2023美國大學生數學建模競賽C題解題思路和分析

2023美國大學生數學建模競賽C題——預測Wordle結果

背景

Wordle是由《紐約時報》每天推出的一種受歡迎的益智遊戲。玩家們(men) 需要在六次或更少的猜測中猜出一個(ge) 由五個(ge) 字母組成的單詞，並在每次猜測後得到反饋。在這個(ge) 版本中，每個(ge) 猜測必須是英語中的一個(ge) 實際單詞。比賽中不被認可為(wei) 單詞的猜測是不允許的。Wordle在人們(men) 中不斷增長的流行度中，現在有60多種語言的遊戲版本可供選擇。

《紐約時報》網站上關(guan) 於(yu) Wordle的說明指出，在提交單詞後，瓷磚的顏色會(hui) 發生變化。黃色的瓷磚表示該瓷磚中的字母在單詞中，但位置不正確。綠色的瓷磚表示該瓷磚中的字母在單詞中，位置正確。灰色的瓷磚表示該瓷磚中的字母根本不包含在單詞中（見附件2）。圖1是一個(ge) 示例解決(jue) 方案，其中在三次嚐試中找到了正確答案。

【備賽練習(xi) 】HiMCM數模備賽，每周一題練習(xi) 解題思路！

玩家可以在常規模式或“困難模式”下玩。Wordle的困難模式通過要求一旦玩家在單詞中找到正確的字母（瓷磚為(wei) 黃色或綠色），就必須在隨後的猜測中使用這些字母來使遊戲更加困難。圖1中的示例是在困難模式下玩的。

許多（但並非所有）用戶會(hui) 在Twitter上報告他們(men) 的得分。對於(yu) 這個(ge) 問題，MCM已經生成了一個(ge) 文件，記錄了2022年1月7日至2022年12月31日的每日結果（見附件1）。該文件包括日期、比賽編號、當天的單詞、當天報告得分的人數、在困難模式下的玩家人數，以及猜出單詞的百分比，包括一次、兩(liang) 次、三次、四次、五次、六次或無法解決(jue) 的謎題（表示為(wei) X）。例如，圖2中的單詞是“TRITE”，日期是2022年7月20日，結果是通過在Twitter上收集得到的。盡管圖2中的百分比總和為(wei) 100%，但在某些情況下，由於(yu) 四舍五入，這可能不是真實的。

【備賽練習(xi) 】HiMCM數模備賽，每周一題練習(xi) 解題思路！

要求

紐約時報要求您對該文件中的結果進行分析，以回答幾個(ge) 問題。

問題1：

報告的結果數量每天都有所不同。開發一個(ge) 模型來解釋這種變化，並使用您的模型創建一個(ge) 關(guan) 於(yu) 2023年3月1日報告結果數量的預測區間。是否有單詞的屬性會(hui) 影響報告的得分中在困難模式下玩的比例？如果有，是怎樣的？如果沒有，為(wei) 什麽(me) ？

問題2：

對於(yu) 未來日期的給定解決(jue) 方案單詞，開發一個(ge) 模型，使您可以預測報告結果的分布。換句話說，預測未來日期的相關(guan) 百分比（1、2、3、4、5、6、X）的分布。您的模型和預測有哪些不確定性？請舉(ju) 一個(ge) 關(guan) 於(yu) 2023年3月1日單詞EERIE的預測的具體(ti) 例子。您對您模型的預測有多自信？

問題3：

開發並總結一個(ge) 模型，通過難度分類解決(jue) 方案單詞。確定與(yu) 每個(ge) 分類相關(guan) 聯的給定單詞的屬性。使用您的模型，單詞EERIE有多難？討論您的分類模型的準確性。

問題4：

列出並描述該數據集的其他有趣特征。

最後，用一頁至兩(liang) 頁的信函，對紐約時報的謎題編輯總結您的結果。

您的PDF解決(jue) 方案總頁數不超過25頁，其中包括：

▲一頁摘要。

▲目錄表。

▲您的完整解決(jue) 方案。

▲一頁至兩(liang) 頁的信函。

▲參考文獻列表。

*注意：MCM競賽有25頁的限製。您的所有提交內(nei) 容都計入25頁限製（總結表、目錄表、報告、參考文獻列表以及任何附錄）。您必須引用您報告中使用的想法、圖片和其他材料的來源。

術語表

紐約時報：一份總部位於(yu) 美國紐約市的日報，以印刷和在線出版為(wei) 主。Twitter：一種社交網絡網站，允許用戶發布不超過 280 個(ge) 字符的短消息（最初是 140 個(ge) 字符）。解決(jue) （Wordle 拚圖）：按正確的順序輸入正確的字母以形成當天的 Wordle 單詞。

參考資料

注：我們(men) 提供以下引文以支持問題陳述。我們(men) 從(cong) 這些資源中提取了重要的想法。這些網站上沒有解決(jue) MCM問題所需的其他信息。解決(jue) 這個(ge) MCM 問題不需要訪問紐約時報或 Twitter 網站。

[1] Wordle logo from The New York Times website. Accessed on December 13, 2022 at https://nytco-assets.nytimes.com/2022/08/cropped-Screen-Shot-2022-08-24-at-8.49.39-AM.png.

