AP微積分BC5分備考衝刺指南

要考BC的朋友們(men) 大家好!上次大佛已經幫大家掃清了微積分AB的知識點，接下來我們(men) 的任務是快速回顧BC only的知識點，時間不多，趕緊往下看！

根據考綱 AP Calculus AB and BC course and exam description, BC only部分的知識點如下：

◆ 不定積分：分部積分、因式分解

◆ 反常積分

◆ 歐拉方法近似函數的數值

◆ 邏輯斯蒂微分方程

◆ 曲線弧長

◆ 參數方程組、極坐標、向量函數

◆ 級數

不定積分

1.分部積分

分部積分的公式如下：

常考的分部積分題目如下：

給大家列一道例題：

如果求解定積分的時候發現需要使用分部積分才能求出不定積分，則先不定積分然後再將上下限代進去求出定積分。
試看下方例題：

這裏需要提醒大家，使用分部積分法交換積分位置之後，這道例題得到的是g’(x)對f(x)積分，這種情況下我們(men) 需要將d(f(x))展開，其實就是將f(x)對x求導，即d(f(x))/dx=f’(x)，d(f(x))=f’(x)dx。

2.因式分解

需要大家使用因式分解的方法求解不定積分的選擇題選項都很明顯，基本上都是ln|f(x)|：

看到選項如此整齊劃一的都有lnx和絕對值，那因式分解法求不定積分跑不了！

這裏的因式分解是將一個(ge) 分式拆開為(wei) 兩(liang) 個(ge) 分式，就是將題目中有兩(liang) 個(ge) 因式的分母拆開為(wei) 兩(liang) 個(ge) 分式，分母分別為(wei) 原分式的其中一個(ge) 分式，然後用待定係數法求出拆開後分式的分子。

待定係數法示範如下：

以及再次提醒各位對數函數的運算法則：

所以大家再看下最開始的例題，是不是感覺選項都給收起來了？最後一步就是用了對數函數的減法法則~

反常積分

反常積分有兩(liang) 種特征：

(1)第一種非常明顯，即積分的上限或者下限出現無窮；

注意上方是如何改寫(xie) 積分限出現無窮的瑕積分：單獨用一個(ge) 字母（就別再用x了，x已經用來表示被積函數的自變量）替換出現在上限或者下限的積分，然後寫(xie) 一個(ge) 極限的式子。

試看下麵的一道例題：

首先需要大家觀察這個(ge) 積分，上限出現了正無窮，判斷此積分為(wei) improper integral；然後將其改寫(xie) 為(wei) 帶極限的積分；之後則先計算不定積分，最後一步是將上下限代進去計算極限的數值。

(2)第二種則不是那麽(me) 明顯，即被積函數無定義(yi) 的點在積分的上下限所在的這個(ge) 區間或者就出現在上下限。

第二種improper integral改寫(xie) 為(wei) 極限的方式和第一種一樣，都是將函數斷開的點改寫(xie) 為(wei) 單邊極限的形式。

試看下方例題：

歐拉方法近似函數的數值

 

歐拉法則近似函數的數值簡單而言就是多次線性近似，即運用這個(ge) 方法需要使用兩(liang) 次甚至多次線性近似的公式。

試看下方例題：

這裏需要提醒兩(liang) 點：

第一點，題幹中的two steps of equal size是指將從(cong) 起始值(starting at x=1)和近似值(the approximation for f(1.4))的間隔分為(wei) 兩(liang) 步等長的步長，即先從(cong) f(1)開始求得f(1.2)的近似值，然後再從(cong) f(1.2)求得f(1.4)的近似值。

第二點，f’(1)的數值從(cong) dy/dx的式子出發，題幹已經給了條件f(1)=-2，即當x=1時y=-2，因此可以將其代入dy/dx的式子得到f’(1)；而f’(1.2)的數值則取決(jue) 於(yu) f(1.2)的近似值是否計算正確，如果該近似值計算出錯，最終的答案一定出錯。f’(1.2)的數值同f’(1)，將x=1.2，y=-1.6代入到dy/dx的式子即可求得。

