TOPSIS算法優劣解距離法的應用

TOPSIS算法是一種常用的綜合評價(jia) 方法，其能充分利用原始數據的信息，其結果能精確地反映各評價(jia) 方案之間的差距

Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution可翻譯為(wei) 逼近理想解排序法，國內(nei) 常簡稱為(wei) 優(you) 劣解距離法。

一、算法理論部分

對於(yu) TOPSIS算法的理論介紹，小編將以曾經在大二時學習(xi) 的筆記作為(wei) 分享演示，當時學習(xi) 的是清風數學建模，也算是作為(wei) 一個(ge) 懷念吧~

言歸正傳(chuan) ，基本過程為(wei) 先將原始數據矩陣統一指標類型（一般正向化處理）得到正向化的矩陣，再對正向化的矩陣進行標準化處理以消除各指標量綱的影響，並找到有限方案中的最優(you) 方案和最劣方案，然後分別計算各評價(jia) 對象與(yu) 最優(you) 方案和最劣方案間的距離，獲得各評價(jia) 對象與(yu) 最優(you) 方案的相對接近程度，以此作為(wei) 評價(jia) 優(you) 劣的依據。該方法對數據分布及樣本含量沒有嚴(yan) 格限製，數據計算簡單易行。下麵我們(men) 開始對TOPSIS的算法理論娓娓道來。

第一步：將原始矩陣正向化有常見的四種指標！

所謂的將原始矩陣正向化，就是要將所有的指標類型統一轉化為(wei) 極大型指標。（轉換的函數形式可以不唯一哦~ ）

其中的四種指標如下圖所示：

圖1 正向化時的四種指標

（1）對於(yu) ：極小型指標——>極大型指標

（2）對於(yu) ：中間型指標——>極大型指標

中間型指標：指標值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水質量評估 PH 值）。例子：

（3）對於(yu) ：區間型指標——>極大型指標

區間型指標：指標值落在某個(ge) 區間內(nei) 最好，例如人的體(ti) 溫在36°～37°這個(ge) 區間比較好。例子：

第二步：正向化矩陣標準化

（標準化的目的是消除不同指標量綱的影響）

注意：標準化的方法有很多種，主要目的就是去除量綱的影響，未來我們(men) 還可能見到更多種的標準化方法，例如：(x‐x的均值)/x的標準差；具體(ti) 選用哪一種標準化的方法在多數情況下並沒有很大的限製，這裏我們(men) 采用的是比較多的一種標準化方法。

第三步：計算得分並歸一化

  二、TOPSIS算法模型的應用

案例：評價(jia) 下表中20條河流的水質情況

（數據是隨手編的，僅(jin) 用於(yu) 講解相應的算法，可能有不合理之處，請見諒）

表1 20條河流的水質情況匯總

河流	含氧量（ppm)	PH值	細菌總數(個/mL)	植物性營養物量（ppm)
A	4.69	6.59	51	11.94
B	2.03	7.86	19	6.46
C	9.11	6.31	46	8.91
D	8.61	7.05	46	26.43
E	7.13	6.5	50	23.57
F	2.39	6.77	38	24.62
G	7.69	6.79	38	6.01
H	9.3	6.81	27	31.57
I	5.45	7.62	5	18.46
J	6.19	7.27	17	7.51
K	7.93	7.53	9	6.52
L	4.4	7.28	17	25.3
M	7.46	8.24	23	14.42
N	2.01	5.55	47	26.31
O	2.04	6.4	23	17.91
P	7.73	6.14	52	15.72
Q	6.35	7.58	25	29.46
R	8.29	8.41	39	12.02
S	3.54	7.27	54	3.16
T	7.44	6.26	8	28.41

對於(yu) 上表的數據，我們(men) 可以確定出有20個(ge) 評價(jia) 對象（A--T），有4列評價(jia) 指標，分別是：含氧量、PH值、細菌總數、植物性營養(yang) 物量。

我們(men) 規定：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；細菌總數越少越好；植物性營養(yang) 物量介於(yu) 10‐20之間最佳，超過20或低於(yu) 10均不好。

所以可以知道含氧量為(wei) 極大型指標（不需要正向化處理），PH值為(wei) 中間型指標（需要正向化處理），細菌總數為(wei) 極小型指標（需要正向化處理），植物性營養(yang) 物量為(wei) 區間型指標（需要正向化處理）。

