人機定位模型基礎上，考慮這樣的情況：編號為(wei) FY00、FY01 以及若幹架位置精確的無人機發出信號，其他的無人機則接收這些信號。需要求解的是，除了 FY00 和 FY01 之外，最少需要多少架發出信號的無人機，才能實現無人機的有效定位。

問題一的第三問，是根據無人機的初始位置信息，設計出具體(ti) 的調整策略。每次可以選擇 FY00 以及最多 3 架圓周上的無人機發出信號，目標是讓 9 架無人機最終能夠均勻分布在某個(ge) 半徑為(wei) 100 m 的圓周上。

問題二

思考無人機錐形編隊形態，如題中所示，相鄰無人機之間的直線距離相等，研究純方位無源定位下無人機位置的調整策略。

PART.04問題分析問題一

第一問針對問題一的第一問，需要構建一個(ge) 定位模型，其中發射信號的無人機編號明確且位置精確。這個(ge) 問題主要針對一個(ge) 由 10 架無人機組成的圓形編隊，9 架無人機（FY01~FY09）均勻分布在圓周上，另一架無人機（FY00）位於(yu) 圓心。FY00 和編隊中另外兩(liang) 架編號明確且位置精確的無人機發出信號，其他位置略有誤差的無人機則接收這些信號。 為(wei) 了解決(jue) 這個(ge) 問題，首先需要將無人機略微偏差的飛行位置限製在合理範圍內(nei) 。這裏給出如下範圍限製：

由於(yu) 不同發射信號的無人機與(yu) 接收信號的無人機的相對位置存在差異，因此將其按照相對位置關(guan) 係劃分為(wei) 兩(liang) 類。相對位置劃分如下：鑒於(yu) 無人機 FY01~FY09 均勻分布在某一圓周上，可以根據無人機接收到的方向信息等列出方程，建立基於(yu) 方向信息的二維定位模型。最後，通過隨機模擬符合位置範圍限製的數據點進行模型驗證。

第二問

對於(yu) 問題一的第二問，我們(men) 需要構建一個(ge) 有效的定位模型，在這種模型中，發射信號的無人機編號信息是未知的。在第一問中，我們(men) 發現引入一架編號信息未知的無人機無法實現有效定位。因此，在第一問模型的基礎上，除了 FY00 和 FY01，我們(men) 還需要兩(liang) 架無人機發射信號，以建立一個(ge) 四點定位模型。如下圖所示：

利用餘(yu) 弦定理得到四點定位模型：

最後，為(wei) 了評估模型的精度，我們(men) 一方麵查閱文獻，引入定位精度的量化衡量指標——幾何精度因子（GDOP）；另一方麵，我們(men) 使用實際數據來測試這個(ge) 模型。

第三問

在問題一的前兩(liang) 問，我們(men) 都在假設發射信號的無人機位置是精確無誤的。然而，如果發射信號的無人機位置存在誤差，那麽(me) 這種定位模型就不能再適用了。對於(yu) 問題一的第三問，需要根據初始的極坐標數據，給出具體(ti) 的無人機調整策略。根據四點定位模型，我們(men) 需要兩(liang) 架位置編號已知的無人機和兩(liang) 架位置編號未知的無人機對其他無人機進行定位。

首先，選擇位置無偏差的無人機 FY00 和 FY01 發射信號，並再引入兩(liang) 架無人機發射信號，根據偏差角度的最小值來選擇這兩(liang) 架無人機。

然後，為(wei) 了給出無人機的調整策略，可以構建一個(ge) 單目標優(you) 化模型，並采用分輪迭代的調整策略。以無人機的位置作為(wei) 決(jue) 策變量，以各個(ge) 無人機與(yu) 其正確位置的偏差程度的平方和最小化為(wei) 目標函數，並以無人機偏差程度的逐輪降低、位置更新條件的閾值、調整花費成本最小等作為(wei) 約束條件。在每一輪調整中，選擇四架發射信號的無人機，對其他六架接收信號的無人機進行位置調整。經過迭代調整後，使各個(ge) 無人機大致均勻分布在半徑為(wei) 100m 的圓周上。

問題二

在問題二中，針對錐形編隊隊形，利用純方位無源定位法設計一種位置調整方案。按照問題一的建模思路，首先考慮發射信號無人機編號已知且位置準確的情況，然後考慮發射信號的無人機編號未知且位置準確的情況。對於(yu) 這兩(liang) 種情況，可以通過數學推導輕鬆地獲得定位調整方案。

然而，當發射信號無人機位置存在偏差時，情況變得複雜，需要采用迭代計算的方法進行調整。 類似於(yu) 問題一的第三問，首先根據選取規則（即假設初始兩(liang) 架無人機的位置不存在偏差，且連線上不存在其他無人機）指定位置無偏差的無人機 FY03 和 FY09 發射信號，然後隨機給出錐形無人機編隊初始極坐標數據。

在此基礎上，需要再引入兩(liang) 架無人機發射信號，根據偏差角度絕對值最小的原則來選擇這兩(liang) 架無人機。偏差角度和偏差距離示意圖如下：

接下來，為(wei) 了給出無人機的調整方案，構建一個(ge) 單目標優(you) 化模型，並采用分輪迭代的調整策略。以無人機的位置作為(wei) 決(jue) 策變量，以各個(ge) 無人機與(yu) 其正確位置的偏差程度的平方和最小化為(wei) 目標函數，並以無人機偏差程度的逐輪降低、位置更新條件的閾值、調整花費成本最小等作為(wei) 約束條件。在每一輪調整中，選擇四架發射信號的無人機，對其餘(yu) 接收信號的無人機同時進行位置調整。經過迭代調整後，使各個(ge) 無人機大致分布在其準確位置上。

PART.05模型假設

01假設:被動接收的信號無人機同時接收不同發射信號，即不考慮存在的時間差。 原因：僅(jin) 考慮利用接收的方位角進行無人機定位，忽略時差、距離等因素幹擾。

02假設:接收信號無人機位置不會(hui) 出現較大偏差，飛行偏差在合理範圍內(nei) 。 原因：本文僅(jin) 飛行位置略有偏差的無人機進行定位和調整，忽略飛行位置偏差過大（超過偏差閾值）的無人機。

03假設:在選取發射信號的無人機時優(you) 先考慮位置精確的無人機。 原因：定位模型中的定位誤差在一定程度上受到發射點位置誤差的影響。

PART.06優(you) 秀論文摘要欣賞