邏輯斯蒂微分方程

邏輯斯蒂微分方程的式子形式、各個(ge) 字母所表示的意義(yi) 需要大家非常熟悉：

Carrying capacity A 中需要大家注意一個(ge) 短語 in the long run，即長期下去人口數量會(hui) 達到承載量，這種文字描述可以用下方的極限式子表示：

還有一些結論需要大家知道：

此外，邏輯斯蒂微分方程P與(yu) t關(guan) 係的圖像也需要大家熟悉，重點關(guan) 注函數P(t)的凹凸性（先concave up再concave down）和增減性（increasing）。

試看下方例題加深對上述知識點的理解：

曲線弧長

曲線弧長公式大家在最後的時間記住並知曉如何套用公式即可：

選擇題考察該知識點一般隻需要大家選擇出正確的積分表達式：

如果是求給定範圍的參數方程組的曲線弧長，下方所列公式和二維運動學中求某一時間段內(nei) 的total distance公式一樣：

參數方程組、極坐標、向量函數

1.參數方程組的一階導和二階導

重點關(guan) 注參數方程組求二階導，簡記為(wei) y’導除以x導：

 

2.二維運動學

有個(ge) 小問題需要大家注意，如何區分一維運動學和二維運動學？

A particle moves along the x-axis or straight path 即是一維運動學，因為(wei) 物質在直線上運動；

A particle moves along the xy-plane 既是二維運動學，因為(wei) 物質在平麵內(nei) 運動。

為(wei) 何要特別予以區分？因為(wei) 有的同學沒能在一開始意識到物質是在直線還是在平麵內(nei) 運動，接下來的speed和distance套錯公式。

此外，二維運動學還需要大家特別注意的是， position, velocity, acceleration都是以vector的形式給出來的，因此如果簡答題中給的是velocity vector，要求在某一時刻的position（題目不會(hui) 寫(xie) position vector，一般會(hui) 寫(xie) find the position of the particle at time t=1這種），切記最後要以向量的形式（一般用圓括號，比如(2,3）這種)呈現答案。

二維運動學中position vector，velocity vector，acceleration vector這三者之間的關(guan) 係同一維運動學，順著都是分別求導，而逆著則是分別積分。

上述這道題是給position vector求velocity，則對position vector的x-component和y-component分別求導就行。

最後，還需要大家注意的是，二維運動學會(hui) 考察大家distance，注意公式即可：

試看下方例題，看到求distance還不激動地搓手手！

3.極坐標

極坐標求導：需要特別注意直角坐標和極坐標的轉化，以及極坐標求導其實就是參數方程組求導。

極坐標求麵積：需要有一個(ge) 掃過去的概念，試看下方圖像，隨著角度的增加，掃過的麵積越來越多：

另外還有一點，極坐標求麵積還會(hui) 考察兩(liang) 條曲線包圍的麵積，一般是“大的減小的”，但題目中不乏有分割法求麵積。

試看下方例題：

若要求兩(liang) 條極坐標曲線包圍的區域所形成的麵積，需注意：（1）求交點判斷上下限；（2）判斷兩(liang) 條曲線誰是誰，通過特殊點（角度為(wei) 0，π/2，π）；（3）判斷所求區域是否為(wei) “大的減小的”；（4）代入公式算值即可。

級數

級數這一塊需要記憶的知識點尤其、特別、真的相當多！

1.幾何級數

幾何級數求值的公式中，a是首項（n=1），r是公比（後一項比前一項的數值），此外還需要特別注意，這是從(cong) 第1項開始的！如果從(cong) 第0項開始，需要單獨計算n=0的值。

試看下方兩(liang) 道例題，注意區別：

級數從(cong) 第一項開始加：

級數從(cong) 第0項開始加：

幾何級數的收斂性取決(jue) 於(yu) 公比r的絕對值與(yu) 1的大小關(guan) 係，如果r的絕對值大於(yu) 等於(yu) 1，則該幾何級數diverges，如果r的絕對值小於(yu) 1，則該幾何級數converges。

