AMC12競賽多項式題目解答：根在哪裏？

有計劃參加今年的AMC12的學生，從(cong) 暑假開始就必須開始做備賽規劃了。我近期將挑選幾道AMC12真題做一些分析和點評，希望能對大家有所啟發和思考。

我們(men) 在前兩(liang) 篇文章裏分別選擇了計數問題（見《【AMC12題選】計數問題中的斐波那契數列》）和數論問題（見《【AMC12題選】嚇死人的質因數分解》）。第三篇我們(men) 選一道代數問題，確切地說是多項式問題。

代數題在AMC10和AMC12中都是很重要的題目類型，因為(wei) 中學階段的主要學習(xi) 內(nei) 容就是代數和幾何兩(liang) 大分支。多項式又是代數中的入門內(nei) 容。一方麵，多項式的性質相對於(yu) 代數中其他概念來說是比較簡單的；另一方麵，在多項式的學習(xi) 過程中積累的經驗和能力有助於(yu) 學習(xi) 其他內(nei) 容。

當然，多項式的性質簡單並不意味著相關(guan) 的題目也一定簡單。隻要條件設置得當，多項式題目也可以很難。

下麵這道題在AMC12中是第23題，可見它不會(hui) 是容易解決(jue) 的問題。題目如下：

P(x)和Q(x)都是首項係數為(wei) 1的二次多項式。已知P(Q(x))的根為(wei) x=-23, -21, -17, -15，Q(P(x))的根為(wei) x=-59, -57, -51, -49。P(x)和Q(x)的最小值的和是多少？

由於(yu) P(x)和Q(x)都是二次多項式，所以P(Q(x))和Q(P(x))都是四次多項式，它們(men) 分別有四個(ge) 根也就很自然了。根據題目條件，我們(men) 可以設 P(x)=x²+b₁x+c₁, Q(x)=x²+b₂x+c₂,

然後就可以推導出P(Q(x))和Q(P(x))的表達式。事實上，沿著這條路徑往下走確實可以解決(jue) 這個(ge) 問題。一方麵，我們(men) 根據上麵的待定係數表達式可以寫(xie) 出P(Q(x))的表達式；另一方麵，由於(yu) P(Q(x))的根為(wei) -23, -21, -17, -15，所以

P(Q(x))=(x+23)(x+21)(x+17)(x+15),

從(cong) 而可以推出b₁, c₁, b₂, c₂要滿足的一些等式關(guan) 係。對Q(P(x))重複以上操作又可得到更多的等式關(guan) 係。從(cong) 這些等式就可以確定b₁, c₁, b₂, c₂的值。

然而，這個(ge) 解法沒有什麽(me) “營養(yang) ”。固然，在解答過程中我們(men) 用到了與(yu) 多項式的根相關(guan) 的性質，也做了一些表達式的運算，但這些操作的連接非常簡單，就像在用力的時候隻是用“蠻力”而沒有太多的技巧配合。我們(men) 當然不能指望解答每一道題都可以做到“四兩(liang) 撥千斤”，但隻有把力量和技巧結合得恰到好處才是最佳的策略。

數學的解題練習(xi) 從(cong) 來都不是隻為(wei) 了得到正確的答案。如果費了半天勁做完一道題而沒有對解答方法中涉及的概念和性質有更多的理解和領悟，做這道題就像“狗熊掰玉米”，掰了很多又丟(diu) 了很多。

我們(men) 應該有這樣的意識：解答一道題，是為(wei) 了（用更多的時間）去體(ti) 會(hui) 和反思其中的思想方法。沒有解答在前，自然也就無從(cong) 體(ti) 會(hui) 和反思；看別人的解答也是可以的，但效果相差很大。從(cong) 解答到體(ti) 會(hui) 和反思是一個(ge) 完整的鏈條，隻有把這個(ge) 鏈條走完，才能獲得最大的能力提升。

現在我們(men) 回到題目本身。由於(yu) 直接寫(xie) P(Q(x))的表達式比較複雜，我們(men) 可以換一個(ge) 角度，從(cong) P(Q(x))的根的意義(yi) 出發。

