IB數學SL等比數列應用中的年金終值與分期還款問題

學習(xi) IB數學SL的同學們(men) 在遇到annuity和amortization的問題時是怎樣計算的呢？

是不是直接用計算器或者app裏的finance功能，很少手動計算呢？

不要忘了，無論是annuity還是amortization，都是等比數列理論下的應用，它們(men) 的計算也是有相應的公式的，在沒有計算器的情況下，我們(men) 可以用公式手動計算。

現在我們(men) 就看一下它們(men) 的公式是怎樣推導出來的，這裏麵牽扯到一個(ge) 教材上沒有說清楚的細節問題。

先來看annuity，也叫年金終值問題，通俗地說就是每年存一筆固定數額的錢在銀行，並且按照複利計息。

利息可以按年為(wei) 周期，也可以按半年，季，月為(wei) 周期，簡單起見我們(men) 就按年為(wei) 周期來說。

每年存在銀行裏的錢會(hui) 包括本金和利息兩(liang) 部分的增長，但是這裏有個(ge) 細節，就是每年存入的錢是“期末存入”，也就是在年末最後一天存入，而不是第一天，所以當年存入的本金是不會(hui) 在當年產(chan) 生利息的，次年才會(hui) 產(chan) 生。

這是題目中不會(hui) 細說的默認的條件，但教材上居然也對此隻字未提，很容易導致第一次接觸的同學一頭霧水。

按照這種方式，我們(men) 來推導n年之後的本息和公式，也就是所謂的年金終值FV。設每年存入的固定數額本金是A，年利率是r，那麽(me)

1、第1年末隻有本金A。

2、第2年末有本息和A(1+r)，以及又存入的第2筆本金A，共A(1+r)+A。

3、第3年末有本息和(A(1+r)+A)(1+r)，以及又存入的第3筆本金A，共(A(1+r)+A)(1+r)+A，這裏我們(men) 把它變形成

這樣更容易看出規律。

4、根據規律，第4年末是

......

n、第n年末是

這很明顯是一個(ge) 等比數列的前n項和，首項是A，公比是1+r，所以

類似地，amortization分期還款問題也就是喜聞樂(le) 見的花唄問題，首先有一筆現值PV，這是你最開始欠的本金，然後它每年會(hui) 產(chan) 生利息，利率是r，也是複利。

同時你每年按照一個(ge) 固定的數額A還錢，已經還掉的部分不再產(chan) 生利息。求A的值，能在n年之後恰好還完所有的本息和。

同樣的細節，這裏也是“期末還錢”，也就是每年的最後一天還，所以

1、第1年末欠的本息和是PV(1+r)，然後還掉A，還剩PV(1+r)-A。

2、第2年末欠的本息和是(PV(1+r)-A)(1+r)，然後又還掉A，還剩(PV(1+r)-A)(1+r)-A。

3、第3年末欠的本息和是((PV(1+r)-A)(1+r)-A)(1+r)，然後又還掉A，還剩((PV(1+r)-A)(1+r)-A)(1+r)-A。為(wei) 了看出規律，變形成

4、根據規律，第4年末剩

......

n、第n年末剩

既然要在第n年末恰好還完，那麽(me) 這個(ge) 式子就要等於(yu) 0：

這樣就解出