2.級數收斂判別法

（1）n-th term test

試看下方例題如何運用n-th term test判斷級數diverges：

（2）integral test

積分判別法需要大家特別注意，不一定是從(cong) 1開始積分，具體(ti) 數值取決(jue) 於(yu) 級數從(cong) 第幾項開始。換言之，級數如果是從(cong) 第3項開始，那麽(me) 瑕積分improper integral的下限則應該是3。

試看下方例題，如果簡答題出現Integral test，需要大家不假思索地默寫(xie) 條件，此外，大家還需要注意arctanx的常見特殊值和圖像性質：

（3）p-series test

P-series和幾何級數的收斂性判別條件剛好相反，且長相極其相似，很多同學區分不清楚，一般通過n（即表示級數的序數的字母）的位置是在底數還是在指數加以區分。如果n在底數，則為(wei) p-series（其他形式需滿足條件），如果n在指數，則為(wei) 幾何級數。

（4）Direct comparison test

上述判別法可簡記為(wei) ：大斂小斂，小散大散。

（5）Limit comparison test

極限判別法需要特別注意，算出來的極限必須是一個(ge) 正數，且不能為(wei) 正無窮：

（6） Alternating series test

交錯級數收斂性判別條件：

Alternating series識別較簡單，通項必須有-1的n和n+1次方才能保證組成級數的每一項正負號不停變化。

此外，還需要注意alternating series的通項an大於(yu) 0，不然其收斂性判別的第二個(ge) 條件，前一項大於(yu) 後一項，一正一負比較何從(cong) 談起呢？

交錯級數的條件收斂與(yu) 絕對收斂：

試看下方例題：

交錯級數誤差限：

Alternating series error bound處理為(wei) 級數的下一項即可。

（7）ratio test

Ratio test一般用於(yu) 各種奇奇怪怪的級數，比如階乘和指數函數的組合、階乘和多項式函數的組合、指數函數和多項式函數的組合。

級數收斂性判別法總結：

3.冪級數的收斂區間和收斂半徑

（1）冪級數的概念，簡言之就是長這樣的就是power series冪級數：

（2）The radius of convergence and the interval of the convergence of the power series:

收斂半徑可處理為(wei) ：用ratio test，取極限的倒數就為(wei) 收斂半徑。

收斂半徑為(wei) |x-c|<R的不等式解集，此外，端點值還需要單獨檢驗：

如果將端點處的數值代入原級數後收斂，則該處的不等式需要取等，如果發散，則不取等。

（3）冪級數的運算，運算包含求導和積分：

試看下方例題，注意不要被n幹擾，因為(wei) 這裏的積分和求導都是針對x積分和求導：

4.泰勒多項式（級數）和麥克勞林多項式（級數）

（1）泰勒多項式和泰勒級數的區別在於(yu) ，前者加的項數為(wei) 有限項，後者加的項數為(wei) 無窮項。

泰勒多項式（級數）需要特別注意在何處展開，一般情況下題幹的表述不會(hui) 發生變化：the Taylor Polynomial/ Series for f about x=c。此外，題目還會(hui) 讓大家求某一項的coefficient係數，實際上是求n階導除以n階乘的數值：

（2）需要大家記住常見的基本初等函數的麥克勞林展開式：

（3）泰勒級數還可用於(yu) 近似函數的值，試看下方例題：

借用這道例題，需要解釋幾個(ge) 在泰勒級數常見的術語：

The third degree Taylor polynomial是指需要將泰勒級數展開到第三階，即該泰勒多項式x的最高次數（degree）必須為(wei) 3；
The first four non-zero terms of the Taylor polynomial是指需要寫(xie) 出首四非零項, term表示項數。

（4）拉格朗日誤差限，這裏簡單處理為(wei) 下一項的最大值（實際上這裏較複雜）。

試看下方例題：

最後的最後，請大家注意，級數的知識點非常之多，僅(jin) 看上方知識點的摘要難以在短時間內(nei) 掌握級數的知識，僅(jin) 適用於(yu) 自查知識點漏洞。要想級數的知識掌握程度更好，離不開一定題量的練習(xi) 。

最後的最後，祝大家AP微積分BC考試順利，功不唐捐，玉汝於(yu) 成！