如果x的某個(ge) 值使得P(Q(x))=0，說明Q(x)的值恰好是P(x)的一個(ge) 根。設P(x)的兩(liang) 個(ge) 根為(wei) h₁, h₂。則P(Q(x))的四個(ge) 根中，應該有兩(liang) 個(ge) 使得 Q(x)-h₁=0成立。另外兩(liang) 個(ge) 使得 Q(x)-h₂=0成立。注意到這兩(liang) 個(ge) 二次方程的一次項係數是一樣的（都是b₂），根據根與(yu) 係數的關(guan) 係，它們(men) 的兩(liang) 個(ge) 根的和是一樣的。 不妨設Q(x)-h₁=0的兩(liang) 個(ge) 根是-23和-15，Q(x)-h₂=0的兩(liang) 個(ge) 根是-21和-17。立即可以推出 b₂=-(-23-15)=-(-21-17)=38.類似地，如果x的某個(ge) 值使得Q(P(x))=0，說明P(x)的值恰好是Q(x)的一個(ge) 根。重複上麵的過程，可以得到 b₁=-(-59-49)=-(-57-51)=108.接下來求c₁, c₂的值。把Q(x)-h₁=0改寫(xie) 為(wei) c₂=h₁-x²-b₂x=h₁-x²-38x.

當x=-15或-23時上麵的等式都成立，所以c₂=h₁+345.

從(cong) Q(x)-h₂=0出發，又可推出c₂=h₂+357. 把這兩(liang) 個(ge) 等式相加，並注意到h₁和h₂是P(x)的兩(liang) 個(ge) 根，可得到2c₂=(h₁+h₂)+702=594, 即c₂=297. 於(yu) 是 Q(x)=x²+38x+297=(x+19)²-64.所以Q(x)的最小值是-64。並且 h₁=Q(-15)=-48, h₂=Q(-17)=-60,即P(x)的兩(liang) 個(ge) 根分別是-48和-60。因此， P(x)=(x+48)(x+60)=(x+54)²-36.所以P(x)的最小值是-36。

這個(ge) 方法自始至終隻用到二次方程的性質，特別是根與(yu) 係數的關(guan) 係。解答過程的主線是把二次方程的性質與(yu) 複合函數的概念聯係起來，比如，如果x的某個(ge) 值使得P(Q(x))=0，說明Q(x)的值恰好是P(x)的一個(ge) 根。

還有一些步驟巧妙地利用了條件之間的關(guan) 聯性，比如，由於(yu) Q(x)-h₁=0和Q(x)-h₂=0的一次項係數相等，所以我們(men) 可以確定-23和-15是其中一個(ge) 方程的兩(liang) 個(ge) 根，-21和-17是另一個(ge) 方程的兩(liang) 個(ge) 根。

在解答過程中，使用比較簡單的性質，同時充分利用好條件之間的關(guan) 聯性，形成一環扣一環的解答步驟，這才是最好的解題練習(xi) 。在這個(ge) 過程中，我們(men) 可以感受到數學的力量——揭示不同的性質之間的內(nei) 在關(guan) 聯性。

最後，我再留一道與(yu) 多項式有關(guan) 的真題。題目如下：

多項式y=x⁶-10x⁵+29x⁴-4x³+ax²的圖像曲線位於(yu) 直線y=bx+c上方，且隻在三個(ge) 點處與(yu) 直線觸碰。這三個(ge) 點中最右邊的點的橫坐標是多少？

這道題是排在第21題的位置。大家不妨試著解答一下，然後對比這兩(liang) 道題，哪道題的難度更大一些。

給個(ge) 小提示：這道題同樣需要用到多項式的根的性質，但不僅(jin) 僅(jin) 是根的最基本的性質，而是更細致的特性。

暑假是開始備戰AMC12的重要時段。因此，歐拉數學苑將在暑假期間安排一對一和小班的AMC12輔導課程。

其中，小班課程為(wei) 3~4人規模，主要針對已經有參加AMC10的經驗且AMC10的自測水平達到85分（考試成績可以降低到75分）的學生，備考目標為(wei) AMC12的分數達到105~120的區間。

如果備考目標是120分以上，建議參加一對一的輔導課程。