利用MATLAB進行算法編程與(yu) 建模求解，並給出算法代碼的詳細注釋與(yu) MATLAB求解的過程展示。

算法代碼的詳細注釋

第一步：首先讀取數據

第一步：把數據複製到工作區，並將這個(ge) 矩陣命名為(wei) X % （1）在工作區右鍵，點擊新建（Ctrl+N)，輸入變量名稱為(wei) X % （2）在Excel中複製數據，再回到Excel中右鍵，點擊粘貼Excel數據（Ctrl+Shift+V） % （3）關(guan) 掉這個(ge) 窗口，點擊X變量，右鍵另存為(wei) ，保存為(wei) mat文件（下次就不用複製粘貼了，隻需使用load命令即可加載數據） % （4）注意，代碼和數據要放在同一個(ge) 目錄下哦，且Matlab的當前文件夾也要是這個(ge) 目錄。 clear;clc load data_water_quality.mat %data_water_quality.mat為(wei) 案例數據

第二步：判斷是否需要正向化

第二步：判斷是否需要正向化 [n,m] = size(X); disp(['共有' num2str(n) '個(ge) 評價(jia) 對象, ' num2str(m) '個(ge) 評價(jia) 指標']) Judge = input(['這' num2str(m) '個(ge) 指標是否需要經過正向化處理，需要請輸入1 ，不需要輸入0：']); if Judge == 1 Position = input('請輸入需要正向化處理的指標所在的列，例如第2、3、6三列需要處理，那麽(me) 你需要輸入[2,3,6]：'); %[2,3,4] disp('請輸入需要處理的這些列的指標類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區間型） ') Type = input('例如：第2列是極小型，第3列是區間型，第6列是中間型，就輸入[1,3,2]：'); %[2,1,3] % 注意，Position和Type是兩(liang) 個(ge) 同維度的行向量 for i = 1 : size(Position,2) %這裏需要對這些列分別處理，因此我們(men) 需要知道一共要處理的次數，即循環的次數 X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i)); % Positivization是我們(men) 自己定義(yi) 的函數，其作用是進行正向化，其一共接收三個(ge) 參數 % 第一個(ge) 參數是要正向化處理的那一列向量 X(:,Position(i)) , X(:,n)表示取第n列的全部元素 % 第二個(ge) 參數是對應的這一列的指標類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區間型） % 第三個(ge) 參數是告訴函數我們(men) 正在處理的是原始矩陣中的哪一列 % 該函數有一個(ge) 返回值，它返回正向化之後的指標，我們(men) 可以將其直接賦值給我們(men) 原始要處理的那一列向量 end disp('正向化後的矩陣 X = ') disp(X) end

第三步：對正向化後的矩陣進行標準化

第三步：對正向化後的矩陣進行標準化 Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1); disp('標準化矩陣 Z = ') disp(Z)

第四步：計算與(yu) 最大值的距離和最小值的距離，並算出得分

第四步：計算與(yu) 最大值的距離和最小值的距離，並算出得分 D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D+ 與(yu) 最大值的距離向量 D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D- 與(yu) 最小值的距離向量 S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未歸一化的得分 disp('最後的得分為(wei) ：') stand_S = S / sum(S) [sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

使用MATLAB編寫(xie) 的TOPSIS算法中定義(yi) 的函數如下

Positivization函數定義(yi) 的代碼:

注意:自定義(yi) 的函數要單獨放在一個(ge) m文件中，不可以直接放在主函數裏麵（和其他大多數語言不同） function [posit_x] = Positivization(x,type,i) % 輸入變量有三個(ge) ： % x：需要正向化處理的指標對應的原始列向量 % type： 指標的類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區間型） % i: 正在處理的是原始矩陣中的哪一列 % 輸出變量posit_x表示：正向化後的列向量 if type == 1 %極小型 disp(['第' num2str(i) '列是極小型，正在正向化'] ) posit_x = Min2Max(x); %調用Min2Max函數來正向化 disp(['第' num2str(i) '列極小型正向化處理完成'] ) disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~') elseif type == 2 %中間型 disp(['第' num2str(i) '列是中間型'] ) best = input('請輸入最佳的那一個(ge) 值： '); posit_x = Mid2Max(x,best); disp(['第' num2str(i) '列中間型正向化處理完成'] ) disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~') elseif type == 3 %區間型 disp(['第' num2str(i) '列是區間型'] ) a = input('請輸入區間的下界： '); b = input('請輸入區間的上界： '); posit_x = Inter2Max(x,a,b); disp(['第' num2str(i) '列區間型正向化處理完成'] ) disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~') else disp('沒有這種類型的指標，請檢查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值') end end

Mid2Max函數定義(yi) 的代碼:

