AP微積分FRQ題目分析及知識點盤點

提到AP微積分，可以說是最受中國考生歡迎的科目了，也是AP理科中的5分率王者之一。很多學微積分的同學一開始就是衝(chong) 著5分去的，然而，考試本身還是有一定難度的，為(wei) 了確保自己能穩穩拿下5分、不在考試的時候因為(wei) 各種因素丟(diu) 分，咱們(men) 在備考的時候一定不能掉以輕心，畢竟一年隻有這麽(me) 一次考試機會(hui) ！

今年的微積分考試時間在5月9日 8 a.m.，沒錯，隻剩最後兩(liang) 周的備考時間了！??時間緊迫，大家要抓緊身邊所有可用資源充分備考！

說到AP考試，MCQ和FRQ裏肯定是FRQ最讓大家頭疼——題幹又臭又長、要求又多又繁瑣，考試範圍靈活，難題、怪題、偏題層出不窮。而且，這麽(me) 難的FRQ，在考試中的分值比重還很高！

可以稱得上是5分路上的絆腳石了。

不過大家不要被困難絆倒，這裏給大家準備了兩(liang) 道微積分FQR題，快來檢測一下你對FRQ題型的熟悉程度以及對知識點的掌握度～

做完後再根據解析分析一下FRQ題目的側(ce) 重點，查看自己是否有遺漏的知識點~

第 一 題

解析

我們(men) 先來看題目給的條件:

• 1) 0至4的閉區間f有定義(yi)

• 2) f的一次導

(a)問的是在哪個(ge) 區間f是增長的，我們(men) 知道[f increasing→f'>0][f decreasing→f'<0]。

所以現在用圖形計算器畫出f'的圖像，大概找出在0至4的閉區間的範圍內(nei) ，f'=0和f'>0的分界點。

通過畫圖（如上圖）我們(men) 得出，在大概0.282和3.758的區域內(nei) ，f'>0。用到圖形計算器的求解功能，我們(men) 可以較準確地算出前麵的區間在保留三位小數後是(0.283，3.760)。答案就是：On the open interval between 0.283 and 3.760, f is increasing.

(b)問x是什麽(me) 值時，f有局部極大值。

注意與(yu) globalmaximum 區分：一個(ge) 函數可有多個(ge) local max/min，但是隻可有一個(ge) global max/min。

看回剛剛用圖形計算器畫的圖，我們(men) 知道，在(0,0.283)區間，f值減小；在(0.283，3.760)區間，f值增大；在(3.760,4)區間，f值減小。看著f'圖在三個(ge) 區間所包圍的麵積來看，在(0.283，3.760)區間包圍的正麵積最大，所以在當x=3.760時，f有最大值。答案就是：f has a local maxima when x=3.760

(c)問的是，在圖上有幾個(ge) 拐點。

Inflection point就是函數改變concavity的時候：例如從(cong) concave up(f''>0)變成concave down(f''<0)。這道題隻問了數量，並沒有問確切的位置，所以步驟相對簡便。

可以看出，在f'的x=a,x=b, 和x=c前後的地方，f''發生了變化。0到a這一段f''>0；a到b這一段f''<0；b到c這一段f''>0；c到4這一段f''<0.因為(wei) f''發生了三次變化，所以一共有三個(ge) inflection point。答案就是：f has 3 inflection points.

（誤區：不小心把f'的圖當成了f的圖像，直接找concave up/down的圖形）

第 二 題

解析

本題中的(a)問要求我們(men) 在圖內(nei) 畫上斜率場。

我們(men) 隻需要把點對應的坐標帶進微分方程裏根據數值畫出每個(ge) 點對應的斜率就好了（如上圖）。不需要非常準確，但是對於(yu) 不同的斜率要肉眼可辨別出來。

(b)問要求用我們(men) 通過(1,1)的數據寫(xie) 出equation來估算f(1.2)。

已知在(1,1)時，dy/dx=2。切線的方程列出來是y-1=2(x-1)→y=2(x-1)+1.[通式是y-y1=(dy/dx)(x-x1)--(x1,y1)為(wei) 用來估算值的點]現在我們(men) 隻需要把x=1.2代入，就能得出f(1.2)≈2(1.2-1)+1=1.4 答案是：f(1.2)is approximately 1.4.

(c)問要求我們(men) 找出particular solution。

Differential equation 裏有兩(liang) 種solution：general solution和particular solution。General solution就是把微分方程進行積分直接得到的式子（有+C），而particular solution 是在此之後將某點代入式子得出來的。步驟如下：

希望通過以上的兩(liang) 道練習(xi) ，大家能對微積分FRQ的題目設置和易錯點有了更清晰的認識。