GMAT數學階乘和整除相關的考法

我們(men) 知道如果整數a和b的乘積為(wei) c，則a和b都是c的因數或者約數，也可以說c能夠被a或者b整除。而n的階乘本身就是1到n所有整數的乘積，相應1到n所有整數都去整除n的階乘。比如100!可以被1-100以內(nei) 的任何整數整除。相應可以判斷100!/2、100!/3都是整數。

但是如果在100!的基礎上加1，則不能被2-100以內(nei) 的任何整數整除。可以有兩(liang) 種考慮方式：1. 100!是2-100以內(nei) 整數的倍數，現在多了1個(ge) ，除以2就要多1個(ge) ，餘(yu) 1，除以其他的也是餘(yu) 1，既然有非零的餘(yu) 數，顯然就不是整除。2. (100!+1)/2可以拆分為(wei) 100!/2+1/2，左邊是個(ge) 整數，右邊是0.5，加在一起是個(ge) 正兒(er) 八經的小數，顯然不能整除。

既然100!+1不能被2-100以內(nei) 的任何整數整除，但它作為(wei) 一個(ge) 大於(yu) 1的正整數顯然又會(hui) 有質因數，那它的質因數肯定不能在2-100以內(nei) 的質數裏找到了，所以它最小的質因數也在100以上。

考試的時候還會(hui) 考比如100!+2除以200餘(yu) 多少的問題，200可以拆成2*100，在100!裏顯然有2和100這兩(liang) 個(ge) 因數，所以可以被200整除，所以餘(yu) 數取決(jue) 於(yu) 多出來的2，多2，所以餘(yu) 2。

之前還考過判斷質數的題，比如100!+2, 100!+3, 100!+4, 100!+5, 問哪個(ge) 是質數。哪個(ge) 都不是，因為(wei) +2可以提取出2這個(ge) 因數，+3可以提取出3這個(ge) 因數，相應他們(men) 在1和自身以外都有2或者3之類的因數，所以都不是質數。

我們(men) 來看幾個(ge) 難題的例子。

PS：k為(wei) 1 more than 2到29中所有質數的乘積，就是k=1+2*3*5*7*…*29。判斷 I：k是30的倍數 II：k是29以內(nei) 某個(ge) 質數的倍數 III：k是29以外質數的倍數。哪些是對的。

解析：可以把x定義(yi) 為(wei) 2到29所有質數的乘積，所以k=x+1。x有2、3、5這三個(ge) 因數，所以x是30的倍數，k比x多1，所以x不可能是30的倍數，除30餘(yu) 1，所以第一個(ge) 不對。

x的質因數裏麵有2到29所有的質數，所以x是29以內(nei) 所有質數的倍數，k比x多1，所以k除以2到29以內(nei) 任意質數都會(hui) 餘(yu) 1，所以不是29以內(nei) 任意質數的倍數，所以第二個(ge) 也不對。

關(guan) 於(yu) 第三個(ge) ，考試的時候沒有選項說三個(ge) 都錯的，所以很明顯可以確定第三個(ge) 一定對。對的原因是，k大於(yu) 1，而且是整數，所以它不是質數就是合數，如果是質數的話它的質因數就是自己，如果是合數的話就意味著有其他質數是它的因數。又因為(wei) 考慮第二個(ge) 結果的時候我們(men) 知道2到29以內(nei) 的任何質數都不是k的因數，但k又一定有質因數，所以k的質因數肯定是超過29的，所以k一定是29以上質數的倍數。以前也出現過一個(ge) 說法是k的最小質因數大於(yu) 29，這麽(me) 說也是對的。

2. For every positive even integer n, the function h(n) is defined to be the product of all the even integers from 2 to n, inclusive. If p is the smallest prime factor of h(100) + 1, then p is

A. between 2 and 10 

B. between 10 and 20 

C. between 20 and 30

D. between 30 and 40

E. greater than 40