注意:自定義(yi) 的函數要單獨放在一個(ge) m文件中，不可以直接放在主函數裏麵（和其他大多數語言不同） function [posit_x] = Mid2Max(x,best) M = max(abs(x-best)); posit_x = 1 - abs(x-best) / M; end

Min2Max函數定義(yi) 的代碼:

注意:自定義(yi) 的函數要單獨放在一個(ge) m文件中，不可以直接放在主函數裏麵（和其他大多數語言不同） function [posit_x] = Min2Max(x) posit_x = max(x) - x; %posit_x = 1 ./ x;   %如果x全部都大於(yu) 0，也可以這樣正向化 end

Inter2Max函數定義(yi) 的代碼:

注意:自定義(yi) 的函數要單獨放在一個(ge) m文件中，不可以直接放在主函數裏麵（和其他大多數語言不同） function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b) r_x = size(x,1); % row of x M = max([a-min(x),max(x)-b]); posit_x = zeros(r_x,1); %zeros函數用法: zeros(3) zeros(3,1) ones(3) % 初始化posit_x全為(wei) 0 初始化的目的是節省處理時間 for i = 1: r_x if x(i) < a posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M; elseif x(i) > b posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M; else posit_x(i) = 1; end end end

MATLAB求解的過程展示

將MATLAB所求得的結果整理至Excel表格中：

  MATLAB的運算結果（河流排名）匯總

排名從(cong) 高往低排序，可以看出得分最高的為(wei) K河流，得分最低的為(wei) N河流

表2 河流的水質得分排名情況

河流	含氧量（ppm)	PH值	細菌總數(個/mL)	植物性營養物量（ppm)	得分
K	7.93	7.53	9	6.52	0.070
J	6.19	7.27	17	7.51	0.068
I	5.45	7.62	5	18.46	0.068
L	4.4	7.28	17	25.3	0.059
T	7.44	6.26	8	28.41	0.056
G	7.69	6.79	38	6.01	0.054
O	2.04	6.4	23	17.91	0.053
M	7.46	8.24	23	14.42	0.053
H	9.3	6.81	27	31.57	0.051
D	8.61	7.05	46	26.43	0.049
C	9.11	6.31	46	8.91	0.048
B	2.03	7.86	19	6.46	0.048
Q	6.35	7.58	25	29.46	0.047
A	4.69	6.59	51	11.94	0.045
F	2.39	6.77	38	24.62	0.045
R	8.29	8.41	39	12.02	0.044
P	7.73	6.14	52	15.72	0.043
E	7.13	6.5	50	23.57	0.043
S	3.54	7.27	54	3.16	0.036
N	2.01	5.55	47	26.31	0.019

不同河流的得分可視化：

圖2 河流的得分可視化

 好啦！TOPSIS算法的案例演示就到此結束啦，感謝您的觀看。

參考文獻：

[1]菅毅,周金星,萬(wan) 龍,陳容,張梅,劉發萬(wan) ,丁玉雄.基於(yu) TOPSIS方法的喀斯特斷陷盆地區番茄地下灌溉技術節水效益綜合評價(jia) [J/OL].節水灌溉:1-13[2022-02-07].https://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1420.TV.20220105.1358.002.htm.

[2]於(yu) 小芹,馬雲(yun) 瑞,餘(yu) 靜.基於(yu) 熵權TOPSIS模型的山東(dong) 省海岸帶生態修複政策效果評價(jia) 研究[J].海洋環境科學,2022,41(01):74-79.DOI:10.13634/j.cnki.mes.2022.01.020.

[3]陽斌成,張家其,羅偉(wei) 聰,喻興(xing) 潔,張興(xing) 苗.基於(yu) TOPSIS及耦合協調度的湖南省2009-2018年水資源承載力綜合評價(jia) [J].水土保持通報,2021,41(05):357-364.DOI:10.13961/j.cnki.stbctb.2021.05.045.

[4]崔世華,於(yu) 婧,陳豔紅,韓晨曉.基於(yu) 熵權TOPSIS的湖北省城市人居環境質量時空分異研究[J/OL].華中師範大學學報(自然科學版):1-11[2022-02-07].https://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1178.n.20210830.1754.002.html.

[5]沈國輝,陳光,趙宇,李曉光,耿愛國,袁浩,劉方.基於(yu) 雙目標分層優(you) 化和TOPSIS排序的電動汽車有序充電策略[J].電力係統保護與(yu) 控製,2021,49(11):115-123.DOI:10.19783/j.cnki.pspc.200955.