純數高分值考點 直線與圓解法精析

在 Alevel數學 P2模塊中，直線與(yu) 圓的綜合題是必考題型之一，分值通常占據 8-12分，不僅(jin) 考察考生的邏輯思維能力，更注重運算技巧的熟練運用。部分同學在麵對此類題目時，常因缺乏清晰的解題思路而感到無從(cong) 下手。事實上，隻要掌握其核心知識點與(yu) 解題方法，直線與(yu) 圓的問題並非難以攻克。本文 G5教研部 老師將深入剖析這一題型的要點與(yu) 技巧，幫助考生高效備考，輕鬆應對考試挑戰。

重點題型 解題策略

G5教研部 老師建議以下必考公式要牢記。1：中點坐標公式 ; 2：圓的標準方程 ; 3：兩(liang) 點間的斜率公式; 4：兩(liang) 點間的距離公式

G5教研部整合公式截圖

『重點題型思路梳理』

常考題型 1-垂直平分線的求法：

首先考生需明確中垂線的定義(yi) ：過線段的中點且與(yu) 該線段垂直的直線。這類題型僅(jin) 涉及兩(liang) 步：求出已知兩(liang) 點間的線段斜率從(cong) 而由垂直關(guan) 係得出中垂線的斜率。再利用兩(liang) 點間的中點公式代入直線即可。

常考題型 2-定點處的切線方程：

已知圓的方程和圓上一點求該定點處的切線方程。解題思路與(yu) 中垂線的求法類似：連接定點與(yu) 圓心利用兩(liang) 點間的斜率公式求出該條半徑斜率，半徑斜率已知則切線斜率已知 (切線與(yu) 該半徑垂直，斜率之積為(wei) -1)。最後將該定點代入切線方程求出截距 C即可。

常考題型 3-已知切線斜率求截距：

G5教研部整合P2教材例題截圖

這類題型解題方法其實並不唯一，常用方法將直線與(yu) 圓的方程聯立即可。通過聯立後的式子展開化簡並將其整理成標準的二次方程的形式即 ax²+bx+c=0。考生應明確這個(ge) 二次方程隻有兩(liang) 個(ge) 作用。

1：解方程-求出交點坐標，2：利用根的判別式 b²-4ac=0求出截距 c。此時因為(wei) 切線方程並不已知所以無法解出方程求交點，隻能先利用切線與(yu) 圓隻有一個(ge) 交點的性質 (即判別式為(wei) 0)確定切線方程，才能求出交點 (交點即切點)坐標。常考題型 4-直線與(yu) 圓的關(guan) 係：

直線與(yu) 圓隻有三種位置關(guan) 係：相離，相切和相交分別對應的交點數量為(wei) 0，1，2三種。

G5教研部強調若同時出現直線與(yu) 圓的方程 (無論兩(liang) 者是何種關(guan) 係)，直接將其聯立化簡成 ax²+bx+c=0。再通過判別式的值說明該二次方程根的個(ge) 數即可推出直線與(yu) 圓的位置關(guan) 係。

『例題精講-運算處理技巧』

G5教研部整合P2教材習(xi) 題截圖

G5教研部整合作答規範截圖該題主要有兩(liang) 處易錯點：

易錯點 1：聯立後的方程會(hui) 出現三項平方展開。考生在作答時需將其中任意兩(liang) 項當作整體(ti) 展開即可。

易錯點 2：展開後的方程同時出現 x和 c兩(liang) 個(ge) 未知數。

作答時應明確該等式是關(guan) 於(yu) x的方程，除 x以外的未知數統一將其當成常數/係數處理，找到 x²項，x項，常數項合並即可。

『真題趨勢』

G5教研部 老師指出，直線與(yu) 圓專(zhuan) 題在曆年真題中的考察難度不大，解題思路通常包含聯立與(yu) 畫圖分析。前兩(liang) 問基本考察配方和圓的標準方程。最後一問通常需考生具備一定的作圖和分析能力。解題思路上來說相對固定，並沒有太過跳脫的技巧性思路。

以 24年 5月真題為(wei) 例，a問通過配方變形成圓的標準方程即可找出圓心坐標和半徑。b問中出現切線方程，將其與(yu) 圓聯立並整理得到二次方程。因為(wei) 切線斜率並不已知，因此整理得到的二次方程無法求根，意味著隻能從(cong) 判別式入手。

由切線的性質得出此方程隻有一個(ge) 交點即判別式為(wei) 0，建立的便是 b問中的等式。求出斜率 m後切線與(yu) 圓均為(wei) 已知方程，回頭解出整理過的二次方程便是交點 P (切點)的坐標。

G5教研部整合24年 5月 P2真題截圖

G5教研部整合規範作答截圖

G5教研部建議：直線與(yu) 圓專(zhuan) 題難度適中，解題思路固定，核心在於(yu) 配方、聯立方程與(yu) 判別式運用。a問通過配方求圓心與(yu) 半徑；b問利用切線性質 (判別式為(wei) 0)求斜率，再解切點坐標。考生需熟練掌握配方技巧，理解切線性質，並注重作圖分析能力，以高效應對此類題型。