2022AP 微積分AB北美卷FRQ真題分析及難度點評

各位AP小夥(huo) 伴們(men) 好呀~2022年5月9日進行的AP微積分AB考試已經結束，本場考試為(wei) 線下紙筆考試，CB官網已更新了2022AP微積分AB北美FRQ真題。

試卷整體(ti) 難度點評

與(yu) 往年相比，今年2022年北美卷的微積分AB，選擇題和FRQ大題都比較簡單。考察知識點與(yu) 考察形式都和往年類似，屬於(yu) 非常容易能考出高分的卷子，估計5分成績線會(hui) 在69左右甚至更高。

從(cong) 整體(ti) 考點而言，與(yu) 往年類似。常考知識點仍然集中在Unit5的一階導、二階導與(yu) 原函數的關(guan) 係、MVT中值定理與(yu) IVT介值定理的區分與(yu) 應用、Unit6的Fundamental theorem of calculus微積分基本定理等。這些在曆年的考察中都分數占比頗多，屬於(yu) 性價(jia) 比較高的知識點，所以同學們(men) 一定要對此非常熟悉。

此外選擇部分還考察了關(guan) 於(yu) limit極限的部分知識，主要關(guan) 於(yu) asymptotes漸近線，以及Differentiation的limit定義(yi) 、Definite Integral的limit等，需要考生對於(yu) 微積分的本質等有足夠的理解。三角函數相關(guan) 知識也仍然是常考難點，所以明年打算備考AP微積分的同學一定從(cong) 現在就要開始複習(xi) or學習(xi) 三角函數相關(guan) 知識了。

逐題分析

第一題：

本題考察了Accumulation Function 積累函數相關(guan) 的導數及積分應用。題目中給出了從(cong) 5.AM到10.AM期間，車通過收費站的rate為(wei) A(t)，並且告知了收費站在5.AM時沒有車輛在等待。也就意味著在t=0時正在排隊的車輛數為(wei) 0，相當於(yu) 給出了初始值。

(a) 題目要求寫(xie) 出計算從(cong) t=1到t=5期間排隊等著通過收費站的總車輛數的積分表達式。

那我們(men) 按照題目要求，寫(xie) 出對A(t)在t在1到5之間求積分即可。

(b) 題目要求算出rate的average value。

因為(wei) 給的函數就是rate，所以我們(men) 用average value公式進行計算即可，對A(t)求積分並除以區間長度。

(c) 題目問在t=6時的rate是增還是減。

那我們(men) 求出rate的變化率，看是正or負即可。所以對A(t)求在t=6時的導數值，正即increasing，負即decreasing。

(d) 題目給出了一個(ge) 堵車時劃線的條件，並給出了在t=a到t=4之間線內(nei) 車輛數的模型N(t)。要求求出在線內(nei) 車輛數的最大值，並近似到整數。

既然是最大值，那此題就是最值問題，所以我們(men) 對N(t)求導，得到N’(t)=A(t)-400，之後再用求最值的方法，求出極大值，並與(yu) 端點值相比較，找出最大值即可。別忘了近似到整數～

第二題：

本題考察了Unit8求麵積、體(ti) 積等相關(guan) 問題，並且靈活考察了關(guan) 於(yu) related rate的內(nei) 容。對於(yu) vertical distance的考察與(yu) 2015年國際卷FRQ第4題考點與(yu) 2018年國際卷FRQ第4題非常類似，如果參加過我們(men) 考前衝(chong) 分集訓課程的同學應該會(hui) 覺得非常眼熟。

(a) 題目要求算出f與(yu) g之間圍成的麵積。

由於(yu) 題目圖像沒有對f和g做具體(ti) 區分，所以我們(men) 需要通過f和g的表達式知道它們(men) 的圖像大致形狀，判斷出f在上，g在下。之後在-2到1之間對f-g求定積分即可。

(b) 題目要求算出f與(yu) g之間的vertical distance在x=-0.5時是增還是減。

對h(x)=f(x)-g(x)在t=-0.5時求導數值即可，正即為(wei) increasing，負即為(wei) decreasing。

(c) 題目以f和g之間為(wei) 出的麵積為(wei) solid的base，每個(ge) cross section形狀是垂直於(yu) x軸的正方形，求solid體(ti) 積。

這個(ge) 題的考察相當基礎，形狀是大家最熟悉的正方形，方向也是垂直於(yu) x軸。所以算出截麵麵積為(wei) (f-g)的整體(ti) 平方，即正方形的麵積，之後對截麵麵積算定積分即可。