[2] “Wordle-The New York Times.” The New York Times, 2022. Accessed December 13, 2022 at https://www.nytimes.com/games/wordle/index.html.

[3] “Wordle-The New York Times.” The New York Times, July 21, 2022.

[4] “Wordle Stats.” Twitter, July 20, 2022.

解題思路和分析

問題1

思路：

該問題主要是預測一個(ge) 序列的變化趨勢，而且該數據的變化趨勢是統計的每天的數據，所以可認為(wei) 是一個(ge) 時間序列。

數據的波動如下：

【備賽練習(xi) 】HiMCM數模備賽，每周一題練習(xi) 解題思路！待預測數據的波動情況

分析該數據的隨時間的變化趨勢，可以發現是先上升、然後在下降的趨勢，比較符合一個(ge) 熱點產(chan) 生後，迅速得到關(guan) 注，然後在逐漸降低熱度，最後關(guan) 注度保持穩定的情況。

針對該數據中末尾的最低點如何處理：該點可能是正確的數據（也可能是錯誤的，比如：錄入錯誤）。所以可以做處理，也可以不錯處理。處理方法，最簡單的方法是使用最低點前後N（n=1,2,...）個(ge) 數值的均值進性改進。

針對序列的預測方法：

（1）時間序列累預測方法：建議忽略到前半段，對下降的趨勢進行時間序列建模與(yu) 分析（也可用群不數據），可能效果較好。模型可以是：ARIMA、prophet等預測算法，prophet效果會(hui) 好於(yu) ARIMA。

【備賽練習(xi) 】HiMCM數模備賽，每周一題練習(xi) 解題思路！ prophet算法預測

（2）考慮非線性回歸方程：可以使用全部的數據建立，也可以使用數據下降趨勢的後半段。

【備賽練習(xi) 】HiMCM數模備賽，每周一題練習(xi) 解題思路！非線性回歸方程

對於(yu) 分析詞的任何屬性是否會(hui) 影響報告的在困難模式下播放的分數的百分比的情況。主要的檢驗方法就是單因素方差分析，而且也要對詞語一行清洗與(yu) 與(yu) 處理的改正操作。

問題2

目的1:

預測未來日期 (1, 2, 3, 4, 5, 6, X) 的相關(guan) 百分比。

目的2:

對2023年3月1日EERIE這個(ge) 詞進行預測。

該問題是一個(ge) 典型的有監督的數據回歸問題，可以使用的方法有很多，而且針對數據的情況，可以先對數據進行特征工程，可以使用的特征例如：時間信息、每個(ge) 位置的字母信息、詞的屬性信息等。可使用的預測算法也很多，例如：決(jue) 策樹、隨機森林、GBDT、SVM、神經網絡等。經過我的驗證，使用隨機森林或者GBDT的預測效果較好。

在數據與(yu) 處理操作階段，可以剔除一個(ge) 累計正確率較離譜的樣本，入下麵的圖所示：

【備賽練習(xi) 】HiMCM數模備賽，每周一題練習(xi) 解題思路！累計正確率

對2023年3月1日EERIE這個(ge) 詞，一個(ge) 可以參考的預測結果為(wei) ：

(1, 2, 3, 4, 5, 6, X) 的相關(guan) 百分比預測值分別為(wei) (1, 5, 17, 32, 27, 12, 3)

問題3

目的1:

按難度對解決(jue) 方案單詞進行分類，並且根據單詞的相關(guan) 特征，為(wei) 分類結果進行定級。

目的2:

對2023年3月1日EERIE這個(ge) 詞進行預測。

該問題屬於(yu) 一個(ge) 無監督的聚類問題。而且針對該問題進行聚類是，使用的特征很關(guan) 鍵。可以使用(1, 2, 3, 4, 5, 6, X) 的相關(guan) 百分比作為(wei) 特征建立聚類模型，而且聚類的算法有很多，例如：K均值、K中值、模糊聚類、係統聚類等。而且聚類的數量也有講究。經過我的詳細研究，聚類為(wei) 3類，可能效果跟好一些。

【備賽練習(xi) 】HiMCM數模備賽，每周一題練習(xi) 解題思路！聚了i結果可視化