AP微積分有哪些考試套路？（內附複習筆記）

本期分享AP微積分BC幹貨筆記：

在AP微積分BC的學習(xi) 中，最後一章壓軸出場了一段複雜繁瑣的Series判別法則，很多同學做題目時不知道該使用哪種方法，想到了A，結果用成了B，還有同學甚至根本不記得ABC有什麽(me) ，這些方法被用在判別級數斂散性上（Test Methods for Convergence and Divergence），一個(ge) 級數的斂散性用正確的方法識別，就好比千裏馬要遇到屬於(yu) 它的伯樂(le) ，懷才不遇的時候最渴望被人賞識認可了吧～

本期幹貨筆記的主人公：

Test Methods for Convergence and Divergence

本文目錄

1.方法分類

2.例題解析

方法分類

1️⃣方法一：The nth Term Test(尾項判別法)

第一種方法也是用起來最簡單的方法，我們(men) 假定存在級數a_n

如果 ，那麽(me) diverges(發散)。但是如果，那麽(me) 是不是就converge（收斂）了呢，此處強調，並不是！此處極限值如果為(wei) 0，就證明第一種nth Term Test無效，你需要嚐試別的方法。

2️⃣方法二：Integral Test (積分判別法)

當正項級數a_n存在時（a_n＞0），設f(n)= a_n , 當正函數f(x)為(wei) 連續遞減函數時（f(x)is positive, continuous and decreasing）,簡稱當函數f(x)PCD時，廣義(yi) 積分存在確定數值，正項級數a_nconverges（收斂）。

3️⃣方法三：Harmonic Series and p-Series（調和級數和P級數）

p級數指的是像此類格式的級數：

當P＞1,此級數converge（收斂）。

當P≤1，此級數diverge（發散）。

當P= 1，此級數為(wei) Harmonic Series（調和級數），由上可知，Harmonic Series（調和級數）發散

✨記憶Shortcut

把P值想象在一根數軸上，以1為(wei) 臨(lin) 界點，如下圖所示，記憶順序為(wei) DHC（Divergent,Harmonic, Convergent）

4️⃣方法四：Comparison Test(比較判別法)

設兩(liang) 個(ge) 正項級數，(均大於(yu) 0)

1. If _n converges, a_nn, then _n converges.

2. If _n diverges, a_nn, then _n diverges.

對於(yu) P Series特別有用，經常會(hui) 用到：

✨記憶Shortcut

我們(men) 把Convergent（收斂）比作人性格中的“低調”，Divergent（發散）比作“高調”。

由1中可以看到，人物U低調，人物A比U還要低調，那麽(me) 人物A必然低調。

由2中可以看到，人物U高調，人物A比U還要高調，那麽(me) 人物A必然高調。

5️⃣方法五：Alternating Series Test (交錯級數判別法)

什麽(me) 是交錯級數，顧名思義(yi) 就是前項後項改變符號，不斷交替。

若一個(ge) Alternating Series（交錯級數，簡稱AS）收斂，需滿足如下兩(liang) 個(ge) 條件：

1. a_n+1＜a_n, for all n

2. _n = 0

這兩(liang) 個(ge) 條件的準則也被稱為(wei) Leibniz’s Test（萊布尼茨判別法）。

6️⃣方法六：Ratio Test(比值判別法)

設正項級數，使得= L, 若L< 1, 則級數converges(收斂)，若L > 1, 則級數diverges（發散）。

7️⃣方法七：Geometric Series (幾何級數)

設存在幾何級數

設存在幾何級數

?注：方法六七Convergeor Diverge數值相似，注意與(yu) 方法三區分。

8️⃣方法八：The limit Comparison Test （極限比較判別法）

此方法與(yu) The Comparison Test類似,也稱比較判別法的極限形式。

設兩(liang) 個(ge) 正項級數，(均大於(yu) 0)

1. If = L, 0 < L < , then both converge or diverge.

2. If = 0, and _n converges, then

3. If = , and then diverges.

當使用普通的Comparison Test時，發現找對比級數時有點困難，可以嚐試使用The limit Comparison Test。

是不是覺得方法太多還是不太容易記住，那就看這個(ge) 思維導圖吧。

?BonusPart: Absolute Convergence and Conditional Convergence (絕對收斂和條件收斂)

Convergence(收斂)分為(wei) 絕對和條件，好像有一點點麻煩呢，其實概念定理非常容易理解，對於(yu) 任意項級數，如果其絕對值級數converge（收斂），那麽(me) 此級數必然converge（收斂），稱為(wei) Absolute Convergence(絕對收斂)。

但如果其絕對值級數diverge（發散），但是原級數收斂，則原級數稱為(wei) Conditional Convergence (條件收斂)。

綜上所述，上述文字我們(men) 也可以用數學語言來表達：

For ,if converges, so is Absolute Convergence.

For,if diverges, but sois Conditional Convergence.