(d) 題目利用c問中的vertical line作為(wei) 探究的對象，要求算一個(ge) related rate相關(guan) 變化率的問題。

兩(liang) 個(ge) 變量為(wei) f-g與(yu) 截麵麵積，那利用相關(guan) 變化率的解決(jue) 辦法正常求導代值即可。

第三題：

本題考察了Unit5與(yu) Unit6的聯合應用，也是每年必考的題目類型，涉及到積分含義(yi) 、一階導與(yu) 二階導應用、極值最值問題等。

(a) 題目要求算出f(0)和f(5)的值。

由於(yu) 題目給出了f(4)=3，並給出了f’導數的圖像，所以利用微積分基本定理就可以算出想要的結果。

(b) 題目要求得到f的point of inflection拐點。

f的拐點就是f‘的增減改變點，所以僅(jin) 有x=2和x=6。

(c) 題目給出了一個(ge) 新函數g，問g在哪個(ge) 區間為(wei) decreasing。

對g求導得到f‘-1，所以我們(men) 需要知道導函數在哪個(ge) 區間是negative負的，就能得到答案。

(d) 題目要求算出g的最小值。

那麽(me) 先通過判斷f'-1的圖像知道哪裏是g的極小值點，再算出端點值進行比較，最小的值就是最小值。

第四題：

這道題是一個(ge) 表格題，表格內(nei) 容基本都會(hui) 涉及到approximation估計的內(nei) 容，這也是曆年的考察重點。

(a) 題目要求估計r‘的average rate。

利用表格中的數據算r’的difference quotient即可。

(b) 題目問是否有某t使得r‘=-6。

由於(yu) 表格給的就是r’的值，所以這道題考察的應該是IVT的應用。寫(xie) 出IVT的條件continuous，並進行適當解釋就能拿到分數。

(c) 題目要求用right Riemann sum估計積分值。

每個(ge) 矩形都用right endpoint value來去計算麵積，再加到一起就可以。

(d) 題目給出了關(guan) 於(yu) cone的體(ti) 積公式和height的變化率，求體(ti) 積的變化率。

又是related rate相關(guan) 變化率的題目。而求導之後式子中的r‘(t)可以從(cong) 表格中找到，所以這裏稍微靈活了一些。但如果對相關(guan) 變化率足夠熟悉，也是能拿到對應分數的。

第五題：

這道題是考察differential equation微分方程及相關(guan) 應用的題目。本題考點也比較基礎，沒有太多靈活的部分，都在我們(men) 課堂上講解和練習(xi) 的範圍之內(nei) 。

(a) 題目給出了slope field圖，並要求畫出過特定點的solution圖像。

根據slope field的趨勢畫出圖像即可。這種畫圖題現在基本每年都會(hui) 考察，大家還是要在平時的練習(xi) 中做好積累。

(b) 題目要求寫(xie) 出過(1,2)點的切線方程，並用它來估計函數值。

利用微分方程求出slope，再寫(xie) 出切線方程，之後代入x=0.8，就能估計出函數值。

(c) 題目給出了二階導大於(yu) 0，問b小問中的估計是overestimate高估還是underestimate低估。

由於(yu) 二階導大於(yu) 0，所以f是concave up的，那麽(me) linear approximation就應該是underestimate低估的。

(d) 題目要求用separation of variables分離變量法來求出particular solution。

用分離、積分、算c、整理的步驟就能得到結果。這道題的難點在於(yu) 積分比較難算，所以需要同學們(men) 有較好的積分運算能力。

第六題：

這道題終於(yu) 考察了Motion運動問題，該考點也是往年必考的內(nei) 容，整體(ti) 考察也很基礎。題目給出了P沿著x軸運動的position function，也給出了Q沿著y軸運動的velocity function。

(a) 題目要求算出P的velocity function。

對P的position求導即可。

(b) 題目要求算出Q的acceleration加速度。

先對Q的velocity求導就可以得到。之後還需要知道speed在哪裏是decreasing的，所以需要找到v和a在哪個(ge) 區間是異號的，即v正時a負，v負時a正，找到公共區間就能得到答案。

(c) 題目要求算出Q的position function。

我們(men) 對Q的velocity求積分，再代入position的初始值就能得到答案。

(d) 題目問當t趨近於(yu) 無窮時，哪個(ge) 物體(ti) 會(hui) 遠離原點。

那也就是問t趨近於(yu) 無窮時，哪個(ge) 物體(ti) 的position會(hui) 越來越大，也就是increasing。所以看P和Q誰的velocity在t趨近於(yu) 無窮時會(hui) 大於(yu) 0即可。