AP微積分複習指南！

下個(ge) 月就到了AP考試的時間了，大家在複習(xi) 時是否清楚自己在知識點的掌握上還有沒有疏漏呢？這篇文章總結了AP微積分AB和BC的考試要點，FRQ答題規範，並梳理了各章節核心知識點，給大家在複習(xi) 階段提供參考。

考前必看

1.要點總結

以下為(wei) AP微積分AB/BC中相對不容易掌握的知識點，檢驗一下自己的掌握情況吧。

·導數應用（圖像）：圖像題融合了增減性，最值，凹凸性，拐點等眾(zhong) 多知識點，對概念的清晰掌握和邏輯能力的要求都不低。

·導數應用（相關(guan) 變化率）：多個(ge) 變量間的關(guan) 係相對複雜，題目比較靈活，計算量也偏大。

·分部積分（BC）：計算量偏大，係數容易出錯。

·解微分方程：步驟較多，對計算要求比較高。

·極坐標（BC）：與(yu) 直角坐標差異較大，圖像可能會(hui) 比較複雜，將解析式轉化成圖像有一定難度。

·體(ti) 積問題：需要一定立體(ti) 圖形想象力，抽象程度高。

·級數（BC）：整章抽象程度都比較高，相對難以理解的章節，需要理解記憶的知識點也比較多。

2、FRQ答題規範

以2023年FRQ第一題為(wei) 例，根據答案中的評分標準，在（b）問中得到滿分需要列式表示出平均值，並得出正確答案。

需要同學們(men) 注意的是，即使是計算器部分的簡答題，也要先列式再寫(xie) 出答案；一方麵這樣才能拿全步驟分，另一方麵即使答案不準確，也不至於(yu) 丟(diu) 掉所有分數。

在更複雜的（d）問中得到滿分，則需要寫(xie) 出完整的求global maximum的過程。可以看出，論述過程並不需要長篇大論的英語，同學們(men) 隻要按照解題步驟把過程寫(xie) 清楚，在用數學符號表達不清時配合上一些少量英語表述即可。

過程的嚴(yan) 謹才是得分的關(guan) 鍵。尤其注意在使用Mean Value Theorem這樣的定理時需要寫(xie) 清楚定理的條件，所以在複習(xi) 時不要隻關(guan) 注定理的結論，也要注意在什麽(me) 條件下定理才成立。

微積分BC思維導圖

知識點梳理

1. 極限存在的條件：左右極限相等

2. 求極限：若代值可以得到結果則代值運算，若不能則選擇以下方法

· 因式分解

· 比較最高次項

· 利用特殊極限

· 洛必達法則分子分母同時趨近於(yu) 0或無窮時

3. 夾逼定理

4. 漸近線

▼例題： 本題答案為(wei) ：C，求垂直漸近線時，需注意約分後再看分母何時為(wei) 0 5. 連續性

▼例題： 6.導數定義(yi)

可導條件：

7. 導數運算公式

· 鏈式法則

▼例題： 本題答案為(wei) ：D8. 隱函數求導

9. 參數方程求導（BC）

對於(yu) 參數方程，可以分別找到x關(guan) 於(yu) t的導數和y關(guan) 於(yu) t的導數，再進行計算。

對於(yu) 高階導數，可以對一階導數的結果再次求導即可得到二階導。

▼例題 本題答案為(wei) ：B10. 極坐標求導（BC）參考參數方程導數的做法，先把極坐標r，θ的關(guan) 係轉化為(wei) 直角坐標x，y的關(guan) 係，再按參數方程的做法求導。

11. 增減性與(yu) 極大/極小值

如果函數在某點由增函數變為(wei) 減函數，那麽(me) 該點在附近函數值最大，為(wei) 局部極大值；如果函數在某點由減函數變為(wei) 增函數，那麽(me) 該點在附近函數值最小，為(wei) 局部極小值。

· 找極值的步驟：（1)找到函數的一階導

（2)找到導數為(wei) 0或不存在的點

（3)判斷導數符號的變化

如果找全局極值，則在以上步驟基礎上，將符合條件的點和區間端點的函數值放在一起比較，得出最大/小值。

12. 二階導，凹凸性和拐點

凹凸性發生變化的點稱作拐點(points of inflection).

找拐點的步驟：(1）找到函數的二階導(2）找到二階導數為(wei) 0或不存在的點(3）判斷符號的變化，方法與(yu) 一階導數符號的判斷類似。隻要符號發生變化就是拐點，無論由+變-還是由-變+。13. 相關(guan) 變化率

14. 介值定理，中值定理，極值定理

▼例題 本題答案為(wei) ：C

15. 積分基本公式

16. 積分換元法和配方法選取u時要注意u的導數應是原本被積函數的一部分。注：定積分的換元法要注意上下限的變化。配方法指的是利用與(yu) arctanx或arcsinx相關(guan) 的公式來積分，通過換元湊成需要的形式。▼例題: 本題答案為(wei) ：D▼配方法例題： 本題答案為(wei) ：A

17. 分部積分法（BC）

18. 因式分解法積分（BC）先通過因式分解把被積函數分成兩(liang) 項，再通過待定係數法確定分子的值。

19. 黎曼和四種類型:- LeftRiemann Sum:

- RightRiemann Sum:

- midpsoint Riemann Sum:

- Trapezoidal Riemann Sum:

定積分與(yu) 求和形式轉化：

20. 微積分基本定理

此定理為(wei) 定積分運算的依據。

▼例題： 本題答案為(wei) ：D在積分上限函數中，f(x)是g(x)的導數，g(x)是f(x)的原函數（反導數）。▼例題： 本題答案為(wei) ：D

21. 平均值

22. 反常積分（BC）

積分區間無窮或積分區間內(nei) 函數無界時，用極限來表示積分的區間

23. 平麵麵積

以x為(wei) 積分變量時，用包圍陰影圖形的上麵曲線減下麵曲線

以y為(wei) 積分變量時，用包圍陰影圖形的右麵曲線減左麵曲線

24. 立體(ti) 體(ti) 積（1）旋轉型體(ti) 積旋轉型包括沒有空心的disk method和有空心的washer method。

- Disk method：

- Washer method：若旋轉軸為(wei) 與(yu) 坐標軸平行的直線，積分中截麵圓的半徑用函數與(yu) 旋轉軸的距離表示。選擇積分變量看旋轉軸與(yu) 哪個(ge) 坐標軸平行或重合（例如繞x軸旋轉則對x積分）

（2）截麵型體(ti) 積

用函數表示截麵的麵積，並對這個(ge) 函數積分。

積分變量選擇看截麵垂直於(yu) 哪個(ge) 坐標軸。

需要掌握正方形，長方形，半圓，等邊三角形和等腰直角三角形麵積的計算公式。25. 極坐標麵積（BC）

極坐標函數包圍的麵積計算公式：

兩(liang) 個(ge) 極坐標函數之間的麵積公式：積分區間可以通過觀察圖形的角度範圍以及列方程計算θ的範圍。26. 弧長平麵內(nei) 曲線弧長：

參數方程曲線弧長（BC）：

27. 運動問題

總距離，位移，速度，加速度，速率間的關(guan) 係：

二維運動（BC）：二維運動問題結合參數方程來考慮，位移，速度，加速度都分為(wei) 水平方向和垂直方向計算，以向量形式表示，如position vector可表示為(wei) 這些向量的大小利用勾股定理把兩(liang) 個(ge) 方向組合起來表示，比如求speed就用來表示。求total distance的問題用含參數的平麵弧長的公式來解決(jue) 。28. 解微分方程解形如的微分方程步驟1：分離變量

步驟2：對等式兩(liang) 側(ce) 積分

步驟3：積分後整理式子成用x表示y的形式，並代入特殊值求出常數C

29. 線性估算

用函數上一點的切線來估算切點附近的函數值f(x)≈f(x_₀)+f'(x_₀)(x-x_₀),

，x_₀為(wei) 切點的橫坐標。

歐拉法（BC）：分段並重複多次的線性估算。

▼例題： 本題答案為(wei) ：B

30. 指數增長和logistic growth

指數增長模型：P₀為(wei) t=0時函數的初始值，符合此模型的函數即為(wei) 指數增長。關(guan) 鍵詞：增長率與(yu) 函數值成正比（proportional）Logistic growth 模型(BC)：

A的值為(wei) 函數在t趨近於(yu) 無窮時的極限。

函數值在到達A/2後，增長速度開始變緩。

31. 級數（BC）

判斷級數收斂：

（1)N-th term test

（2)Geometric series test

幾何級數在|r|>1時收斂，≥1時發散。

（3)P-series test（4)Integral test注：積分的值與(yu) 級數值不完全相等。

(5)Comparison test

(6)Limit Comparison test

可以用於(yu) 分式形式級數的判斷，根據分子分母最高次數的差來選擇相匹配的p-series，則級數與(yu) 這個(ge) p-series收斂情況相同。(7)Ratio test

多用於(yu) 含有階乘和指數函數的級數判斷收斂，也在計算power series收斂區間時使用。

(8)Alternating test

注：第二個(ge) 條件指的是數列絕對值遞減，不需要考慮符號。

級數收斂判斷方法的選擇：

先判斷級數的類型選擇對應類型的方法，比如交錯級數直接用alternating series test 判斷。

其他情況：含有指數函數，階乘的級數選擇ratio test；多項式分式選擇limit comparison test；與(yu) 已知是否收斂的級數有嚴(yan) 格的大小關(guan) 係時可選擇comparison test；題目明確提出或比較容易積分時可選integral test。

幾何級數求和：

幾何級數的公比r由第n項和n-1項的比值得到。收斂的幾何級數可以用公式求和。

▼例題：本題答案為(wei) ：D

收斂區間和半徑

x=c為(wei) power series的收斂中心，在距離c收斂半徑r以內(nei) 的範圍內(nei) 的x都可以使級數收斂，這個(ge) 範圍就是收斂區間。

計算收斂區間步驟：1.令用ratio test得到的比值結果小於(yu) 1，並解不等式2.不等式的解為(wei) 級數absolutely converge的範圍，分別將邊界值代入原級數判斷是否收斂3.若邊界值收斂則包括在區間內(nei) ，發散則不包括注：converge conditionally的x值位於(yu) 收斂區間的邊界▼例題： 本題答案為(wei) ：B

泰勒級數和誤差上界

泰勒級數和麥克勞林級數計算公式：

注：題目中泰勒級數的degree指的是最高次數，non-zero terms指的是包括幾項。

需要知道的麥克勞林展開式：

泰勒級數除了直接通過公式求導計算得出，還可以由已知展開式加減，乘常數係數，求導，積分，換元得到

Alternating error bound：

交錯級數的誤差上界為(wei) 所取的級數的下一項的絕對值。計算error bound隻需要從(cong) 題幹按關(guan) 鍵詞中提取信息代入公式即可得出結果。

考前寄語

五月AP考試在即，同學們(men) 在複習(xi) 階段要有規劃的做一些題目，最好能計時完成整套真題來適應考試的形式和節奏。刷題時一定注意改錯和複盤，總結自己哪些知識點掌握不到位，抓緊複習(xi) 。切忌盲目刷題，解決(jue) 問題比機械練習(xi) 更有效。

最後祝大家取得讓自己滿意的成績，學到了知識，取得了進步就是最大的收獲。