例題解析

Problem1

Use the nth Term Test

?Solution: 根據nth Term Test定義(yi) ，當此級數的n值趨於(yu) 正無窮且極限值不為(wei) 零時，級數發散。所以我們(men) 需要求此級數當n趨於(yu) 正無窮時的極限值。

From the definition, =,so this series is divergent by the nth Term Test.

Problem2

Use the Comparison Test

?SolutionA: 這種類型的題目可能乍一看看不出來，那就需要逐步破解，一般分母處次數較高時，我們(men) 優(you) 先考慮使用Comparison Test。

如題，分母處最高次數為(wei) 4，所以我們(men) 對比級數可以設為(wei) ,至此，觀察上方分子處，還有一次的n，所以整個(ge) 分數的次數可假設為(wei) 3，可以假設級數與(yu) 題目級數進行比對。

?注:Harmonic Series and P-series可以用數軸記憶法，p>1時，級數converge。

由上方的記憶shortcut知道，比“低調”的級數更低調的級數，必然也“低調”，所以本題。

?SolutionB: 使用普通的Comparison Test可能不易比較，此時我們(men) 可以嚐試使用The limit comparison Test （此方法通常適用於(yu) 當Comparison Test難以找到比對series時）

觀察級數分子分母，分子最高次為(wei) 1，分母最高次為(wei) 4，整項次數便可為(wei) 3，所以原series可以同進行比較。

根據limit comparison test定理，limit值大於(yu) 0時，兩(liang) 個(ge) 級數擁有同樣的斂散性，並且已知p-series converge（收斂）（p>1）。

Since the limit value is 2, so both series diverge or converge.

Problem3

Use the Ratio Test

一般對於(yu) 有factorial（階乘）的題目，通常使用Ratio Test

所以.

Therefore,

Problem4

Use the Integral Test

確保series可以使用integral test，要確定這個(ge) series是PCD(Positive, Continuous, Decreasing)

?Solution:

By using the L’Hospital’s Rule, the integral has an exact value, so the series is convergent.

(在求反導的過程中使用integration by parts)

Problem5

Use the Alternating Series Test

?Solution：當AP考試中出現(-1)ⁿ類似形式的Series時，我們(men) 優(you) 先考慮使用AST(Alternating Series Test), 其次使用Ratio Test。

若使用AST證明Series Converges（級數收斂），需滿足以下兩(liang) 個(ge) 條件：

1. a_n+1＜a_n, for all n

2. _n = 0

Since=0,原來的級數converge得證。

Problem6

If it is convergent, determine it is absolute convergent or conditional divergent.

?Solution：這個(ge) 級數融合了Alternating Series（交錯級數）和sin函數，看起來較複雜，為(wei) 了判斷此級數為(wei) Absolute Convergence or Conditional Convergence,首先確定其絕對值的斂散性，故級數

的絕對值為(wei) 2ⁿsin,觀察絕對值之後的series存在sin函數，由此我們(men) 聯想到sin函數圖像最大值為(wei) 1，所以可以得到2ⁿsin=

由Geometric Series（幾何級數）定理可知，當r<1時，級數

converge（收斂）

至此，由comparison test可知，當一個(ge) series比此series更“低調”時，那個(ge) series必然“低調”，所以。

因為(wei) 此級數是

的絕對值，根據定理可知，當級數的絕對值converge(收斂)時，原級數是Absolute Convergence.

Bonus Question

If it is convergent,determine it is absolute convergence or conditional convergence.

?Solution：是不是有那麽(me) 一點點傻眼（學神忽略），不要緊的，跟著解題步驟一步一步往後推，對於(yu) 判斷Absolute Convergence（絕對收斂），還是Conditional Convergence （條件收斂）的題目，首先取題目中series的絕對值。

那麽(me) 級數是converge還是diverge呢，我們(men) 可以使用comparison test，注意到是Harmonic  series,which is divergent.

由記憶shortcut可知，比“高調”的更高調的，必然“高調”。所以級數（發散）。

至此，我們(men) 需要判定Alternating Series 是convergent還是divergent，便想到使用AST（Alternating Series Test），記得條件：

1. a_n+1＜a_n, for all n

2. _n = 0

看到這裏問題又來了，級數是分數，如何比較“a_n+1＜a_n”的大小呢，此處需要動一動聰明的小腦袋，a_n+1＜a_n不可，何嚐不試試證明,所以[(n+1)- (]- (n - )= 1 - > 0 (ln函數最大值小於(yu) 1)，所以證得,所以a_n+1＜a_n，且，所以根據AST，級數，又因為(wei) 此級數的絕對值Diverge（發散），所以是Conditional Convergenct（條件收斂）。

最後的總結

本期的AP Calculus BC幹貨筆記總結了最後一章節中最難纏的斂散性判別法，我們(men) 對考點中的每種方法進行了總結陳述並配上shortcut，在例題部分深入分析，同學們(men) 隻要牢記習(xi) 思維導圖和部分方法的記憶Shortcut，在AP微積分BC考試中，碰到Series斂散判別的題目一定可以手到擒來。

在複習(xi) Unit10 Test Methods for Convergence and Divergence時，注意分清每種方法不要混淆，AP5分不是夢～